2018-2019學年高二數(shù)學上學期期末考試試題 (II).doc

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2018-2019學年高二數(shù)學上學期期末考試試題 (II) 一、選擇題（每小題5分，共8小題，共40分） 1．復數(shù)，則（ ） A．0 B． C．1 D． 2．已知等差數(shù)列的公差為2，前項和為，且，則的值為（ ） A．16 B．15 C．14 D．13 3．下列敘述中正確的是（ ） A．若，則“”的充分條件是“” B．若，則“”的充要條件是“” C．命題“”的否定是“” D．是等比數(shù)列，則是為單調(diào)遞減數(shù)列的充分條件 4．已知直線經(jīng)過橢圓的左焦點，且與橢圓在第二象限的交點為M，與軸的交點為N，是橢圓的右焦點,且，則橢圓的方程為（ ） A． B． C． D． 5．如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，點E是棱AB的中點，則點E到平面ACD1的距離為（ ） A． B． C． D． 6．已知，，則是的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 7．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當時，，若，則不等式的解集為（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．過雙曲線的左焦點作圓的切線，切點為，延長交拋物線于點，若，則雙曲線的離心率是（ ） A． B． C． D． 二、填空題（每小題5分，共6小題，共30分） 9．已知方程表示橢圓，則的取值范圍為__________. 10．設公比為的正項等比數(shù)列的前項和為，且，若，則__________. 11．在正四面體中，棱長為2，且E是棱中點，則的值為__________. 12．已知，，且，則的最小值等于__________. 13．設拋物線 （）的焦點為，準線為.過焦點的直線分別交拋物線于兩點，分別過作的垂線，垂足為. 若，且三角形的面積為，則的值為___________. 14．已知函數(shù)，若是函數(shù)唯一的極值點，則實數(shù)的取值范圍為__________. 三、解答題（共6小題，共80分） 15．（13分）數(shù)列的前項和為，已知，. 其中 （Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列的前項和. 16．（13分）已知函數(shù)在處取得極值. （Ⅰ）求函數(shù)在點處的切線方程； （Ⅱ）若關于的方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍. 17．（13分）在如圖所示的多面體中，平面，平面，，且，是的中點. （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求平面與平面所成的二面角的正弦值； （Ⅲ）在棱上是否存在一點，使得直線與 平面所成的角是. 若存在，指出點的位置； 若不存在，請說明理由. 18．（13分）已知數(shù)列滿足，，其中 （Ⅰ）設，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項公式； （Ⅱ）設，數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得對于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，請說明理由. 19．（14分）已知橢圓：的離心率，左頂點為，過點作斜率為的直線交橢圓于點，交軸于點. 點為坐標原點. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）已知為的中點，是否存在定點，對于任意的都有，若存在，求出點的坐標；若不存在說明理由； （Ⅲ）若過點作直線的平行線交橢圓于點，求的最大值. 20．（14分）已知函數(shù)，. （Ⅰ）若在處取得極值，求的值； （Ⅱ）設，試討論函數(shù)的單調(diào)性； （Ⅲ）當時，若存在正實數(shù)滿足，求證：.  高二數(shù)學參考答案 1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．A 7．C 8．A 9． 10．2 11． 12． 13． 14． 15． （Ⅰ）證明：∵，∴， ∴， 又，∴， ∴數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.…………… …………… 6分 （Ⅱ）由（1）知，， ∴， ∴ ，① . ② ①-②得 ， ∴. …………… …………… 7分 16． （Ⅰ）時，取得極值， 故解得.經(jīng)檢驗符合題意。 …………… …………… 6分 （Ⅱ）由知， 得 令 則在上恰有兩個不同的實數(shù)根， 等價于上恰有兩個不同實數(shù)根. 當時，，于是上單調(diào)遞增； 當時，，于是在上單調(diào)遞增； 依題意有 解得 . …………… ……………7分 17．（Ⅰ）證明：∵， 是的中點，∴， 又平面，∴， ∵，∴平面， ∴． …………… …………… 3分 （Ⅱ）以為原點，分別以， 為， 軸，如圖建立坐標系．則： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 設平面的一個法向量，則： ， 取， ， ，所以， 設平面的一個法向量，則： 取， ， ，所以， ． 故平面與平面所成的二面角的正弦值為． …………… …………… 5分 （Ⅲ）在棱上存在一點，使得直線與平面所成的角是， 設且， ， ∴， ∴， ， ，∴， 若直線與平面所成的的角為，則： ， 解得， 所以在棱上存在一點，使直線與平面所成的角是， 點為棱的中點． …………… …………… 5分 18．（Ⅰ）證明：， 所以數(shù)列是等差數(shù)列， ，因此， 由. …………… …………… 6分 （Ⅱ）由， 所以， 所以， 因為，所以恒成立， 依題意要使對于，恒成立，只需，且解得，的最小值為. …………… …………… 7分 19．（Ⅰ）∵左頂點為 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴橢圓的標準方程為．…………… ……3分 （Ⅱ）直線的方程為，由消元得 化簡得， ，則 當時， ， ∴ ∵點為的中點 ∴點的坐標為，則. 直線的方程為，令，得點的坐標為，假設存在定點使得,則，即恒成立， ∴恒成立 ∴即 ∴定點的坐標為. …………… …………… 5分 （Ⅲ）∵ ∴的方程可設為，由得點的橫坐標為 由，得 ， 當且僅當即時取等號， ∴當時， 的最小值為． 所以，原式最大值為 …………… …………… 6分 20．（Ⅰ）解：因為，所以， 因為在處取得極值， 所以，解得． 驗證：當時，在處取得極大值． …………… …………3分 （Ⅱ）解：因為 所以． ①若，則當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減． ②若，， 當時，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減； 當時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當時，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減． …………… …………… 5分 （Ⅲ）證明：當時，， 因為， 所以， 即， 所以． 令，， 則， 當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減； 當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增． 所以函數(shù)在時，取得最小值，最小值為． 所以， 即，所以或． 因為為正實數(shù)，所以． 當時，，此時不存在滿足條件， 所以． …………… …………… 6分