2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)下學(xué)期第11周 1.2《空間幾何體的直觀圖》教案 新人教B版必修2.doc

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2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)下學(xué)期第11周 1.2《空間幾何體的直觀圖》教案 新人教B版必修2 【本節(jié)教材分析】 （一）三維目標(biāo) 1.掌握平行投影和中心投影，了解空間圖形的不同表示形式和相互轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法. 2.能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，并能識別上述三視圖表示的立體模型，會用材料（如紙板）制作模型，提高學(xué)生識圖和畫圖的能力，培養(yǎng)其探究精神和意識. 3.給出一些幾何體的三視圖，通過感知和操作，讓學(xué)生還原成幾何體，掌握由俯視圖入手分析幾何體結(jié)構(gòu)特征的方法，理解三視圖和直觀圖的聯(lián)系，并能進(jìn)行轉(zhuǎn)化. （二）教學(xué)重點(diǎn) 畫出簡單組合體的三視圖，給出三視圖和直觀圖，還原或想象出原實(shí)際圖的結(jié)構(gòu)特征. （三）教學(xué)難點(diǎn) 正確識別三視圖所表示的空間幾何體，培養(yǎng)學(xué)生空間想像能力. （四）教學(xué)建議 1.畫三視圖是立體幾何中的基本技能，同時(shí)，通過三視圖的學(xué)習(xí)，可以豐富學(xué)生的空間想象力.“視圖”是將物體按正投影法向投影面投射時(shí)所得到的投影圖.光線自物體的前面向后投影所得的投影圖稱為“正視圖”，自左向右投影所得的投影圖稱為“側(cè)視圖”，自上向下投影所得的投影圖稱為“俯視圖”.用這三種視圖即可刻畫空間物體的幾何結(jié)構(gòu)，這種圖稱之為“三視圖”. 2.教科書從復(fù)習(xí)初中學(xué)過的正方體、長方體……的三視圖出發(fā)，要求學(xué)生自己畫出球、長方體的三視圖；接著，通過“思考”提出了“由三視圖想象幾何體”的學(xué)習(xí)任務(wù).進(jìn)行幾何體與其三視圖之間的相互轉(zhuǎn)化是高中階段的新任務(wù)，這是提高學(xué)生空間想象力的需要，應(yīng)當(dāng)作為教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn). 3.三視圖的教學(xué)，主要應(yīng)當(dāng)通過學(xué)生自己的親身實(shí)踐，動手作圖來完成.因此，教科書主要通過提出問題，引導(dǎo)學(xué)生自己動手作圖來展示教學(xué)內(nèi)容.教學(xué)中，教師可以通過提出問題，讓學(xué)生在動手實(shí)踐的過程中學(xué)會三視圖的作法，體會三視圖的作用.對于簡單幾何體的組合體，在作三視圖之前應(yīng)當(dāng)提醒學(xué)生細(xì)心觀察，認(rèn)識了它的基本結(jié)構(gòu)特征后，再動手作圖.教材中的“探究”可以作為作業(yè)，讓學(xué)生在課外完成后，再把自己的作品帶到課堂上來展示交流. 4.值得注意的問題是三視圖的教學(xué)，主要應(yīng)當(dāng)通過學(xué)生自己的親身實(shí)踐、動手作圖來完成.另外，教學(xué)中還可以借助于信息技術(shù)向?qū)W生多展示一些圖片，讓學(xué)生辨析它們是平行投影下的圖形還是中心投影下的圖形. 【新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)】 導(dǎo)入一：能否熟練畫出上節(jié)所學(xué)習(xí)的幾何體？工程師如何制作工程設(shè)計(jì)圖紙？ 我們常用三視圖和直觀圖表示空間幾何體，三視圖是觀察者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)幾何體而畫出的圖形；直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察幾何體而畫出的圖形.三視圖和直觀圖在工程建設(shè)、機(jī)械制造以及日常生活中具有重要意義.本節(jié)我們將在學(xué)習(xí)投影知識的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)空間幾何體的三視圖. 教師指出課題：投影和三視圖. 導(dǎo)入二：“橫看成嶺側(cè)成峰”，這說明從不同的角度看同一物體視覺的效果可能不同，要比較真實(shí)地反映出物體的結(jié)構(gòu)特征，我們可從多角度觀看物體，這堂課我們主要學(xué)習(xí)空間幾何體的三視圖.在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體、長方體、圓柱、圓錐、球的三視圖（正視圖、側(cè)視圖、俯視圖），你能畫出空間幾何體的三視圖嗎？ 教師點(diǎn)出課題：投影和三視圖. 【課堂結(jié)構(gòu)】 提出問題 ①如圖1所示的五個(gè)圖片是我國民間藝術(shù)皮影戲中的部分片斷，請同學(xué)們考慮它們是怎樣得到的? 圖1 ②通過觀察和自己的認(rèn)識,你是怎樣來理解投影的含義的? ③請同學(xué)們觀察圖2的投影過程，它們的投影過程有什么不同？ 圖2 ④圖2（2）（3）都是平行投影，它們有什么區(qū)別？ ⑤觀察圖3，與投影面平行的平面圖形，分別在平行投影和中心投影下的影子和原圖形的形狀、大小有什么區(qū)別？ 圖3 活動：①教師介紹中國的民間藝術(shù)皮影戲，學(xué)生觀察圖片. ②從投影的形成過程來定義. ③從投影方向上來區(qū)別這三種投影. ④根據(jù)投影線與投影面是否垂直來區(qū)別. ⑤觀察圖3并歸納總結(jié)它們各自的特點(diǎn). 討論結(jié)果：①這種現(xiàn)象我們把它稱為是投影. ②由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個(gè)物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影.其中，我們把光線叫做投影線，把留下物體影子的屏幕叫做投影幕. ③圖2（1）的投影線交于一點(diǎn)，我們把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影稱為中心投影；圖2（2）和（3）的投影線平行，我們把在一束平行光線照射下形成投影稱為平行投影. ④圖2（2）中，投影線正對著投影面，這種平行投影稱為正投影；圖2（3）中，投影線不是正對著投影面，這種平行投影稱為斜投影. ⑤在平行投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子和原平面圖形是全等的平面圖形；在中心投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子和原平面圖形是相似的平面圖形.以后我們用正投影的方法來畫出空間幾何體的三視圖和直觀圖. 知識歸納：投影的分類如圖4所示. 圖4 提出問題 ①在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體、長方體、圓柱、圓錐、球的三視圖，請你回憶三視圖包含哪些部分？ ②正視圖、側(cè)視圖和俯視圖各是如何得到的？ ③一般地，怎樣排列三視圖？ ④正視圖、側(cè)視圖和俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方和正上方觀察到的幾何體的正投影圖，它們都是平面圖形.觀察長方體的三視圖，你能得出同一個(gè)幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖在形狀、大小方面的關(guān)系嗎？ 討論結(jié)果：①三視圖包含正視圖、側(cè)視圖和俯視圖. ②光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫該幾何體的正視圖（又稱主視圖）；光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫該幾何體的側(cè)視圖（又稱左視圖）；光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖叫該幾何體的俯視圖. ③三視圖的位置關(guān)系：一般地，側(cè)視圖在正視圖的右邊；俯視圖在正視圖的下邊.如圖5所示. 圖5 ④投影規(guī)律： （1）正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度； 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度； 側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度. （2）一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖高度一樣，正視圖和俯視圖長度一樣，側(cè)視圖和俯視圖寬度一樣，即正、俯視圖——長對正；主、側(cè)視圖——高平齊；俯、側(cè)視圖——寬相等. 畫組合體的三視圖時(shí)要注意的問題： （1）要確定好主視、側(cè)視、俯視的方向，同一物體三視的方向不同，所畫的三視圖可能不同. （2）判斷簡單組合體的三視圖是由哪幾個(gè)基本幾何體生成的，注意它們的生成方式，特別是它們的交線位置. （3）若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，不可見輪廓線，用虛線畫出. （4）要檢驗(yàn)畫出的三視圖是否符合“長對正、高平齊、寬相等”的基本特征，即正、俯視圖長對正；正、側(cè)視圖高平齊；俯、側(cè)視圖寬相等，前后對應(yīng). 由三視圖還原為實(shí)物圖時(shí)要注意的問題： 我們由實(shí)物圖可以畫出它的三視圖，實(shí)際生產(chǎn)中，工人要根據(jù)三視圖加工零件，需要由三視圖還原成實(shí)物圖，這要求我們能由三視圖想象它的空間實(shí)物形狀，主要通過主、俯、左視圖的輪廓線（或補(bǔ)充后的輪廓線）還原成常見的幾何體，還原實(shí)物圖時(shí)，要先從三視圖中初步判斷簡單組合體的組成，然后利用輪廓線（特別要注意虛線）逐步作出實(shí)物圖. 【典例剖析】 例1 畫出圓柱和圓錐的三視圖. 活動：學(xué)生回顧正投影和三視圖的畫法，教師引導(dǎo)學(xué)生自己完成. 解：圖6（1）是圓柱的三視圖，圖6（2）是圓錐的三視圖. (1) (2) 圖6 點(diǎn)評：本題主要考查簡單幾何體的三視圖和空間想象能力.有關(guān)三視圖的題目往往依賴于豐富的空間想象能力.要做到邊想著幾何體的實(shí)物圖邊畫著三視圖，做到想圖（幾何體的實(shí)物圖）和畫圖（三視圖）相結(jié)合. 變式訓(xùn)練1 說出下列圖7中兩個(gè)三視圖分別表示的幾何體. (1) (2) 圖7 答案：圖7（1）是正六棱錐；圖7（2）是兩個(gè)相同的圓臺組成的組合體. 例2.右圖是一幾何體的三視圖，想象該幾何體的幾何結(jié)構(gòu)特征，畫出該幾何體的形狀。 分析：由于俯視圖有一個(gè)圓和一個(gè)四邊形，則該幾何體是由旋轉(zhuǎn)體和多面體拼接成的組合體，結(jié)合側(cè)視圖和正視圖，可知該幾何體是上面一個(gè)圓柱，下面是一個(gè)四棱柱拼接成的組合體。 答案：上面一個(gè)圓柱，下面是一個(gè)四棱柱拼接成的組合體，該幾何體的形狀如圖所示。 變式訓(xùn)練2:某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個(gè)幾何體是（ ） A．三棱錐 B．四棱錐 C．四棱臺 D．三棱臺 分析：由所給三視圖可以判定對應(yīng)的幾何體是四棱錐。 答案：B 例3．如圖甲所示，在正方體中，E、F分別是、的中點(diǎn)，G是正方形的中心，則四邊形AGFE在該正方體的各個(gè)面上的投影可能是圖乙中的 。 分析：在面ABCD和面上的投影是圖乙（1）；在面和面上的投影是圖乙（2）；在面和面上的投影是圖乙（3）。 答案：（1）（2）（3） 點(diǎn)評1：本題主要考查平行投影和空間想象能力。畫出一個(gè)圖形在一個(gè)平面上的投影的關(guān)鍵是確定該圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，如頂點(diǎn)等，畫出這些關(guān)鍵點(diǎn)的投影，再依次連接即可得此圖形在該平面上的投影。如果對平行投影理解不充分，做該類題目容易出現(xiàn)不知所措的情形，避免出現(xiàn)這種情況的方法是依據(jù)平行投影的含義，借助于空間相象來完成。 變式訓(xùn)練:如圖（1）所示，E、F分別為正方體面、面的中心，則四邊形在該正方體的各個(gè)面上的投影可能是圖（2）的 。 分析：四邊形在正方體的面、面上的投影是C；在面上的投影是B；同理，在面、面、面上的投影也全是B。 答案：B C 課堂小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了： 1.中心投影和平行投影. 2.簡單幾何體和組合體的三視圖的畫法及其投影規(guī)律. 3.由三視圖判斷原幾何體的結(jié)構(gòu)特征. 作業(yè) 習(xí)題1.2 A組 第1、2題. 【當(dāng)堂檢測】 一、選擇題 1．若某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個(gè)幾何體是(　　) A．三棱錐　　　　 B．四棱錐 C．四棱臺 D．三棱臺 2．如果一個(gè)空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為全等的等邊三角形，俯視圖為一個(gè)圓及其圓心，那么這個(gè)幾何體為(　　) A．棱錐　　　　　　　 B．棱柱 C．圓錐 D．圓柱 3．下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是(　　) ①正方體?、趫A錐?、廴馀_?、苷睦忮F A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 4．如圖是一正方體被過棱的中點(diǎn)M、N和頂點(diǎn)A、D、C1的兩個(gè)截面截去兩個(gè)角后所得的幾何體，則該幾何體的主視圖為(　　) 5．(xx年北京高考)一個(gè)長方體去掉一個(gè)小長方體，所得幾何體的正(主)視圖與側(cè)(左)視圖分別如下圖所示，則該幾何體的俯視圖為(　　) 6．(xx年全國新課標(biāo)卷)在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖與俯視圖如下圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為(　　) 　　　 二、填空題 7．下列圖形：①線段；②直線；③圓；④梯形；⑤長方體． 其中投影不可能是線段的是________． 8．如圖所示為一個(gè)簡單組合體的三視圖，它的上部是一個(gè)________，下部是一個(gè)________． 參考答案： 1.解析：根據(jù)三視圖的特征可以斷定是四棱錐，由正視圖和側(cè)視圖可知，該四棱錐底面中，必定有一組對邊平行，另一組對邊不平行． 答案：B 2.解析：由于俯視圖是一個(gè)圓及其圓心，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體，又正視圖與側(cè)視圖均為全等的等邊三角形，則該幾何體是圓錐． 答案：C 3.解析：①正方體，三視圖均相同；②圓錐，正視圖和側(cè)視圖相同；③三棱臺，三視圖各不相同；④正四棱錐，正視圖和側(cè)視圖相同． 答案：D 4.解析：根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，主視圖為B. 答案：B 5.解析：由幾何體的正視圖、側(cè)視圖，結(jié)合題意，可知選C. 答案：C 6.解析：由正視圖和俯視圖可知，該幾何體為一個(gè)半圓錐與一個(gè)三棱錐的組合體．故側(cè)視圖為兩個(gè)三角形的組合圖形，且交界處為可見的，故選D. 答案：D 7.解析：線段的投影是點(diǎn)或線段；直線的投影是點(diǎn)或直線；圓的投影是線段或圓或橢圓；梯形的投影是線段或梯形；長方體的投影是平行四邊形． 答案：②⑤ 8.答案：圓錐　圓柱 1.2.3 空間幾何體的直觀圖 【本節(jié)教材分析】 （一）三維目標(biāo) 1.通過用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形和空間幾何體的直觀圖，提高學(xué)生識圖和畫圖的能力，培養(yǎng)探究精神和意識，以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法. 3.給出一些幾何體的三視圖，通過感知和操作，讓學(xué)生還原成幾何體，掌握由俯視圖入手分析幾何體結(jié)構(gòu)特征的方法，理解三視圖和直觀圖的聯(lián)系，并能進(jìn)行轉(zhuǎn)化. （二）教學(xué)重點(diǎn) 用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖. （三）教學(xué)難點(diǎn) 直觀圖和三視圖的互化，培養(yǎng)學(xué)生空間想像能力. （四）教學(xué)建議 1.“空間幾何體的直觀圖”只介紹了最常用的、直觀性好的斜二測畫法.用斜二測畫法畫直觀圖，關(guān)鍵是掌握水平放置的平面圖形直觀圖的畫法，這是畫空間幾何體直觀圖的基礎(chǔ).因此，教科書安排了兩個(gè)例題，用以說明畫水平放置的平面圖形直觀圖的方法和步驟.在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生體會畫水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置.因?yàn)槎噙呅雾旤c(diǎn)的位置一旦確定，依次連接這些頂點(diǎn)就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時(shí)，直觀圖的畫法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫法.而在平面上確定點(diǎn)的位置，可以借助于平面直角坐標(biāo)系，確定了點(diǎn)的坐標(biāo)就可以確定點(diǎn)的位置.因此，畫水平放置的平面直角坐標(biāo)系應(yīng)當(dāng)是學(xué)生首先要掌握的方法. 2.值得注意的是直觀圖的教學(xué)應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生正確把握圖形尺寸大小之間的關(guān)系；另外，教學(xué)中還可以借助于信息技術(shù)向?qū)W生多展示一些圖片，讓學(xué)生辨析它們是平行投影下的圖形還是中心投影下的圖形. 【新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)】 導(dǎo)入一：畫幾何體時(shí)，畫得既富有立體感，又能表達(dá)出圖形各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系，怎樣畫呢？ 教師指出課題：第1.2.3節(jié) 空間幾何體的直觀圖 導(dǎo)入二：正投影主要用于繪制三視圖，在工程制圖中被廣泛采用，但三視圖的直觀性較差，因此繪制物體的直觀圖一般采用斜投影或中心投影.中心投影雖然可以顯示空間圖形的直觀形象，但作圖方法比較復(fù)雜，又不易度量，因此在立體幾何中通常采用斜投影的方法來畫空間圖形的直觀圖.把空間圖形畫在紙上，是用一個(gè)平面圖形來表示空間圖形，這樣表達(dá)的不是空間圖形的真實(shí)形狀，而是它的直觀圖. 【課堂結(jié)構(gòu)】 提出問題 ①如何用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖？ ②上述畫直觀圖的方法稱為斜二測畫法，請總結(jié)其步驟. ③探求空間幾何體的直觀圖的畫法.用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4 cm、3 cm、2 cm的長方體ABCD—A′B′C′D′的直觀圖. ④用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形和幾何體的直觀圖有什么不同？并總結(jié)畫幾何體的直觀圖的步驟. 活動：①和③教師首先示范畫法，并讓學(xué)生思考斜二測畫法的關(guān)鍵步驟,讓學(xué)生發(fā)表自己的見解，教師及時(shí)給予點(diǎn)評. ②根據(jù)上述畫法來歸納. ③讓學(xué)生比較兩種畫法的步驟. 討論結(jié)果：①畫法：1如圖1（1），在正六邊形ABCDEF中，取AD所在直線為x軸，對稱軸MN所在直線為y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.在圖1(2)中，畫相應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′=45. 2在圖1(2)中，以O(shè)′為中點(diǎn)，在x′軸上取A′D′=AD，在y′軸上取M′N′=MN.以點(diǎn)N′為中點(diǎn)畫B′C′平行于x′軸，并且等于BC；再以M′為中點(diǎn)畫E′F′平行于x′軸，并且等于EF. 3連接A′B′，C′D′，D′E′，F(xiàn)′A′，并擦去輔助線x′軸和y′軸，便獲得正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A′B′C′D′E′F′〔圖1(3)〕. 圖1 ②步驟是：1在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′=45(或135)，它們確定的平面表示水平面. 2已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段. 3已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半. ③畫法：1畫軸.如圖2，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy=45，∠xOz=90. 圖2 2畫底面.以點(diǎn)O為中點(diǎn)，在x軸上取線段MN，使MN=4 cm;在y軸上取線段PQ，使PQ=cm.分別過點(diǎn)M和N作y軸的平行線，過點(diǎn)P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A、B、C、D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD. 3畫側(cè)棱.過A、B、C、D各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2 cm長的線段AA′、BB′、CC′、DD′. 4成圖.順次連接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到長方體的直觀圖. 點(diǎn)評：畫幾何體的直觀圖時(shí)，如果不作嚴(yán)格要求，圖形尺寸可以適當(dāng)選取，用斜二測畫法畫圖的角度也可以自定，但是要求圖形具有一定的立體感. ④畫幾何體的直觀圖時(shí)還要建立三條軸，實(shí)際是建立了空間直角坐標(biāo)系，而畫水平放置平面圖形的直觀圖實(shí)際上建立的是平面直角坐標(biāo)系.畫幾何體的直觀圖的步驟是： 1在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸Ox、Oy，再作Oz軸，使∠xOy=90,∠yOz=90. 2畫出與Ox、Oy、Oz對應(yīng)的軸O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′=45，∠y′O′z′=90,x′O′y′所確定的平面表示水平平面. 3已知圖形中，平行于x軸、y軸和z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸和z′軸的線段，并使它們在所畫坐標(biāo)軸中的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同. 4已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半. 5擦除作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖. 斜二測畫法的作圖技巧: 1在已知圖中建立直角坐標(biāo)系，理論上在任何位置建立坐標(biāo)系都行，但實(shí)際作圖時(shí)，一般建立特殊的直角坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用原有直線為坐標(biāo)軸或圖形的對稱直線為坐標(biāo)軸或圖形的對稱點(diǎn)為原點(diǎn)或利用原有垂直正交的直線為坐標(biāo)軸等. 2在原圖中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中依然與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線，畫端點(diǎn)時(shí)作坐標(biāo)軸的平行線為輔助線.原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn)，利用上述方法作出直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫出. 3在畫一個(gè)水平放置的平面時(shí)，由于平面是無限延展的，通常我們只畫出它的一部分表示平面，一般地，用平行四邊形表示空間一個(gè)水平平面的直觀圖. 【典例剖析】 例1　用斜二測畫法畫水平放置的正五邊形的直觀圖． 思路分析：由題目可獲取以下主要信息： ①此五邊形的邊長相等，五個(gè)內(nèi)角也相等； ②此五邊形是軸對稱圖形． 解：(1)建立如圖①所示的直角坐標(biāo)系xOy，再建立如圖②所示的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45. (2)在圖①中作BG⊥x軸于G，EH⊥x軸于H.在坐標(biāo)系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝OA，O′F′＝OF.過F′作C′D′∥x′軸，且C′D′＝CD，C′F′＝D′F′. (3)在坐標(biāo)系x′O′y′中，過G′作G′B′∥y′軸，且G′B′＝BG.過H′作H′E′∥y′軸，且H′E′＝HE.連接A′B′，B′C′，D′E′，E′A′，得五邊形A′B′C′D′E′，即為正五邊形ABCDE的直觀圖． 變式訓(xùn)練 1.畫水平放置的等邊三角形的直觀圖. 答案：略. 2.關(guān)于“斜二測畫法”，下列說法不正確的是（ ） A.原圖形中平行于x軸的線段，其對應(yīng)線段平行于x′軸，長度不變 B.原圖形中平行于y軸的線段，其對應(yīng)線段平行于y′軸，長度變?yōu)樵瓉淼? C.在畫與直角坐標(biāo)系xOy對應(yīng)的x′O′y′時(shí)，∠x′O′y′必須是45 D.在畫直觀圖時(shí)，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同 分析：在畫與直角坐標(biāo)系xOy對應(yīng)的x′O′y′時(shí)，∠x′O′y′也可以是135，所以C不正確. 答案：C 例2．如下圖是已知幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖． 活動：學(xué)生回顧討論斜二測畫法的步驟，自己畫出來后再互相交流.教師適當(dāng)點(diǎn)評. 解：由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面半徑為1 cm，高為2 cm的圓錐．直觀圖的畫法如下： (1)畫軸：如圖(1)所示，畫Ox，Oy，Oz軸，使∠xOy＝45，∠xOz＝90. (2)畫圓錐的底面：在平面xOy上畫底面半徑為1 cm的圓的水平放置的直觀圖． (3)畫圓錐的頂點(diǎn)：在Oz軸上截取OP＝2 cm. (4)成圖：連接PA，PB，擦去輔助線和字母，得圓錐的直觀圖，如圖(2)所示． 點(diǎn)評：本題主要考查用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖. 點(diǎn)評： 空間幾何體的三視圖與直觀圖有著密切的聯(lián)系，我們能夠由空間幾何體的三視圖得到它的直觀圖.同時(shí)，也能夠由空間幾何體的直觀圖得到它的三視圖. 變式訓(xùn)練 圖6所示是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖，你能想象出它的幾何結(jié)構(gòu)，并畫出它的直觀圖嗎？ 圖6 答案：獎(jiǎng)杯的幾何結(jié)構(gòu)是最上面是一個(gè)球，中間是一個(gè)四棱柱，最下面是一個(gè)棱臺拼接成的簡單組合體.其直觀圖略. 課堂小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了： 1.直觀圖的概念. 2.直觀圖的畫法. 3.直觀圖和三視圖的關(guān)系. 4.規(guī)律總結(jié)： （1）三視圖的排列規(guī)則是：先畫正視圖，俯視圖安排在正視圖的正下方，長度與正視圖一樣，側(cè)視圖安排在正視圖的正右方，高度與正視圖一樣.正視圖反映物體的主要形狀特征，是三視圖中最重要的視圖，俯視圖與側(cè)視圖共同反映物體的寬度要相等.正視圖又稱為主視圖，側(cè)視圖又稱為左視圖. (2)畫三視圖時(shí)，要遵循“長對正，高平齊，寬相等”的原則.若相鄰兩個(gè)幾何體的表面相交，表面的交線是它們原分界線，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，不可見的輪廓線用虛線畫出. (3)用斜二測畫法畫直觀圖，關(guān)鍵是掌握水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法，而畫水平放置的平面圖形的關(guān)鍵是確定多邊形的頂點(diǎn).因?yàn)槎噙呅雾旤c(diǎn)的位置一旦確定，依次連接這些頂點(diǎn)就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時(shí)，直觀圖的畫法就可歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫法. (4)如果同一個(gè)空間圖形擺放的位置不同，那么畫出的三視圖會有所不同，畫出的直觀圖也是會有所不同. 作業(yè) 習(xí)題1.2 A組 第5、6題. 【當(dāng)堂檢測】 一、選擇題 1．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對其中的線段說法錯(cuò)誤的是(　　) A．原來相交的仍相交　　　 B．原來垂直的仍垂直 C．原來平行的仍平行　　　 D．原來共點(diǎn)的仍共點(diǎn) 2．如圖，△A′B′C′是△ABC的直觀圖，那么△ABC是(　　) A．等腰三角形　　　　　　 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形 3．一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于(　　) A.＋ B．1＋ C．1＋ D．2＋ 4．如圖所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是(　　) 5．如下圖所示是△AOB用斜二測畫法畫出的直觀圖，則△AOB的面積是(　　) A．8　　　　B．16　　　　C．32　　　　D．64 二、填空題 6．用斜二測畫法畫直觀圖時(shí)，原坐標(biāo)系中A(0,2)，B(0,8)，表示的線段AB，在直觀圖坐標(biāo)系x′O′y′中，畫出線段A′B′，則A′B′的長為________． 7．水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則原圖中AB邊上中線的實(shí)際長度為________． 8．如圖所示的正方形O′A′B′C′的邊長為1 cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是________． 三、解答題 9．如圖所示，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其恢復(fù)成原圖形． 10．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖． 1.解析：按斜二測畫法畫直觀圖時(shí)，角度要發(fā)生改變，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤，其余均正確． 答案：B 2.解析：因?yàn)锳′B′∥x′軸，A′C′∥y′軸，所以把直觀圖還原成實(shí)際圖形后，AC⊥AB，∴△ABC為直角三角形． 答案：B 3.解析：平面圖形是上底長為1，下底長為1＋，高為2的直角梯形． 答案：D 4.解析：把直觀圖還原為原圖形，∠O′還原為∠O，為鈍角．故選C. 答案：C 5.解析：由圖可知△AOB的底邊長為4，高為16，所以面積為416＝32. 答案：C 6.解析：原坐標(biāo)系中在y軸上長度為6，所以在直觀圖中長度為原來的一半，為3. 答案：3 7.解析：把直觀圖還原為原圖，為Rt△ABC，且∠C＝90，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，AB邊上的中線為AB，即為2.5. 答案：2.5 8.解析：直觀圖中，O′B′＝，原圖形中OC＝AB＝＝3，OA＝BC＝1，∴原圖形的周長是2(3＋1)＝8. 答案：8 9.解：畫法：(1)畫直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′； (2)在圖(1)中，過B′作B′D′∥y′軸，交x′軸于D′，在x軸上取OD＝O′D′，過D作DB∥y軸，并使DB＝2D′B′. (3)△ABC即為△A′B′C′原來的圖形，如圖(2)所示． 10.解：由三視圖知該幾何體是一個(gè)簡單的組合體，它的下部是一個(gè)正四棱臺，上部是一個(gè)正四棱錐． 畫法：(1)畫軸．如圖(1)，畫x軸、y軸、z軸，使∠xOy＝45，∠xOz＝90. (2)畫底面，利用斜二測畫法畫出底面ABCD，在z軸上截取O′，使OO′等于三視圖中相應(yīng)高度，過O′作Ox的平行線O′x′，Oy的平行線O′y′，利用O′x′與O′y′畫出上底面A′B′C′D′. (3)畫正四棱錐頂點(diǎn)．在Oz上截取點(diǎn)P，PO′等于三視 圖中相應(yīng)的高度． (4)成圖．連接PA′、PB′、PC′、PD′、A′A、B′B、C′C、D′D，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖如圖(2)所示．