2018-2019學年高中數(shù)學 第三章 數(shù)學歸納法與貝努利不等式 3.1.1 數(shù)學歸納法原理導學案 新人教B版選修4-5.docx
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3.1.1 數(shù)學歸納法原理 1.理解歸納法和數(shù)學歸納法原理. 2.會用數(shù)學歸納法證明有關(guān)問題. 自學導引 1.由有限多個個別的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法,通常稱為歸納法. 2.一般地,當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟: (1)證明當n取初始值n0時命題成立; (2)假設(shè)當n=k時命題成立,證明n=k+1時命題也成立. 在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于從初始值n0開始的所有自然數(shù)都正確.這種證明方法稱為數(shù)學歸納法. 基礎(chǔ)自測 1.設(shè)f(n)=+++…+(n∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于( ) A. B. C.+ D.- 解析 f(n)=+++…+ f(n+1)=++…+++ ∴f(n+1)-f(n)=+-=-,選D. 答案 D 2.用數(shù)學歸納法證明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)時,從“k到k+1”左邊需增乘的代數(shù)式是( ) A.2k+1 B. C.2(2k+1) D. 解析 n=k時,(k+1)(k+2)…(k+k)=2k13…(2n-1). n=k+1時,(k+2)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1). ∴增乘的代數(shù)式是=2(2k+1),選C. 答案 C 3.數(shù)列{an}中,已知a1=1,當n≥2時,an=an-1+2n-1,依次計算a2,a3,a4后,猜想an的表達式是________. 解析 a1=1,a2=a1+3=4,a3=4+5=9,a4=9+7=16,猜想an=n2. 答案 an=n2 知識點1 利用數(shù)學歸納法證明等式 【例1】 通過計算下面的式子,猜想出-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)的結(jié)果,并加以證明. -1+3=________;-1+3-5=________; -1+3-5+7=________;-1+3-5+7-9=________. 解 上面四個式子的結(jié)果分別是2,-3,4,-5, 由此猜想:-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)nn 下面用數(shù)學歸納法證明: (1)當n=1時,式子左右兩邊都等于-1,即這時等式成立. (2)假設(shè)當n=k(k≥1)時等式成立,即 -1+3-5+…+(-1)k(2k-1)=(-1)kk 當n=k+1時, -1+3-5+…+(-1)k(2k-1)+(-1)k+1(2k+1) =(-1)kk+(-1)k+1(2k+1)=(-1)k+1(-k+2k+1) =(-1)k+1(k+1). 即n=k+1時,命題成立. 由(1)(2)知,命題對于n∈N*都成立. ●反思感悟:用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式命題關(guān)鍵在于“先看項”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式的兩邊各有多少項,項的多少與n的取值是否有關(guān).由n=k到n=k+1時,等式的兩邊會增加多少項,增加怎樣的項. 1.用數(shù)學歸納法證明:1-+-+…+-=++…+. 證明 (1)當n=1時,左邊=1-=,右邊=,命題成立. (2)假設(shè)當n=k (k≥1)時命題成立,即 1-+-+…+- =++…+, 那么當n=k+1時, 左邊=1-+-+…+-+-=++…++- =++…++. 上式表明當n=k+1時命題也成立.由(1)和(2)知,命題對一切自然數(shù)均成立. 【例2】 證明+++…++=1-(其中n∈N*)成立的過程如下,請判斷證明是否正確?為什么? 證明:(1)當n=1時,左邊=,右邊=1-=. ∴當n=1時,等式成立. (2)假設(shè)當n=k (k≥1)時,等式成立,即 +++…++=1-, 那么當n=k+1時, 左邊=+++…+++ ==1-=右邊. 這就是說,當n=k+1時,等式也成立. 根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何n∈N*都成立. 解 不正確,錯誤的原因在第(2)步,它是直接利用等比數(shù)列的求和公式求出了當n=k+1時,式子+++…+++的和,而沒有利用“歸納假設(shè)”. 正確的證明如下: (1)當n=1時,左邊=,右邊=1-=,等式成立. (2)假設(shè)當n=k (k∈N*,k≥2)時,等式成立,就是 +++…++=1-, 那么當n=k+1時, 左邊=+++…+++ =1-+=1-=1-=右邊. 這就是說,當n=k+1時,等式也成立. 根據(jù)(1)和(2),可知等式對任意n∈N*都成立. ●反思感悟:在推證“n=k+1”命題也成立時,必須把“歸納假設(shè)”n=k時的命題,作為必備條件使用上,否則不是數(shù)學歸納法.對項數(shù)估算的錯誤,特別是尋找n=k與n=k+1的關(guān)系時,項數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯是常見錯誤. 2.用數(shù)學歸納法證明: …= (n≥2). 證明 (1)當n=2時,左邊=1-=, 右邊==,等式成立. (2)假設(shè)當n=k (k∈N*,k≥2)時,等式成立, 即…= 則當n=k+1時, … ===, 即n=k+1時,等式成立. 由(1)(2)知,對于任意正整數(shù)n(n≥2),原等式成立. 知識點2 用數(shù)學歸納法證明不等式 【例3】 用數(shù)學歸納法證明: 1+++…+<2- (n≥2). 證明 (1)當n=2時,1+=<2-=,命題成立. (2)假設(shè)n=k (k∈N*,k≥2)時命題成立, 即1+++…+<2-, 當n=k+1時,1+++…++ <2-+ <2-+=2-+- =2-,命題成立. 由(1)、(2)知原不等式在n≥2時均成立. ●反思感悟:(1)由n=k到n=k+1時的推證過程中應(yīng)用了“放縮”的技巧,使問題簡單化,這是利用數(shù)學歸納法證明不等式時常用的方法之一. (2)數(shù)學歸納法的應(yīng)用通常與數(shù)學的其他方法聯(lián)系在一起,如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等. 3.求證:1+++…+≥ (n∈N*). 證明 (1)當n=1時,左邊=1,右邊=1, ∴左邊≥右邊,即命題成立. (2)假設(shè)當n=k時,命題成立, 即1+++…+≥. 那么當n=k+1時, 1+++…++≥+ =+≥+ ====. 由(1)(2)知原不等式在n∈N*時均成立. 課堂小結(jié) 1.數(shù)學歸納法的兩個步驟缺一不可,只完成步驟(1)而缺少步驟(2)就可能得出不正確的結(jié)論,因為單靠(1)無法遞推下去,即n取n0以后的數(shù)時命題是否正確無法判斷.同樣只有步驟(2)而沒有步驟(1)也可能得出不正確的結(jié)論.因為缺少(1),假設(shè)就失去了成立的前提,步驟(2)也就沒有意義了. 2.數(shù)學歸納法證明的關(guān)鍵是第二步,此處要搞清兩點: (1)當n=k+1時,證明什么,即待證式子的兩端發(fā)生了哪些變化. (2)由n=k推證n=k+1時,可以綜合應(yīng)用以前學過的定義、定理、公式、方法等來進行證明,只不過必須得把n=k時的結(jié)論作為條件應(yīng)用上. 隨堂演練 1.在用數(shù)學歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理時,第一步應(yīng)驗證( ) A.n=1成立 B.n=2成立 C.n=3成立 D.n=4成立 解析 因為多邊形邊數(shù)最少的是三角形,故應(yīng)選C. 答案 C 2.設(shè)f(n)=1+++…+(n∈N+),則f(n+1)-f(n)等于( ) A. B.+ C.+ D.++ 解析 f(n)=1+++…+. f(n+1)=1+++…++++. ∴f(n+1)-f(n)=++,應(yīng)選D. 答案 D 3.已知a1=,an+1=,n∈N*,求證:an<2. 證明 (1)n=1時,∵a1=,∴a1<2. (2)設(shè)n=k (k≥1)時,ak<2, 當n=k+1時,ak+1=<=2. 故n=k+1時,命題成立. 由(1)(2)知,n∈N*時,an<2都成立. 基礎(chǔ)達標 1.滿足12+23+34+…+n(n+1)=3n2-3n+2的自然數(shù)n=( ) A.1 B.1或2 C.1,2,3 D.1,2,3,4 解析 經(jīng)驗證當n=1,2,3時均正確,但當n=4時,左邊=12+23+34+45=40,而右邊=342-34+2=38,故選C. 答案 C 2.一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題,當n=2時命題成立,且由n=k時命題成立推得n=k+2時命題也成立則( ) A.該命題對于n>2的自然數(shù)n都成立 B.該命題對于所有的正偶數(shù)都成立 C.該命題何時成立與k取什么值無關(guān) D.以上答案都不對 解析 由題意n=2時成立可推得n=4,6,8…都成立,因此所有正偶數(shù)都成立,故選B. 答案 B 3.某個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,如果當n=k (k∈N*且k≥1)時該命題成立,則一定可推得當n=k+1時該命題也成立,現(xiàn)已知n=5時該命題不成立,那么應(yīng)有( ) A.當n=4時該命題成立 B.當n=6時該命題成立 C.當n=4時該命題不成立 D.當n=6時該命題不成立 答案 C 4.在數(shù)列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an.通過求a2,a3,a4猜想an的表達式是________. 解析?。玜2=2(22-1)a2,a2=, ++a3=3(23-1)a3,a3=, +++a4=4(24-1)a4,a4=, 猜想an=. 答案 an= 5.觀察下列等式 1=1, 3+5=8, 7+9+11=27, 13+15+17+19=64, …, 請猜想第n個等式是________________________. 答案 (n2-n+1)+(n2-n+3)+…+[n2-n+(2n-1)]=n3 6.求證:++…+>(n≥2,n∈N*). 證明 (1)當n=2時,左邊=+++>,不等式成立. (2)假設(shè)n=k (k≥2,k∈N*)時命題成立, 即++…+>, 則當n=k+1時, ++…++++=++…++ >+ >+=, 所以當n=k+1時不等式也成立. 由(1)(2)可知,原不等式對一切n≥2,n∈N*均成立. 綜合提高 7.用數(shù)學歸納法證明:“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”在驗證n=1時,左端計算所得的項為( ) A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 解析 當n=1時,an+1=a2, ∴左邊應(yīng)為1+a+a2,故選C. 答案 C 8.已知f(x)是定義域為正整數(shù)集的函數(shù),對于定義域內(nèi)任意的k,若f(k)≥k2成立,則f(k+1)≥(k+1)2成立,下列命題成立的是( ) A.若f(3)≥9成立,則對于任意的k≥1,均有f(k)≥k2成立 B.若f(4)≥16成立,則對于任意的k≥4,均有f(k)- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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