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第2講 圓錐曲線
[考情考向分析] 圓錐曲線中的基本問題一般以定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等作為考查的重點(diǎn)，多為填空題．橢圓的有關(guān)知識(shí)為B級(jí)要求，雙曲線、拋物線的有關(guān)知識(shí)為A級(jí)要求．
熱點(diǎn)一 圓錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程
例1 (1)(2018江蘇省南京師大附中模擬)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程是y＝2x，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝20x的焦點(diǎn)相同，則雙曲線的方程是________．
答案?。?
解析 由題意得＝2，c＝5，再由c2＝a2＋b2得a2＝5，b2＝20，故雙曲線的方程是－＝1.
(2)(2018南通等六市調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C與雙曲線x2－＝1有公共的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)P，則雙曲線C的焦距為________．
答案 4
解析 ∵雙曲線C 與雙曲線x2－＝1有公共的漸近線，
∴設(shè)雙曲線C的方程為x2－＝λ(λ≠0)，
∵雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)P，
∴λ＝4－1＝3，
∴雙曲線C的方程為－＝1.
∴雙曲線C的焦距為2＝4.
思維升華 (1)對(duì)于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細(xì)節(jié)部分：比如橢圓的定義要求PF1＋PF2＞F1F2，雙曲線的定義中要求|PF1－PF2|＜F1F2.(2)注意數(shù)形結(jié)合，畫出合理草圖．
跟蹤演練1 (1)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是________．
答案 (－1,3)
解析 ∵方程－＝1表示雙曲線，∴(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2
0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若BC＝2BF，且AF＝3，則此拋物線方程為________．
答案 y2＝3x
解析 如圖分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，
設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為G，設(shè)BF＝a，
則由已知得BC＝2a，
由拋物線定義，得BD＝a，故∠BCD＝30，
在Rt△ACE中，
∵AE＝AF＝3，AC＝3＋3a，
由2AE＝AC，得3＋3a＝6，
從而得a＝1，F(xiàn)C＝3a＝3.
∴p＝FG＝FC＝，
因此拋物線方程為y2＝3x.
熱點(diǎn)二 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
例2 (1)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸．過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為________．
答案
解析 設(shè)M(－c，m)，則E，OE的中點(diǎn)為D，
則D，又B，D，M三點(diǎn)共線，
所以＝，a＝3c，e＝
(2)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，則a＝________.
答案 2
解析 設(shè)B為雙曲線的右焦點(diǎn)，如圖所示．∵四邊形OABC為正方形且邊長(zhǎng)為2，
∴c＝OB＝2.
又∠AOB＝，
∴＝tan＝1，即a＝b.
又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
思維升華 解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題，其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、圖形的結(jié)構(gòu)特征、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等．
跟蹤演練2 (1)已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2AB＝3BC，則E的離心率是________．
答案 2
解析 由已知得AB＝，BC＝2c，∴2＝32c，又∵b2＝c2－a2，整理得2c2－3ac－2a2＝0，兩邊同除以a2得22－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，
解得e＝2或e＝－(舍去)．
(2)(2018江蘇省鹽城中學(xué)模擬)已知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍是________.
答案
解析 設(shè)P(x，y)，則＝(－c－x，－y)(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，(*)
將y2＝b2－x2代入(*)式，
解得x2＝＝，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝∈.
熱點(diǎn)三 直線與圓錐曲線
例3 已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若AF＋BF＝4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是________．
答案
解析 設(shè)左焦點(diǎn)為F0，連結(jié)F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形．
∵AF＋BF＝4，
∴AF＋AF0＝4，∴a＝2.
設(shè)M(0，b)，則≥，∴1≤b＜2.
離心率e＝＝＝＝∈.
思維升華 解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程組求解點(diǎn)的坐標(biāo)或利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求等求解，解題中要注意使用條件Δ≥0.涉及中點(diǎn)問題也可以用點(diǎn)差法．
跟蹤演練3 (1)過雙曲線－＝1上任意一點(diǎn)P，引與實(shí)軸平行的直線，交兩漸近線于R，Q兩點(diǎn)，則的值為________．
答案 a2
解析 設(shè)P，則R，Q，于是＝
＝＝x2－y2＝＝＝a2.
(2)已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，若C1恰好將線段AB三等分，則b＝________.
答案
解析 由雙曲線x2－＝1知漸近線方程為y＝2x，
又∵橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，
∴橢圓方程可化為b2x2＋(b2＋5)y2＝(b2＋5)b2，
聯(lián)立漸近線與橢圓方程消去y，得x2＝，
又∵C1將線段AB三等分，
∴2＝，解得b2＝.∴b＝.
1．(2018江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值為________．
答案 2
解析 雙曲線的漸近線方程為bxay＝0，焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線的距離d＝＝b.
∴b＝c，
∴a＝＝c，∴e＝＝2.
2．(2017江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線－y2＝1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P，Q，其焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，則四邊形F1PF2Q的面積是________．
答案 2
解析 漸近線方程為y＝x，右準(zhǔn)線方程為x＝，
得P，Q坐標(biāo)分別為.
PQ＝，F(xiàn)1F2＝2c＝4，
所以四邊形F1PF2Q的面積等于4＝2.
3．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)，過雙曲線C的右焦點(diǎn)F作C的漸近線的垂線，垂足為M，延長(zhǎng)FM與y軸交于點(diǎn)P，且FM＝4PM，則雙曲線C的離心率為_________________．
答案
解析 雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x，右焦點(diǎn)F，
過F與漸近線垂直的直線為y＝－，
由
可解得xM＝，yM＝，
在y＝－中，令x＝0，可得yP＝，
∵FM＝4PM，∴＝4，
∴－c＝4，
整理得5a2＝c2，則e2＝5，
∴e＝，
即雙曲線C的離心率為.
4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)，直線y＝與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BFC＝90，則該橢圓的離心率是_________________________________．
答案
解析 聯(lián)立方程組
解得B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)為B，C，
又F(c,0)，
則＝，＝，
又由∠BFC＝90，可得＝0，代入坐標(biāo)可得
c2－a2＋＝0，(*)
又因?yàn)閎2＝a2－c2.
代入(*)式可化簡(jiǎn)為＝，則橢圓離心率為e＝＝＝.
5．(2018無(wú)錫期末)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)與橢圓＋＝1的焦點(diǎn)重合，離心率互為倒數(shù)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，P為右支上任意一點(diǎn)，則的最小值為________．
答案 8
解析 由已知c＝＝2，
∴F1，F(xiàn)2，e＝＝ .又雙曲線C與橢圓焦點(diǎn)重合，離心率互為倒數(shù)，∴a2＋b2＝c2＝4，ec＝＝＝2，∴a2＝1，b2＝3 ，則雙曲線C: －＝1.P 在右支上，
∴PF1>PF2，根據(jù)雙曲線的定義有PF1－PF2＝2a＝2，
∴PF1＝2＋PF2 ，PF＝2＝PF＋4PF2＋4，∴＝
＝PF2＋＋4≥2＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)PF2＝2時(shí)等號(hào)成立．
故的最小值為8.
A組 專題通關(guān)
1．若雙曲線x2－＝1的離心率為，則實(shí)數(shù)m＝____________________________________.
答案 2
解析 由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知，
a＝1，b2＝m，c＝，
故雙曲線的離心率e＝＝＝，
∴1＋m＝3，解得m＝2.
2．(2018淮安等四市模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為x－2y＝0，則該雙曲線的離心率為________．
答案
解析 y＝x＝x，所以＝，得離心率e＝＝.
3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：－＝1(a＞0)的一條漸近線與直線y＝2x＋1平行，則實(shí)數(shù)a的值是________．
答案 1
解析 由雙曲線的方程可知其漸近線方程為y＝x.因?yàn)橐粭l漸近線與直線y＝2x＋1平行，所以＝2，解得a＝1.
4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若曲線C經(jīng)過點(diǎn)P(1,3)，則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為________．
答案
解析 由題意設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p≠0)，
又因?yàn)檫^點(diǎn)P(1,3)，則p＝.
即為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．
5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線－＝1上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)M到此雙曲線的右焦點(diǎn)的距離為________．
答案 4
解析 設(shè)右焦點(diǎn)為F(4,0)．
把x＝3代入雙曲線方程得y＝，
即M(3，)．
由兩點(diǎn)間距離公式得
MF＝＝4.
6．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線過點(diǎn)(2，) ，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為________．
答案?。?
解析 雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝x，
又漸近線過點(diǎn)(2，)，
所以＝，即2b＝a，①
拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－，
由已知，得＝，
即a2＋b2＝7，②
聯(lián)立①②，解得a2＝4，b2＝3，
所以雙曲線的方程為－＝1.
7．直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為________．
答案
解析 如圖，由題意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝2b＝b.
在Rt△FOB中，OFOB＝BFOD，即cb＝ab，解得a＝2c，故橢圓離心率e＝＝.
8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0, )且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍為________________．
答案 ∪
解析 設(shè)直線l的方程為 y－＝k，
即y＝kx＋，
與橢圓方程聯(lián)立可得 x2＋4kx＋2＝0，
直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則
Δ＝2－8>0，
解得k的取值范圍為∪.
9．(2018揚(yáng)州期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與圓x2＋y2－6y＋5＝0沒有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是________．
答案
解析 圓的方程可化為x2＋2＝4，雙曲線的漸近線方程為bxay＝0，
依題意有 >2，
整理得3a＞2c，∴e<，
又e>1，∴雙曲線離心率的取值范圍是.
10．已知橢圓方程為＋＝1，若點(diǎn)M為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓C的左頂點(diǎn)，連結(jié)AM交橢圓于點(diǎn)P，則的取值范圍是____________．
答案
解析 設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0，
則＝－1，
∵－4＜x0≤4，∴＝－1≥，
∴的取值范圍是.
B組 能力提高
11．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與直線3x＋y＋3＝0垂直，以C的右焦點(diǎn)F為圓心的圓(x－c)2＋y2＝2與它的漸近線相切，則雙曲線的焦距為________．
答案 2
解析 由已知，得＝－1，所以＝.
由點(diǎn)F(c,0)到漸近線y＝x的距離d＝＝，
可得c＝，則2c＝2.
12．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為________________．
答案?。?
解析 由圓C：x2＋y2－6x＋5＝0，得(x－3)2＋y2＝4，
因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心(3,0)，所以c＝3，
又雙曲線的兩條漸近線bxay＝0均和圓C相切，
所以＝2，即＝2，
又因?yàn)閏＝3，所以b＝2，即a2＝5，
所以該雙曲線的方程為－＝1.
13．已知F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，若M為橢圓上一點(diǎn)，且△MF1F2的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)等于3π，則滿足條件的點(diǎn)M有________個(gè)．
答案 2
解析 由橢圓方程＋＝1可得a2＝25，b2＝16，
∴a＝5，b＝4，c＝3.
由橢圓的定義可得MF1＋MF2＝2a＝10，
且F1F2＝2c＝6，
∴△MF1F2的周長(zhǎng)為MF1＋MF2＋F1F2＝10＋6＝16.
設(shè)△MF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r，
由題意可得2πr＝3π，解得r＝.
設(shè)M(x0，y0)，
則＝(MF1＋MF2＋F1F2)r
＝F1F2|y0|，
即16＝6|y0|，解得|y0|＝4.
∴y0＝4，∴M(0,4)或M(0，－4)．
即滿足條件的點(diǎn)M有2個(gè)．
14．(2018江蘇省鹽城中學(xué)期末)已知橢圓C1：＋＝1與圓C2：x2＋y2＝b2，若橢圓C1上存在點(diǎn)P，由點(diǎn)P向圓C2所作的兩條切線為PA, PB且∠APB＝60，則橢圓C1的離心率的取值范圍是________．
答案
解析 因?yàn)椤螦PB＝60，所以∠POB＝60，在Rt △POB中，由OB＝b，得PO＝2b，由點(diǎn)P在橢圓上知， b0，b>0)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，k1k2≠0，則|k1|＋4|k2|的最小值為________．
答案 4
解析 設(shè)M(p，q)，N(－p，－q)，P(s，t)，則－＝1, －＝1，兩式相減整理得，－＝－，
∴＝，又∵雙曲線－＝1的離心率為2，
∴＝2，＝4，∴＝3，由斜率公式可得k1k2＝＝3，∴k1與k2同號(hào)，∴|k1|＋4|k2|≥2＝4＝4，當(dāng)且僅當(dāng)|k1|＝4|k2|，即k1＝4k2時(shí)等號(hào)成立，∴|k1|＋4|k2|的最小值為4.
16.如圖，已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)和圓C2：x2＋y2＝r2都過點(diǎn)P(－1,0)，且橢圓C1的離心率為，過點(diǎn)P作斜率為k1，k2的直線分別交橢圓C1，圓C2于點(diǎn)A，B，C，D，且k1＝λk2，若直線BC恒過定點(diǎn)Q(1,0)，則λ＝________.
答案 2
解析 因?yàn)闄E圓過點(diǎn)P(－1,0)，所以a＝1，
又橢圓的離心率為，所以c＝，
則b2＝1－＝，故C1：x2＋2y2＝1，
又由題意得圓C2：x2＋y2＝1.
由x2＋y2＝1與y＝k1(x＋1)聯(lián)立，消去y得
(k＋1)x2＋2kx＋k－1＝0，
解得x＝－1或x＝，
故B，
同理可得C.
因?yàn)锽，C，Q三點(diǎn)共線，
所以＝，
解得k1＝2k2，故λ＝2.
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