2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理(平行班)
時(shí)間：
120分鐘
滿分：
150分
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．
1.若a＜b＜0，則
A．＜
B．0＜＜1
C．＞
D．a(chǎn)b＞b2
2.從編號(hào)為001，002，…，500的500個(gè)產(chǎn)品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)樣本，已知樣本中編號(hào)最小的兩個(gè)編號(hào)分別為007，032，則樣本中最大的編號(hào)應(yīng)該為
A．480
B．481
C．482
D．483
3.袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個(gè)，現(xiàn)從中取出兩個(gè)球.設(shè)事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”；事件R表示“取出的球中至少有一個(gè)黑球”．則下列結(jié)論正確的是
A．P與R是互斥事件
B．Q與R是互斥事件，但不是對(duì)立事件
C．P與Q是對(duì)立事件
D．Q與R是對(duì)立事件
4.已知A，B兩名同學(xué)在5次數(shù)學(xué)考試中的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如莖葉圖所示，若A，B兩人的平均成績(jī)分別是xA，xB，觀察莖葉圖，下列結(jié)論正確的是
A．xA
xB，B比A成績(jī)穩(wěn)定
C．xAxB，A比B成績(jī)穩(wěn)定
5.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作“算法統(tǒng)宗”中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān),初步使步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見(jiàn)次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還”．其大意為：“有一個(gè)人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地．”則該人最后一天走的路程為
A．里
B．里
C．里
D．里
6.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3＋a9＝27－a6，則S11＝
A．18
B．99
C．198
D．297
7.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足,且恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S＝88，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是
A．k＞4?
B．k＞5?
C．k＞6?
D．k＞7?
9.若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．
B．
C．
D．
10.已知x,y滿足約束條件，若的最大值為2，則m的值為
A．4
B．5
C．8
D．9
11.某個(gè)泊位僅供甲乙兩艘輪船?？?，甲乙兩艘輪船都要在此泊位?？?小時(shí).若他們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)地到達(dá)，則這兩艘船中有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待的概率
A．
B．
C．
D．
12.在中，是邊上一點(diǎn)，，，則
A．
B．
C．
D．
Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：每小題5分,共20分.
13.設(shè)滿足約束條件，則的最大值為 .
14. 下列說(shuō)法正確的是 . （寫出所有正確說(shuō)法的序號(hào)）
①如果命題“”與命題“或”都是真命題，那么命題一定是真命題；
②命題“”的否定是“”.
③命題“若，則”的否命題是：“若，則”
④特稱命題 “，使”是真命題.
15.已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，，則b+c的最大值是 .
16.在中，角的對(duì)邊分別為且 ，若三角形有兩解，則的取值范圍為 .
三、解答題:6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.（10分）
設(shè)，，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．（12分）
一次測(cè)試中，為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，從中抽取了個(gè)學(xué)生的成績(jī)（滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按照[50,60)，[60,70)， [70,80)，[80,90)，[90,100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（圖中僅列出得分在[50,60)， [90,100]的數(shù)據(jù)）.
(1)求樣本容量和頻率分布直方圖中的值；
(2)現(xiàn)從在[80,90)和[90,100]的兩組的成績(jī)中隨機(jī)抽取2個(gè)，求它們屬于同一組的概率.
19.（12分）在中，，，點(diǎn)在上，且，．
(1)求；
(2)求，的長(zhǎng)．
20．（12分）已知數(shù)列滿足.
(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
21．（12分）2018年3月5日上午，李克強(qiáng)總理做政府工作報(bào)告時(shí)表示，將新能源汽車車輛購(gòu)置稅優(yōu)惠政策再延長(zhǎng)三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，對(duì)購(gòu)置的新能源汽車免征車輛購(gòu)置稅.某人計(jì)劃于xx5月購(gòu)買一輛某品牌新能源汽車，他從當(dāng)?shù)卦撈放其N售網(wǎng)站了解到近五個(gè)月實(shí)際銷量如下表：
月份
xx.12
xx.01
xx.02
xx.03
xx.04
月份編號(hào)t
1
2
3
4
5
銷量（萬(wàn)輛）
0.5
0.6
1
1.4
1.7
(1)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌噷?shí)際銷量y（萬(wàn)輛）與月份編號(hào)t之間的相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)xx5月份當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量；
(2)2018年6月12日，中央財(cái)政和地方財(cái)政將根據(jù)新能源汽車的最大續(xù)航里程（新能源汽車的最大續(xù)航里程是指理論上新能源汽車所裝的燃料或電池所能夠提供給車跑的最遠(yuǎn)里程）對(duì)購(gòu)車補(bǔ)貼進(jìn)行新一輪調(diào)整.已知某地?cái)M購(gòu)買新能源汽車的消費(fèi)群體十分龐大，某調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)其中的200名消費(fèi)者的購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：
補(bǔ)貼金額預(yù)期值區(qū)間（萬(wàn)元）
[1,2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6)
[6,7]
頻數(shù)
20
60
60
30
20
10
求這200位擬購(gòu)買新能源汽車的消費(fèi)者對(duì)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的樣本方差及中位數(shù)的估計(jì)值（同一區(qū)間的預(yù)期值可用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替；估計(jì)值精確到0.1）.
參考公式及數(shù)據(jù)：
①回歸方程，其中；②.
22．（12分）
數(shù)列的前項(xiàng)和為，．
(1)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
福建師大附中xx上學(xué)期期中考試高二（理科平行班）數(shù)學(xué)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題：
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
D
A
C
B
A
B
D
B
C
B
二、填空題：
13. 3 14. ①②③ 15. 16.
三、解答題:
17.解：由得
∴，即………………………………………………3分
由得
∴，即 ………………………………………………3分
∵是的必要不充分條件
∴是的必要不充分條件
∴………………………………………………8分
∴，解得.………………………………………………10分
18.解：（1）由題意可知，樣本容量，，
．………………6分
（2）成績(jī)?cè)赱80,90)的共有4個(gè)，設(shè)這4個(gè)成績(jī)分別為；成績(jī)?cè)赱90,100]共有2個(gè)，設(shè)這2個(gè)成績(jī)分別為.現(xiàn)從在[80,90)和[90,100]的兩組的成績(jī)中隨機(jī)抽取2個(gè)，基本事件有：
共有15個(gè).
同屬同一組的共有7個(gè)，所以屬于同一成績(jī)組的概率為.…………………12分
19.解：（1）∵，且，∴，
∴，………………………………………………2分
由得，
………………………………………………6分
（Ⅱ）在中，由正弦定理得，
………………………………………………………………………………………………9分
在中，由余弦定理得
∴．…………………………………………………………………………12分
20. (1)∵bn+1－bn＝－＝－＝－＝2…4分
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．∵a1＝1，∴b1＝2，因此bn＝2＋(n－1)2＝2n，…………6分
由bn＝得an＝.…………………………………………………………7分
(2)由cn＝，an＝得cn＝，……………………………………………………8分
∴……………………………………………………10分
∴Tn.………………………………12分
21.解：（1）易知，
……………………………………………………2分
，………5分
則關(guān)于的線性回歸方程為，
當(dāng)時(shí)，，
即xx5月份當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量約為2萬(wàn)輛……………………6分.
（2）（i）根據(jù)題意，這200位擬購(gòu)買新能源汽車的消費(fèi)者對(duì)補(bǔ)貼金額的心里預(yù)期值的平均值，樣本方差及中位數(shù)的估計(jì)值分別為：
，…………8分
……………………………………………10分
中位數(shù)的估計(jì)值為.……………………………………12分
22.解：（），①，
∴當(dāng)時(shí)，，得，……………………………………………1分
當(dāng)時(shí)②，
①-②得：，即，………………………………………2分
∴，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
∴，
∴． ………………………………………………………………4分
（）由題意，，……………………5分
∴，
，
兩式相減得
．………………………………………………………………8分
（3）
∵對(duì)任意的,不等式恒成立
∴對(duì)任意的,不等式恒成立………………………………………9分
設(shè)
則
當(dāng)1≤n≤5時(shí)，cn+1-cn>0，即cn+1>cn
當(dāng)n≥6時(shí)cn+1-cn<0，即cn+1
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