1.1
1．1.1 集合的含義與表示
第一課時 集合的含義
預(yù)習(xí)課本P2～3，思考并完成以下問題
(1)集合和元素的含義是什么？它們各自用什么字母表示？
(2)元素和集合之間有哪兩種關(guān)系？常見的數(shù)集有哪些？分別用什么符號表示？
1．元素與集合的概念
(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素．元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)．集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．
(4)元素的特性：確定性、無序性、互異性．
[點(diǎn)睛] 集合含義中的“研究對象”指的是集合的元素，研究集合問題的核心即研究集合中的元素，因此在解決集合問題時，首先要明確集合中的元素是什么．集合中的元素可以是點(diǎn)，也可以是一些人或一些物．
2．元素與集合的關(guān)系
關(guān)系
語言描述
記法
讀法
屬于
a是集合A中的元素
a∈A
a屬于集合A
不屬于
a不是集合A中的元素
a?A
a不屬于集合A
[點(diǎn)睛] 對元素和集合之間關(guān)系的兩點(diǎn)說明
(1)符號“∈”“?”刻畫的是元素與集合之間的關(guān)系．對于一個元素a與一個集合A而言，只有“a∈A”與“a?A”這兩種結(jié)果．
(2)∈和?具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，形如R∈0是錯誤的．
3．常用的數(shù)集及其記法
常用的數(shù)集
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實(shí)數(shù)集
記法
N
N*或N＋
Z
Q
R
1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”)
(1)你班所有的姓氏能組成集合． ( )
(2)新課標(biāo)數(shù)學(xué)人教A版必修1課本上的所有難題．( )
(3)一個集合中可以找到兩個相同的元素． ( )
答案：(1)√ (2) (3)
2．下列元素與集合的關(guān)系判斷正確的是( )
A．0∈N B．π∈Q
C.∈Q D．－1?Z
答案：A
3．已知集合A中含有3個元素－2,4，x2－x，且6∈A，則x的值是( )
A．2 B．－2
C．3 D．3或－2
答案：D
4．方程x2－1＝0與方程x＋1＝0所有解組成的集合中共有________個元素．
答案：2
集合的基本概念
[例1] 考察下列每組對象，能構(gòu)成一個集合的是( )
①某校高一年級成績優(yōu)秀的學(xué)生；
②直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)；
③不小于3的自然數(shù)；
④2016年第31屆奧運(yùn)會金牌獲得者．
A．③④ B．②③④
C．②③ D．②④
[解析]?、僦小俺煽儍?yōu)秀”沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，所以不能構(gòu)成一個集合；②③④中的對象都滿足確定性，所以能構(gòu)成集合．
[答案] B
判斷一組對象能否組成集合的標(biāo)準(zhǔn)
判斷一組對象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合．同時還要注意集合中元素的互異性、無序性．
[活學(xué)活用]
1．給出下列說法：
①中國的所有直轄市可以構(gòu)成一個集合；
②高一(1)班較胖的同學(xué)可以構(gòu)成一個集合；
③正偶數(shù)的全體可以構(gòu)成一個集合；
④大于2 011且小于2 016的所有整數(shù)不能構(gòu)成集合．
其中正確的有________．(填序號)
解析：②中由于“較胖”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿足集合元素的確定性，所以②錯誤；④中的所有整數(shù)能構(gòu)成集合，所以④錯誤．
元素與集合的關(guān)系
答案：①③
[例2] (1)下列關(guān)系中，正確的有( )
①∈R；② ?Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
(2)集合A中的元素x滿足∈N，x∈N，則集合A中的元素為________．
[解析] (1)是實(shí)數(shù)，是無理數(shù)，|－3|＝3是非負(fù)整數(shù)，|－|＝是無理數(shù)．因此，①②③正確，④錯誤．
(2)由題意可得：3－x可以為1,2,3,6，且x為自然數(shù)，因此x的值為2,1,0.因此A中元素有2,1,0.
[答案] (1)C (2)0,1,2
判斷元素與集合關(guān)系的2種方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．
(2)推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．
[活學(xué)活用]
2．已知集合A中有四個元素0,1,2,3，集合B中有三個元素0,1,2，且元素a∈A，a?B，則a的值為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：選D ∵a∈A，a?B，∴由元素與集合之間的關(guān)系知，a＝3.
3．用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?
已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，則有：17________A；－5________A；17________B.
解析：令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.
所以17∈A.
令3k＋2＝－5得，k＝－?Z.
所以－5?A.
令6m－1＝17得，m＝3∈Z，
所以17∈B.
答案：∈ ? ∈
集合中元素的特性及應(yīng)用
[例3] 已知集合A含有兩個元素a和a2，若1∈A，則實(shí)數(shù)a的值為________．
[解析] 若1∈A，則a＝1或a2＝1，即a＝1.
當(dāng)a＝1時，集合A有重復(fù)元素，不符合元素的互異性，
∴a≠1；
當(dāng)a＝－1時，集合A含有兩個元素1，－1，符合元素的互異性．∴a＝－1.
[答案]?。?
[一題多變]
1．[變條件]本例若將條件“1∈A”改為“2∈A”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)a的值．
解：因2∈A，則a＝2或a2＝2即a＝2，或a＝，或a＝－.
2．[變條件]本例若去掉條件“1∈A”，其他條件不變，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？
解：因A中有兩個元素a和a2，則由a≠a2解得
a≠0且a≠1.
3．[變條件]已知集合A含有兩個元素1和a2，若“a∈A”，求實(shí)數(shù)a的值．
解：由a∈A可知，
當(dāng)a＝1時，此時a2＝1，與集合元素的互異性矛盾，
所以a≠1.
當(dāng)a＝a2時，a＝0或1(舍去)．
綜上可知，a＝0.
根據(jù)集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的3個步驟
層級一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．下列說法正確的是( )
A．某班中年齡較小的同學(xué)能夠形成一個集合
B．由1,2,3和 ，1，組成的集合不相等
C．不超過20的非負(fù)數(shù)組成一個集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解構(gòu)成的集合中有3個元素
解析：選C A項(xiàng)中元素不確定．B項(xiàng)中兩個集合元素相同，因集合中的元素具有無序性，所以兩個集合相等．D項(xiàng)中方程的解分別是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互異性知，構(gòu)成的集合含2個元素．
2．已知集合A由x<1的數(shù)構(gòu)成，則有( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1?A
解析：選C 很明顯3,1不滿足不等式，而0，－1滿足不等式．
3．下面幾個命題中正確命題的個數(shù)是( )
①集合N*中最小的數(shù)是1；
②若－a?N*，則a∈N*；
③若a∈N*，b∈N*，則a＋b最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：選C N*是正整數(shù)集，最小的正整數(shù)是1，故①正確；當(dāng)a＝0時，－a?N*，且a?N*，故②錯；若a∈N*，則a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，當(dāng)a和b都取最小值時，a＋b取最小值2，故③正確；由集合元素的互異性知④是錯誤的．故①③正確．
4．已知集合A含有三個元素2,4,6，且當(dāng)a∈A，有6－a∈A，則a為( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
解析：選B 若a＝2∈A，則6－a＝4∈A；或a＝4∈A，則6－a＝2∈A；若a＝6∈A，則6－a＝0?A.故選B.
5．由實(shí)數(shù)－a，a，|a|，所組成的集合最多含有的元素個數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：選B 當(dāng)a＝0時，這四個數(shù)都是0，所組成的集合只有一個元素0.當(dāng)a≠0時，＝|a|＝所以一定與a或－a中的一個一致．故組成的集合中有兩個元素，故選B.
6．下列說法中：
①集合N與集合N＋是同一個集合；
②集合N中的元素都是集合Z中的元素；
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；
④集合Q中的元素都是集合R中的元素．
其中正確的有________(填序號)．
解析：因?yàn)榧螻＋表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集，所以①③中的說法不正確，②④中的說法正確．
答案：②④
7．已知集合A是由偶數(shù)組成的，集合B是由奇數(shù)組成的，若a∈A，b∈B，則a＋b________A，ab________A．(填∈或?)．
解析：∵a是偶數(shù)，b是奇數(shù)，
∴a＋b是奇數(shù)，ab是偶數(shù)，
故a＋b?A，ab∈A.
答案：? ∈
8．已知集合P中元素x滿足：x∈N，且2
3.
答案：a>3
6．若集合A中含有三個元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，則實(shí)數(shù)a的值為________．
解析：(1)若a－3＝－3，則a＝0，此時A＝{－3，－1，－4}，滿足題意．
(2)若2a－1＝－3，則a＝－1，此時A＝{－4，－3，－3}，不滿足元素的互異性．
(3)若a2－4＝－3，則a＝1.當(dāng)a＝1時，A＝{－2,1，－3}，滿足題意；當(dāng)a＝－1時，由(2)知不合題意．
綜上可知：a＝0或a＝1.
答案：0或1
7．集合A中共有3個元素－4,2a－1，a2，集合B中也共有3個元素9，a－5,1－a，現(xiàn)知9∈A且集合B中再沒有其他元素屬于A，能否根據(jù)上述條件求出實(shí)數(shù)a的值？若能，則求出a的值，若不能，則說明理由．
解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，
若2a－1＝9，則a＝5，此時A中的元素為－4,9,25；B中的元素為9,0，－4，顯然－4∈A且－4∈B，與已知矛盾，故舍去．
若a2＝9，則a＝3，當(dāng)a＝3時，A中的元素為－4,5,9；B中的元素為9，－2，－2，B中有兩個－2，與集合中元素的互異性矛盾，故舍去．
當(dāng)a＝－3時，A中的元素為－4，－7,9；B中的元素為9，－8,4，符合題意．
綜上所述，滿足條件的a存在，且a＝－3.
8．設(shè)A為實(shí)數(shù)集，且滿足條件：若a∈A，則∈A(a≠1)．
求證：(1)若2∈A，則A中必還有另外兩個元素；
(2)集合A不可能是單元素集．
證明：(1)若a∈A，則∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中必還有另外兩個元素，且為－1，.
(2)若A為單元素集，則a＝，
即a2－a＋1＝0，方程無解．
∴a≠，∴集合A不可能是單元素集．
第二課時 集合的表示
預(yù)習(xí)課本P3～5，思考并完成以下問題
(1)集合有哪兩種表示方法？它們?nèi)绾味x？
(2)它們的使用條件各是什么？又如何用符號表示？
1．列舉法
把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{ }”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
[點(diǎn)睛] 列舉法表示集合時的4個關(guān)注點(diǎn)
(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．
(2)集合中的元素必須是明確的．
(3)集合中的元素不能重復(fù)．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定義：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．
(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．
[點(diǎn)睛] 描述法表示集合時的3個關(guān)注點(diǎn)
(1)寫清楚集合中元素的符號．如數(shù)或點(diǎn)等．
(2)說明該集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函數(shù)式或幾何圖形等．
(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母．
1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”)
(1)由1,1,2,3組成的集合可用列舉法表示為{1,1,2,3}．( )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )
(3)集合A＝{x|x－1＝0}與集合B＝{1}表示同一個集合．( )
答案：(1) (2) (3)√
2．方程組的解集是( )
A．(－1,2) B．(1，－2)
C．{(－1,2)} D．{(1，－2)}
答案：C
3．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列舉法可表示為( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
答案：B
4．不等式4x－5<7的解集為________．
答案：{x|4x－5<7}
用列舉法表示集合
[例1] 用列舉法表示下列集合．
(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；
(2)方程x3＝x的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；
(3)直線y＝2x＋1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合．
[解] (1)因?yàn)椴淮笥?0是指小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解組成的集合為{0,1，－1}．
(3)將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點(diǎn)是(0,1)，
故兩直線的交點(diǎn)組成的集合是{(0,1)}．
用列舉法表示集合的3個步驟
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次．
(3)用花括號括起來．
[活學(xué)活用]
1．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，則集合A中元素的個數(shù)是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選B 集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有兩個元素(1,2)和(3,4)．
2．用列舉法表示下列給定的集合：
(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A.
(2)方程x2－9＝0的實(shí)數(shù)根組成的集合B.
(3)一次函數(shù)y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點(diǎn)組成的集合D.
解：(1)因?yàn)榇笥?且小于6的整數(shù)包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．
(2)方程x2－9＝0的實(shí)數(shù)根為－3,3，所以B＝{－3,3}．
(3)由得
用描述法表示集合
所以一次函數(shù)y＝x＋3與y＝－2x＋6的交點(diǎn)為(1,4)，所以D＝{(1,4)}．
[例2] 用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整數(shù)的集合；
(2)坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的點(diǎn)的集合；
(3)大于4的所有偶數(shù)．
[解] (1)根據(jù)被除數(shù)＝商除數(shù)＋余數(shù)，可知此集合表示為{x|x＝3n＋1，n∈N}．
(2)第一象限內(nèi)的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均大于零，故此集合可表示為{(x，y)|x>0，y>0}．
(3)偶數(shù)可表示為2n，n∈Z，又因?yàn)榇笥?，故n≥3，從而用描述法表示此集合為{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．
描述法表示集合的2個步驟
[活學(xué)活用]
3．用符號“∈”或“?”填空：
(1)A＝{x|x2－x＝0}，則1________A，－1________A；
(2)(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．
解析：(1)易知A＝{0,1}，故1∈A，－1?A；
(2)將x＝1，y＝2代入y＝x＋1，等式成立．
答案：(1)∈ ? (2)∈
4．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?
(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}；
(2)拋物線y＝x2－2x與x軸的公共點(diǎn)的集合；
(3)直線y＝x上去掉原點(diǎn)的點(diǎn)的集合．
解：(1)列舉法：P＝{0,2,4}．
(2)描述法：.
或列舉法：{(0,0)，(2,0)}．
集合表示法的綜合應(yīng)用
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
[例3] (1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一個元素，則a＝( )
A．1 B．2
C．0 D．0或1
(2)設(shè)∈，則集合中所有元素之積為________．
[解析] (1)當(dāng)a＝0時，原方程變?yōu)?x＋1＝0，
此時x＝－，符合題意；
當(dāng)a≠0時，方程ax2＋2x＋1＝0為一元二次方程，
Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解為x＝－1，符合題意．
故當(dāng)a＝0或a＝1時，原方程只有一個解，此時A中只有一個元素．
(2)因?yàn)椤剩?
所以2－a－＝0，
解得：a＝－，
當(dāng)a＝－時，方程x2－x＋＝0的判別式Δ＝2－4＝>0，
所以集合的所有元素的積為方程的兩根之積等于.
[答案] (1)D (2)
解答此類問題的策略
(1)若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵．
(2)若已知集合是用列舉法給出的，整體把握元素的共同特征是解題的關(guān)鍵．
[活學(xué)活用]
5．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．
解：由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的兩根為2,3，由根與系數(shù)的關(guān)系得，因此a＝5，b＝6.
6．設(shè)集合B＝.
試判斷元素1,2與集合B的關(guān)系；
用列舉法表示集合B.
解：(1)當(dāng)x＝1時，＝2∈N.
當(dāng)x＝2時，＝?N.所以1∈B,2?B.
(2)∵∈N，x∈N，∴2＋x只能取2,3,6.
∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}.
集合含義的再認(rèn)識
[例4] 用描述法表示拋物線y＝x2＋1上的點(diǎn)構(gòu)成的集合．
[解] 拋物線y＝x2＋1上的點(diǎn)構(gòu)成的集合可表示為：{(x，y)|y＝x2＋1}．
[一題多變]
1．[變條件，變設(shè)問]本題中點(diǎn)的集合若改為“{x|y＝x2＋1}”，則集合中的元素是什么？
解：集合{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，
所以{x|y＝x2＋1}中的元素是全體實(shí)數(shù)．
2．[變條件，變設(shè)問]本題中點(diǎn)的集合若改為“{y|y＝x2＋1}”，則集合中的元素是什么？
解：集合{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，滿足條件y＝x2＋1的y的取值范圍是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全體實(shí)數(shù)．
識別集合含義的2個步驟
(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示數(shù)集，{(x，y)|y＝p(x)}表示點(diǎn)集．
(2)二看條件：即看代表元素滿足什么條件(公共特性)．
層級一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．已知M中有三個元素可以作為某一個三角形的邊長，則此三角形一定不是( )
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
解析：選D 集合M的三個元素是互不相同的，所以作為某一個三角形的邊長，三邊是互不相等的，故選D.
2．下列集合中，不同于另外三個集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}
解析：選B {x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三個集合都是{1}，選B.
3．已知M＝{x|x－1<}，那么( )
A．2∈M，－2∈M B．2∈M，－2?M
C．2?M，－2?M D．2?M，－2∈M
解析：選A 若x＝2，則x－1＝1<，所以2∈M；若x＝－2，則x－1＝－3<，所以－2∈M.故選A.
4．下列集合的表示方法正確的是( )
A．第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)集可表示為{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集為{x<5}
C．{全體整數(shù)}
D．實(shí)數(shù)集可表示為R
解析：選D 選項(xiàng)A中應(yīng)是xy<0；選項(xiàng)B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的規(guī)范格式，缺少了豎線和豎線前面的代表元素x；選項(xiàng)C的“{}”與“全體”意思重復(fù)．
5．方程組的解集是( )
A．(－5,4) B．(5，－4)
C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}
解析：選D 解方程組得故解集為{(5，－4)}，選D.
6．設(shè)集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，則實(shí)數(shù)a＝________.
解析：由集合相等的概念得解得a＝1.
答案：1
7．設(shè)－5∈{x|x2－ax－5＝0}，則集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.
解析：由題意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一個根，
所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，
則方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3，
所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．
答案：{1,3}
8．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列舉法表示集合B為________．
解析：由題意可知集合B是由A中元素的平方構(gòu)成的，故B＝{4,9,16}．
答案：{4,9,16}
9．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?
(1)一年中有31天的月份的全體；
(2)由直線y＝－x＋4上的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是自然數(shù)的點(diǎn)組成的集合．
解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．
(2)用描述法表示該集合為M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}，或用列舉法表示該集合為{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．
10．含有三個實(shí)數(shù)的集合A＝，若0∈A且1∈A，求a2 016＋b2 016的值．
解：由0∈A，“0不能做分母”可知a≠0，故a2≠0，所以＝0，即b＝0.
又1∈A，可知a2＝1或a＝1.
當(dāng)a＝1時，得a2＝1，由集合元素的互異性，知a＝1不合題意．
當(dāng)a2＝1時，得a＝－1或a＝1(由集合元素的互異性，舍去)．
故a＝－1，b＝0，所以a2 016＋b2 016的值為1.
層級二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．下列命題中正確的是( )
A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有兩個元素
B．集合{0}中沒有元素
C.∈{x|x<2}
D．{1,2}與{2,1}是不同的集合
解析：選A {x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是單元素集，有一個元素，這個元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}，>，所以?{x|x<2}；根據(jù)集合中元素的無序性可知{1,2}與{2,1}是同一個集合．
2．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，則下列判斷不正確的是( )
A．x1x2∈A B．x2x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
解析：選D 集合A表示奇數(shù)集，B表示偶數(shù)集，
∴x1，x2是奇數(shù)，x3是偶數(shù)，
∴x1＋x2＋x3應(yīng)為偶數(shù)，即D是錯誤的．
3．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．選項(xiàng)中元素與集合的關(guān)系都正確的是( )
A．2∈A，且2∈B
B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B
C．2∈A，且(3,10)∈B
D．(3,10)∈A，且2∈B
解析：選C 集合A中元素y是實(shí)數(shù)，不是點(diǎn)，故選項(xiàng)B，D不對．集合B的元素(x，y)是點(diǎn)而不是實(shí)數(shù)，2∈B不正確，所以A錯．
4．定義P*Q＝{ab|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3}，則P*Q中元素的個數(shù)是( )
A．6個 B．7個
C．8個 D．9個
解析：選A 若a＝0，則ab＝0；若a＝1，則ab＝1,2,3；若a＝2，則ab＝2,4,6.故P*Q＝{0,1,2,3,4,6}，共6個元素．
5．已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列舉法表示A為________．
解析：∵x＋y＝6，x∈N，y∈N，
∴x＝6－y∈N，
∴
∴A＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．
答案：{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}
6．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若(x0，y0)∈A，(x0，y0)∈B，則(x0，y0)的值為________．
解析：由題意知，(x0，y0)∈A，(x0，y0)∈B，所以(x0，y0)是方程組的解，解得
答案：(2,5)
7．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一個元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：當(dāng)a＝0時，A＝；
當(dāng)a≠0時，關(guān)于x的方程ax2－3x－4＝0應(yīng)有兩個相等的實(shí)數(shù)根或無實(shí)數(shù)根，
所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－.
故所求的a的取值范圍是a≤－或a＝0.
8．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求實(shí)數(shù)a的值．
解：①若a＋3＝1，則a＝－2，
此時A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互異性，舍去．
②若(a＋1)2＝1，則a＝0或a＝－2.
當(dāng)a＝0時，A＝{3,1,2}，滿足題意；
當(dāng)a＝－2時，由①知不符合條件，故舍去．
③若a2＋2a＋2＝1，則a＝－1，
此時A＝{2,0,1}，滿足題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為－1或0.
1．1.2 集合間的基本關(guān)系
預(yù)習(xí)課本P6～7，思考并完成以下問題
[預(yù)習(xí)導(dǎo)入]
(1)集合與集合之間有什么關(guān)系？怎樣表示集合間這些關(guān)系？
(2)集合的子集指什么？真子集又是什么？如何用符號表示？
(3)空集是什么樣的集合？空集和其他集合間具有什么關(guān)系？
1．子集的概念
定義
一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集
記法
與讀法
記作A?B(或B?A)，讀作“A含于B”(或“B包含A”)
圖示
結(jié)論
(1)任何一個集合是它本身的子集，即A?A.
(2)對于集合A，B，C，若A?B，且B?C，則A?C
[點(diǎn)睛] “A是B的子集”的含義是：集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.
2．集合相等的概念
如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A)，此時，集合A與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作A＝B.
[點(diǎn)睛] (1)若A?B，又B?A，則A＝B；反之，如果A＝B，則A?B，且B?A.
(2)若兩集合相等，則兩集合所含元素完全相同，與元素排列順序無關(guān)．
3．真子集的概念
定義
如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我們稱集合A是集合B的真子集
記法
記作AB(或BA)
圖示
結(jié)論
(1)AB且BC，則AC；
(2)A?B且A≠B，則AB
[點(diǎn)睛] 在真子集的定義中，AB首先要滿足A?B，其次至少有一個x∈B，但x?A.
4．空集的概念
定義
我們把不含任何元素的集合，叫做空集
記法
?
規(guī)定
空集是任何集合的子集，即??A
特性
(1)空集只有一個子集，即它的本身，???
(2)A≠?，則?A
1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”)
(1)空集中只有元素0，而無其余元素．( )
(2)任何一個集合都有子集．( )
(3)若A＝B，則A?B.( )
(4)空集是任何集合的真子集．( )
答案：(1) (2)√ (3)√ (4)
2．設(shè)集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，則下列關(guān)系正確的是( )
A．N∈M B．N?M
C．N?M D．N?M
答案：D
3．下列四個集合中，是空集的為( )
A．{0} B．{x|x>8，且x<5}
C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}
答案：B
4．設(shè)a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，則a＝________.
答案：－1
集合間關(guān)系的判斷
[例1] 指出下列各對集合之間的關(guān)系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}．
(2)A＝{x|－12m－1，即m<－5.
當(dāng)B≠?時，
即m∈?.
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m<－5}．
2．[變條件]本例若將集合A，B分別改為A＝{3，m2}，B＝{－1,3,2m－1}，其他條件不變，求實(shí)數(shù)m的值．
解：因?yàn)锳?B，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1，當(dāng)m＝1時，B＝{－1,3,1}，A＝{3,1}滿足A?B.
由集合間的關(guān)系求參數(shù)的2種方法
(1)當(dāng)集合為不連續(xù)數(shù)集時，常根據(jù)集合包含關(guān)系的意義，建立方程求解，此時應(yīng)注意分類討論思想的運(yùn)用；
(2)當(dāng)集合為連續(xù)數(shù)集時，常借助數(shù)軸來建立不等關(guān)系求解，此時應(yīng)注意端點(diǎn)處是實(shí)點(diǎn)還是虛點(diǎn)．
層級一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，則實(shí)數(shù)m等于( )
A．2 B．－1
C．2或－1 D．4
解析：選C ∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.
2．已知集合A＝{x|－1－x<0}，則下列各式正確的是( )
A．0?A B．{0}∈A
C．?∈A D．{0}?A
解析：選D 集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}?A，??A，D正確．
3．已知集合A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，則( )
A．A?B B．C?B
C．D?C D．A?D
解析：選B 由已知x是正方形，則x必是矩形，所以C?B，故選B.
4．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，則a的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
解析：選D 由題意，當(dāng)Q為空集時，a＝0；當(dāng)Q不是空集時，由Q?P，a＝1或a＝－1.
5．已知集合A?{0,1,2}，且集合A中至少含有一個偶數(shù)，則這樣的集合A的個數(shù)為( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：選A 集合{0,1,2}的子集為：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶數(shù)的集合有6個．故選A.
6．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是____________________．
解析：{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有?，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．
答案：{(1,2)}，{(－3,4)}
7．設(shè)x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，則A，B的關(guān)系是________．
解析：因?yàn)锽＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.
答案：BA
8．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x2.
(2)若B?A，由圖可知，1≤a≤2.
10．設(shè)集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且BA，求a的值．
解：∵BA，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
(1)當(dāng)a2－a＋1＝3時，解得a＝－1或a＝2.
經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意．
(2)當(dāng)a2－a＋1＝a時，解得a＝1，此時集合A中的元素1重復(fù)，故a＝1不合題意．
綜上所述，a＝－1或a＝2為所求．
層級二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．設(shè)集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，則2x＋y等于( )
A．0 B．1
C．2 D．－1
解析：選C 由A＝B，得x＝0或y＝0.
當(dāng)x＝0時，x2＝0，此時B＝{0,0}，不滿足集合中元素的互異性，舍去；
當(dāng)y＝0時，x＝x2，則x＝0或x＝1.由上知x＝0不合適，故y＝0，x＝1，則2x＋y＝2.
2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|03}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：∵B?A，
∴B的可能情況有B≠?和B＝?兩種．
①當(dāng)B≠?時，
∵B?A，∴或成立，
解得a>3；
②當(dāng)B＝?時，由a>2a－1，得a<1.
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a<1或a>3}．
8．設(shè)集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1－2時，
B＝{x|m－1
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