DSP第2章習題課ppt課件

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第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 2 1學習要點2 2FT和ZT的逆變換2 3分析信號和系統(tǒng)的頻率特性 2 4例題2 5習題課 2 1學習要點 數(shù)字信號處理中有三個重要的數(shù)學變換工具 即傅里葉變換 FT Z變換 ZT 和離散傅里葉變換 DFT 利用它們可以將信號和系統(tǒng)在時域和頻域相互轉(zhuǎn)換 大大方便了對信號和系統(tǒng)的分析和處理 2 1 1學習要點 1 傅里葉變換的正變換和逆變換定義 以及存在條件 2 傅里葉變換的性質(zhì)和定理 傅里葉變換的周期性 移位與頻移性質(zhì) 時域卷積定理 巴塞伐爾定理 頻域卷積定理 頻域微分性質(zhì) 實序列和一般序列的傅里葉變換的共軛對稱性 3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及周期序列的傅里葉變換表示式 4 Z變換的正變換和逆變換定義 以及收斂域與序列特性之間的關系 5 Z變換的定理和性質(zhì) 移位 反轉(zhuǎn) z域微分 共軛序列的Z變換 時域卷積定理 初值定理 終值定理 巴塞伐爾定理 6 系統(tǒng)的傳輸函數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)的求解 7 用極點分布判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 8 零狀態(tài)響應 零輸入響應和穩(wěn)態(tài)響應的求解 9 用零極點分布定性分析并畫出系統(tǒng)的幅頻特性 2 1 2重要公式 1 這兩式分別是序列的傅里葉變換的正變換和逆變換的公式 注意正變換存在的條件是序列服從絕對可和的條件 即 2 這兩式是周期序列的離散傅里葉級數(shù)變換對 可用以表現(xiàn)周期序列的頻譜特性 3 該式用以求周期序列的傅里葉變換 如果周期序列的周期是N 則其頻譜由N條譜線組成 注意畫圖時要用帶箭頭的線段表示 4 若y n x n h n 則 這是時域卷積定理 5 若y n x n h n 則 這是頻域卷積定理或者稱復卷積定理 6 式中 xe n 和xo n 是序列x n 的共軛對稱序列和共軛反對稱序列 常用以求序列的xe n 和xo n 7 這兩式分別是序列的Z變換的正變換定義和它的逆Z變換定義 8 前兩式均稱為巴塞伐爾定理 第一式是用序列的傅里葉變換表示 第二式是用序列的Z變換表示 如果令x n y n 可用第二式推導出第一式 9 若x n a n 則 x n a n 是數(shù)字信號處理中很典型的雙邊序列 一些測試題都是用它演變出來的 2 2FT和ZT的逆變換 1 FT的逆變換為 用留數(shù)定理求其逆變換 或者將z ej 代入X ej 中 得到X z 函數(shù) 再用求逆Z變換的方法求原序列 注意收斂域要取能包含單位圓的收斂域 或者說封閉曲線c可取單位圓 例如 已知序列x n 的傅里葉變換為 求其反變換x n 將z ej 代入X ej 中 得到 因極點z a 取收斂域為 z a 由X z 很容易得到x n anu n 2 ZT的逆變換為 求Z變換可以用部分分式法和圍線積分法求解 用圍線積分法求逆Z變換有兩個關鍵 一個關鍵是知道收斂域以及收斂域和序列特性之間的關系 可以總結(jié)成幾句話 收斂域包含 點 序列是因果序列 收斂域在某圓以內(nèi) 是左序列 收斂域在某圓以外 是右序列 收斂域在整個z面 是有限長序列 以上 均未考慮0與 兩點 這兩點可以結(jié)合問題具體考慮 另一個關鍵是會求極點留數(shù) 2 3分析信號和系統(tǒng)的頻率特性 求信號與系統(tǒng)的頻域特性要用傅里葉變換 但分析頻率特性使用Z變換卻更方便 我們已經(jīng)知道系統(tǒng)函數(shù)的極 零點分布完全決定了系統(tǒng)的頻率特性 因此可以用分析極 零點分布的方法分析系統(tǒng)的頻率特性 包括定性地畫幅頻特性 估計峰值頻率或者谷值頻率 判定濾波器是高通 低通等濾波特性 以及設計簡單的濾波器 內(nèi)容在教材第5章 等 根據(jù)零 極點分布可定性畫幅頻特性 當頻率由0到2 變化時 觀察零點矢量長度和極點矢量長度的變化 在極點附近會形成峰 極點愈靠進單位圓 峰值愈高 零點附近形成谷 零點愈靠進單位圓 谷值愈低 零點在單位圓上則形成幅頻特性的零點 當然 峰值頻率就在最靠近單位圓的極點附近 谷值頻率就在最靠近單位圓的零點附近 濾波器是高通還是低通等濾波特性 也可以通過分析極 零點分布確定 不必等畫出幅度特性再確定 一般在最靠近單位圓的極點附近是濾波器的通帶 阻帶在最靠近單位圓的零點附近 如果沒有零點 則離極點最遠的地方是阻帶 參見下節(jié)例2 4 1 2 4例題 例2 4 1 已知IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)試判斷濾波器的類型 低通 高通 帶通 帶阻 某校碩士研究生入學考試題中的一個簡單的填空題 解 將系統(tǒng)函數(shù)寫成下式 系統(tǒng)的零點為z 0 極點為z 0 9 零點在z平面的原點 不影響頻率特性 而惟一的極點在實軸的0 9處 因此濾波器的通帶中心在 0處 這是一個低通濾波器 解 Xe ej FT xr n 因為X ej 0 2 所以X e j X ej 2 00 當0 時 故 當 2 時 X ej 0 故 0 2 因此Re X ej X ej Im X ej 0 例2 4 3 已知 0 n N N 1 n 2N n 0 2N n 求x n 的Z變換 解 題中x n 是一個三角序列 可以看做兩個相同的矩形序列的卷積 設y n RN n RN n 則 n 0 0 n N 1 N n 2N 1 2N n 將y n 和x n 進行比較 得到y(tǒng) n 1 x n 因此Y z z 1 X z Y z ZT RN n ZT RN n 例2 4 4 時域離散線性非移變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H z 為 1 要求系統(tǒng)穩(wěn)定 確定a和b的取值域 2 要求系統(tǒng)因果穩(wěn)定 重復 1 解 1 H z 的極點為a b 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是收斂域包含單位圓 即單位圓上不能有極點 因此 只要滿足 a 1 b 1即可使系統(tǒng)穩(wěn)定 或者說a和b的取值域為除單位圓以的整個z平面 2 系統(tǒng)因果穩(wěn)定的條件是所有極點全在單位圓內(nèi) 所以a和b的取值域為 0 a 1 0 b 1 例2 4 5 f1 10Hz f2 25Hz 采用理想采樣 采樣頻率Fs 40Hz對其進行采樣得到 1 寫出的表達式 2 對進行頻譜分析 寫出其傅里葉變換表達式 并畫出其幅度譜 3 如要用理想低通濾波器將cos 2 f1t 濾出來 理想濾波器的截止頻率應該取多少 解 2 按照采樣定理 的頻譜是x t 頻譜的周期延拓 延拓周期為Fs 40Hz x t 的頻譜為 畫出幅度譜如圖2 4 1所示 圖2 4 1 3 觀察圖2 4 1 要把cos 2 f1t 濾出來 理想低通濾波器的截止頻率fc應選在10Hz和20Hz之間 可選fc 15Hz 如果直接對模擬信號x t cos 2 f1t cos 2 f2t 進行濾波 模擬理想低通濾波器的截止頻率選在10Hz和25Hz之間 可以把10Hz的信號濾出來 但采樣信號由于把模擬頻譜按照采樣頻率周期性地延拓 使頻譜發(fā)生變化 因此對理想低通濾波器的截止頻率要求不同 例2 4 6 對x t cos 2 t cos 5 t 進行理想采樣 采樣間隔T 0 25s 得到 再讓通過理想低通濾波器G j G j 用下式表示 1 寫出的表達式 2 求出理想低通濾波器的輸出信號y t 解 1 2 為了求理想低通濾波器的輸出 要分析的頻譜 中的兩個余弦信號頻譜分別為在 0 5 和 1 25 的位置 并且以2 為周期進行周期性延拓 畫出采樣信號的頻譜示意圖如圖2 4 2 a 所示 圖2 4 2 b 是理想低通濾波器的幅頻特性 顯然 理想低通濾波器的輸出信號有兩個 一個的數(shù)字頻率為0 5 另一個的數(shù)字頻率為0 75 相應的模擬頻率為2 和3 這樣理想低通濾波器的輸出為y t 0 25 cos 2 t cos 3 t 圖2 4 2 2 5習題與上機題解答 1 設X ej 和Y ej 分別是x n 和y n 的傅里葉變換 試求下面序列的傅里葉變換 1 x n n0 2 x n 3 x n 4 x n y n 5 x n y n 6 nx n 7 x 2n 8 x2 n 9 解 1 令n n n0 即n n n0 則 2 3 令n n 則 4 FT x n y n X ej Y ej 下面證明上式成立 令k n m 則 5 或者 6 因為 對該式兩邊 求導 得到 因此 7 令n 2n 則 或者 8 利用 5 題結(jié)果 令x n y n 則 2 已知 求X ej 的傅里葉反變換x n 4 設 將x n 以4為周期進行周期延拓 形成周期序列 畫出x n 和的波形 求出的離散傅里葉級數(shù)和傅里葉變換 解 畫出x n 和的波形如題4解圖所示 題4解圖 或者 10 若序列h n 是實因果序列 其傅里葉變換的實部如下式 HR ej 1 cos 求序列h n 及其傅里葉變換H ej 解 13 已知xa t 2cos 2 f0t 式中f0 100Hz 以采樣頻率fs 400Hz對xa t 進行采樣 得到采樣信號和時域離散信號x n 試完成下面各題 1 寫出的傅里葉變換表示式Xa j 2 寫出和x n 的表達式 3 分別求出的傅里葉變換和x n 序列的傅里葉變換 解 上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在 引入奇異函數(shù) 函數(shù) 它的傅里葉變換可以表示成 2 3 式中 式中 0 0T 0 5 rad上式推導過程中 指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在 只有引入奇異函數(shù) 函數(shù)才能寫出它的傅里葉變換表示式 18 已知 分別求 1 收斂域0 52對應的原序列x n 解 1 收斂域0 5 z 2 n 0時 c內(nèi)有極點0 5 x n Res F z 0 5 0 5n 2 nn 0時 c內(nèi)有極點0 5 0 但0是一個n階極點 改求c外極點留數(shù) c外極點只有2 x n Res F z 2 2n 最后得到x n 2 nu n 2nu n 1 2 n 2 n 0時 c內(nèi)有極點0 5 2 n 0時 c內(nèi)有極點0 5 2 0 但極點0是一個n階極點 改成求c外極點留數(shù) 可是c外沒有極點 因此 x n 0 最后得到 x n 0 5n 2n u n 2 解 1 2 20 設確定性序列x n 的自相關函數(shù)用下式表示 試用x n 的Z變換X z 和x n 的傅里葉變換X ej 分別表示自相關函數(shù)的Z變換Rxx z 和傅里葉變換Rxx ej 解 解法一 令m n m 則 解法二 因為x n 是實序列 X e j X ej 因此 22 設線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H z 為 1 在z平面上用幾何法證明該系統(tǒng)是全通網(wǎng)絡 即 H ej 常數(shù) 2 參數(shù)a如何取值 才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定 畫出其極零點分布及收斂域 解 1 極點為a 零點為a 1 設a 0 6 極零點分布圖如題22解圖 a 所示 我們知道 H ej 等于極點矢量的長度除以零點矢量的長度 按照題22解圖 a 得到 因為角 公用 且 AOB AOC 故 即 故H z 是一個全通網(wǎng)絡 或者按照余弦定理證明 題22解圖 2 只有選擇 a 1才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定 設a 0 6 極零點分布圖及收斂域如題22解圖 b 所示 因此 零點為z 0 令z2 z 1 0 求出極點 極零點分布圖如題23解圖所示 題23解圖 2 由于限定系統(tǒng)是因果的 收斂域需選包含 點在內(nèi)的收斂域 即 求系統(tǒng)的單位脈沖響應可以用兩種方法 一種是令輸入等于單位脈沖序列 通過解差分方程 其零狀態(tài)輸入解便是系統(tǒng)的單位脈沖響應 另一種方法是求H z 的逆Z變換 我們采用第二種方法 式中 令 n 0時 h n Res F z z1 Res F z z2 因為h n 是因果序列 n 0時 h n 0 故 3 由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的 收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域 即 z2 z z1 n 0時 c內(nèi)只有極點z2 只需求z2點的留數(shù) n 0時 c內(nèi)只有兩個極點 z2和z 0 因為z 0是一個n階極點 改成求圓外極點留數(shù) 圓外極點只有一個 即z1 那么 最后得到 24 已知線性因果網(wǎng)絡用下面差分方程描述 y n 0 9y n 1 x n 0 9x n 1 1 求網(wǎng)絡的系統(tǒng)函數(shù)H z 及單位脈沖響應h n 2 寫出網(wǎng)絡頻率響應函數(shù)H ej 的表達式 并定性畫出其幅頻特性曲線 3 設輸入x n ej 0n 求輸出y n 解 1 y n 0 9y n 1 x n 0 9x n 1 Y z 0 9Y z z 1 X z 0 9X z z 1 令 n 1時 c內(nèi)有極點0 9 n 0時 c內(nèi)有極點0 9 0 最后得到h n 2 0 9nu n 1 n 2 極點為z1 0 9 零點為z2 0 9 極零點圖如題24解圖 a 所示 按照極零點圖定性畫出的幅度特性如題24解圖 b 所示 3 題24解圖 25 已知網(wǎng)絡的輸入和單位脈沖響應分別為x n anu n h n bnu n 0 a 1 0 b 1 1 試用卷積法求網(wǎng)絡輸出y n 2 試用ZT法求網(wǎng)絡輸出y n 解 1 用卷積法求y n n 0時 n 0時 y n 0最后得到 2 用ZT法求y n 令 n 0時 c內(nèi)有極點 a b 因此 因為系統(tǒng)是因果系統(tǒng) 所以n 0時 y n 0 最后得到