2019-2020年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊三 離散型隨機(jī)變量的期望與方差1完整講義（學(xué)生版）.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊三 離散型隨機(jī)變量的期望與方差1完整講義（學(xué)生版） 知識內(nèi)容 1． 離散型隨機(jī)變量及其分布列 ⑴離散型隨機(jī)變量 如果在試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，并且是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母表示． 如果隨機(jī)變量的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱為離散型隨機(jī)變量． ⑵離散型隨機(jī)變量的分布列 將離散型隨機(jī)變量所有可能的取值與該取值對應(yīng)的概率列表表示： … … … … 我們稱這個(gè)表為離散型隨機(jī)變量的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量的分布列． 2．幾類典型的隨機(jī)分布 ⑴兩點(diǎn)分布 如果隨機(jī)變量的分布列為 其中，，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布． 二點(diǎn)分布舉例：某次抽查活動(dòng)中，一件產(chǎn)品合格記為，不合格記為，已知產(chǎn)品的合格率為，隨機(jī)變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則的分布列滿足二點(diǎn)分布． 兩點(diǎn)分布又稱分布，由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，所以這種分布又稱為伯努利分布． ⑵超幾何分布 一般地，設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取件，這件中所含這類物品件數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為時(shí)的概率為 ，為和中較小的一個(gè)． 我們稱離散型隨機(jī)變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱服從參數(shù)為，，的超幾何分布．在超幾何分布中，只要知道，和，就可以根據(jù)公式求出取不同值時(shí)的概率，從而列出的分布列． ⑶二項(xiàng)分布 1．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 如果每次試驗(yàn)，只考慮有兩個(gè)可能的結(jié)果及，并且事件發(fā)生的概率相同．在相同的條件下，重復(fù)地做次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，那么一般就稱它們?yōu)榇为?dú)立重復(fù)試驗(yàn)．次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率為． 2．二項(xiàng)分布 若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率是，其中．于是得到的分布列 … … … … 由于表中的第二行恰好是二項(xiàng)展開式 各對應(yīng)項(xiàng)的值，所以稱這樣的散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布， 記作． 二項(xiàng)分布的均值與方差： 若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，則 ，． ⑷正態(tài)分布 1． 概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時(shí)， 直方圖上面的折線所接近的曲線．在隨機(jī)變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量，則這條曲線稱為的概率密度曲線． 曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機(jī)變量落在指定的兩個(gè)數(shù)之間的概率就是對應(yīng)的曲邊梯形的面積． 2．正態(tài)分布 ⑴定義：如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨(dú)立的偶然因素所引起的，而且每一個(gè)偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似服從正態(tài)分布． 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量，簡稱正態(tài)變量． 正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為，，其中，是參數(shù)，且，． 式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差．期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布通常記作． 正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線． ⑵標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布． ⑶重要結(jié)論： ①正態(tài)變量在區(qū)間，，內(nèi)，取值的概率分別是，，． ②正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為，在區(qū)間之外的取值的概率是，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的原則． ⑷若，為其概率密度函數(shù)，則稱為概率分布函數(shù)，特別的，，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)． ． 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得． 分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對密度曲線的理解即可． 3．離散型隨機(jī)變量的期望與方差 1．離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義：一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能的取的值是，，…，，這些值對應(yīng)的概率是，，…，，則，叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡稱期望）． 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平． 2．離散型隨機(jī)變量的方差 一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是，，…，，這些值對應(yīng)的概率是，，…，，則叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的方差． 離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對于期望的平均波動(dòng)的大?。x散程度）． 的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)衡量離散型隨機(jī)變量波動(dòng)大小的量． 3．為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則； 4． 典型分布的期望與方差： ⑴二點(diǎn)分布：在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為，在次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為． ⑵二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，則，． ⑶超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布， 則，． 4．事件的獨(dú)立性 如果事件是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，即， 這時(shí)，我們稱兩個(gè)事件，相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件． 如果事件，，…，相互獨(dú)立，那么這個(gè)事件都發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即，并且上式中任意多個(gè)事件換成其對立事件后等式仍成立． 5．條件概率 對于任何兩個(gè)事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號“”來表示．把由事件與的交（或積），記做（或）． 典例分析 【例1】 投擲1枚骰子的點(diǎn)數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望為（ ） A． B． C． D． 【例2】 同時(shí)拋擲枚均勻硬幣次，設(shè)枚硬幣正好出現(xiàn)枚正面向上，枚反面向上的次數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望是（ ） A． B． C． D． 【例3】 從這6個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)，則兩數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望為 ． 【例4】 一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中率為，現(xiàn)共有顆子彈，命中后尚余子彈數(shù)目的期望為（ ） A． B． C． D． 【例5】 一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，不得分的概率為（、、），已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2（不計(jì)其它得分情況），則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【例6】 一家保險(xiǎn)公司在投保的50萬元的人壽保險(xiǎn)的保單中，估計(jì)每一千保單每年有15個(gè)理賠，若每一保單每年的營運(yùn)成本及利潤的期望值為200元，試求每一保單的保費(fèi)． 【例7】 甲乙兩人獨(dú)立解出某一道數(shù)學(xué)題的概率依次為，已知該題被甲或乙解出的概率為，甲乙兩人同時(shí)解出該題的概率為，求： ⑴； ⑵解出該題的人數(shù)的分布列及． 【例8】 甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約．乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響．求簽約人數(shù)的數(shù)學(xué)期望． 【例9】 某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量（單位：噸）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，最近周的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示： 周銷售量 2 3 4 頻數(shù) 20 50 30 ⑴根據(jù)上面統(tǒng)計(jì)結(jié)果，求周銷售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率； ⑵已知每噸該商品的銷售利潤為千元，表示該種商品兩周銷售利潤的和（單位：千元）．若以上述頻率作為概率，且各周的銷售量相互獨(dú)立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【例10】 某項(xiàng)考試按科目、科目依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目成績合格時(shí)，才可繼續(xù)參加科目的考試．已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會，兩個(gè)科目成績均合格方可獲得證書．現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目每次考試成績合格的概率均為，科目每次考試成績合格的概率均為．假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響．在這項(xiàng)考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望． 【例11】 某同學(xué)如圖所示的圓形靶投擲飛鏢，飛鏢落在靶外（環(huán)數(shù)記為0）的概率為，飛鏢落在靶內(nèi)的各個(gè)點(diǎn)是橢機(jī)的．已知圓形靶中三個(gè)圓為同心圓，半徑分別為、、，飛鏢落在不同區(qū)域的環(huán)數(shù)如圖中標(biāo)示．設(shè)這位同學(xué)投擲一次一次得到的環(huán)數(shù)這個(gè)隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望． 【例12】 某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為 商場經(jīng)銷一件該商品，采用期付款，其利潤為元；分期或期付款，其利潤為元；分期或期付款，其利潤為元．表示經(jīng)銷一件該商品的利潤． ⑴ 求事件：“購買該商品的位顧客中，至少有位采用期付款”的概率； ⑵ 求的分布列及期望． 【例13】 學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會一項(xiàng)，已知會唱歌的有人，會跳舞的有人，現(xiàn)從中選人．設(shè)為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數(shù)，且． ⑴求文娛隊(duì)的人數(shù)； ⑵寫出的概率分布列并計(jì)算期望． 【例14】 一接待中心有、、、四部熱線電話．已知某一時(shí)刻電話、占線的概率為，電話、占線的概率為，各部電話是否占線相互之間沒有影響．假設(shè)該時(shí)刻有部電話占線，試求隨機(jī)變量的概率分布和它的期望． 【例15】 某城市有甲、乙、丙個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值．求的分布及數(shù)學(xué)期望． 【例16】 某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為、、，且各輪問題能否正確回答互不影響． ⑴ 求該選手被淘汰的概率； ⑵ 該選手在選拔中回答問題的個(gè)數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望． （注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示） 【例17】 在某次測試中，甲、乙、丙三人能達(dá)標(biāo)的概率分別為，，，在測試過程中，甲、乙、丙能否達(dá)標(biāo)彼此間不受影響． ⑴求甲、乙、丙三人均達(dá)標(biāo)的概率； ⑵求甲、乙、丙三人中至少一人達(dá)標(biāo)的概率； ⑶設(shè)表示測試結(jié)束后達(dá)標(biāo)人數(shù)與沒達(dá)標(biāo)人數(shù)之差的絕對值，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望． 【例18】 在1，2，3，…，9這個(gè)自然數(shù)中，任取個(gè)數(shù)． ⑴ 求這個(gè)數(shù)中恰有個(gè)是偶數(shù)的概率； ⑵ 設(shè)為這個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為1，2，3，則有兩組相鄰的數(shù)1，2和2，3，此時(shí)的值是2）．求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望． 【例19】 甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約．乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設(shè)甲面試合格的概率為，乙、丙面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響．求： ⑴ 至少有人面試合格的概率； ⑵ 簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【例20】 某公司“咨詢熱線”電話共有8路外線，經(jīng)長期統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，在8點(diǎn)到10點(diǎn)這段時(shí)間內(nèi)，外線電話同時(shí)打入情況如下表所示： 電話同時(shí)打入個(gè)數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 概率 0 0 ⑴若這段時(shí)間內(nèi)，公司只安排了2位接線員（一個(gè)接線員一次只能接一個(gè)電話）． ①求至少一種電話不能一次接通的概率； ②在一周五個(gè)工作日中，如果至少有三個(gè)工作日的這段時(shí)間（8點(diǎn)至10點(diǎn)）內(nèi)至少一路電話不能一次接通，那么公司的形象將受到損害，現(xiàn)用該事件的概率表示公司形象的“損害度”，求上述情況下公司形象的“損害度”． ⑵求一周五個(gè)工作日的這段時(shí)間（8點(diǎn)至10點(diǎn)）內(nèi)，電話同時(shí)打入數(shù)的期望． 【例21】 某先生居住在城鎮(zhèn)的處，準(zhǔn)備開車到單位處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率，如圖．（ 例如：算作兩個(gè)路段：路段發(fā)生堵車事件的概率為，路段發(fā)生堵車事件的概率為）．記路線中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望． 【例22】 口袋里裝有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)白球，甲、乙兩人依規(guī)則從袋中有放回摸球，每次摸出一個(gè)球，規(guī)則如下：若一方摸出一個(gè)紅球，則此人繼續(xù)下一次摸球；若一方摸出一個(gè)白球，則由對方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互獨(dú)立，并由甲進(jìn)行第一次摸球；求在前三次摸球中，甲摸得紅球的次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望． 【例23】 某商場舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：從裝有個(gè)白球、個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，摸出一個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金元；摸出兩個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金元．現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎(jiǎng)金總額．求： ⑴的概率分布；⑵的期望． 【例24】 如圖所示，甲、乙兩只小螞蟻分別位于一個(gè)單位正方體的點(diǎn)和點(diǎn)處，每只小螞蟻都可以從每一個(gè)頂點(diǎn)處等可能地沿各條棱向每個(gè)方向移動(dòng)，但不能按原路線返回．如：甲在時(shí)可沿，，三個(gè)方向移動(dòng)，概率都是，到達(dá)點(diǎn)時(shí)，可沿，兩個(gè)方向移動(dòng)，概率都是．已知小螞蟻每秒鐘移動(dòng)的距離為1個(gè)單位． ⑴如果甲、乙兩只小螞蟻都移動(dòng)1秒，則它們所走的路線是異面直線的概率是多少？ ⑵若乙螞蟻不動(dòng)，甲螞蟻移動(dòng)3秒后，甲、乙兩只小螞蟻間的距離的期望值是多少？ 【例25】 從集合的所有非空子集中，等可能地取出一個(gè)． ⑴記性質(zhì)集合中的所有元素之和為，求所取出的非空子集滿足性質(zhì)的概率； ⑵記所取出的非空子集的元素個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【例26】 某地有、、、四人先后感染了甲型流感，其中只有到過疫區(qū)．肯定是受感染的．對于，因?yàn)殡y以斷定他是受還是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是．同樣也假定受、和感染的概率都是．在這種假定之下，、、中直接受感染的人數(shù)就是一個(gè)隨機(jī)變量．寫出的分布列（不要求寫出計(jì)算過程），并求的均值（即數(shù)學(xué)期望）． 【例27】 ⑴用紅、黃、藍(lán)、白四種不同顏色的鮮花布置如圖一所示的花圃，要求同一區(qū)域上用同一種顏色鮮花，相鄰區(qū)域用不同顏色鮮花，問共有多少種不同的擺放方案? ⑵用紅、黃、藍(lán)、白、橙五種不同顏色的鮮花布置如圖二所示的花圃，要求同一區(qū)域上用同一種顏色鮮花，相鄰區(qū)域使用不同顏色鮮花．求恰有兩個(gè)區(qū)域用紅色鮮花的概率． ⑶條件同⑵，記花圃中紅色鮮花區(qū)域的塊數(shù)為，求它的分布列及其數(shù)學(xué)期望． 【例28】 有甲、乙兩個(gè)箱子，甲箱中有張卡片，其中有張寫有數(shù)字，張寫有數(shù)字，張寫有數(shù)字；乙箱中有張卡片，其中張寫有數(shù)字，張寫有數(shù)字，張寫有數(shù)字． ⑴如果從甲箱中取出張卡片，乙箱中取出張卡片，那么取得的張卡片都寫有數(shù)字的概率是多少？ ⑵從甲、乙兩個(gè)箱子中各取一張卡片，設(shè)取出的張卡片數(shù)字之積為，求的分布列和期望． 【例29】 兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官?，每?duì)三名隊(duì)員，隊(duì)隊(duì)員是，隊(duì)隊(duì)員是，按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下： 對陣隊(duì)員 隊(duì)隊(duì)員勝的概率 隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率 對 對 對 現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊(duì)得分，負(fù)隊(duì)得分．設(shè)隊(duì)、隊(duì)最后總分分別為．求的期望． 【例30】 連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第次得到的點(diǎn)數(shù)為，若存在正整數(shù)，使，則稱為你的幸運(yùn)數(shù)字． ⑴求你的幸運(yùn)數(shù)字為的概率； ⑵若，則你的得分為分；若，則你的得分為分；若，則你的得分為分；若拋擲三次還沒找到你的幸運(yùn)數(shù)字則記分．求得分的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【例31】 在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投次；在處每投進(jìn)一球得分，在處每投進(jìn)一球得分；如果前兩次得分之和超過分即停止投籃，否則投第三次，某同學(xué)在處的命中率為，在處的命中率為，該同學(xué)選擇先在處投一球，以后都在處投，用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為 0 2 3 4 5 ⑴ 求的值； ⑵ 求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望； ⑶ 試比較該同學(xué)選擇都在處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大?。? 【例32】 在奧運(yùn)會射箭決賽中，參賽號碼為號的四名射箭運(yùn)動(dòng)員參加射箭比賽． ⑴通過抽簽將他們安排到號靶位，試求恰有兩名運(yùn)動(dòng)員所抽靶位號與其參賽號碼相同的概率； ⑵記號、號射箭運(yùn)動(dòng)員射箭的環(huán)數(shù)為（所有取值為）的概率分別為、．根據(jù)教練員提供的資料，其概率分布如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 0 0 0 0 0 0 ①若1，2號運(yùn)動(dòng)員各射箭一次，求兩人中至少有一人命中9環(huán)的概率； ②判斷1號，2號射箭運(yùn)動(dòng)員誰射箭的水平高？并說明理由． 【例33】 某人有10萬元，準(zhǔn)備用于投資房地產(chǎn)或購買股票，如果根據(jù)盈利表進(jìn)行決策，那么，合理的投資方案應(yīng)該是哪種？ 盈利概率 購買股票盈利 投資房地產(chǎn)盈利 巨大成功 10萬元 8萬元 中等成功 3萬元 4萬元 失敗 萬元 萬元 【例34】 甲、乙兩名工人加工同一種零件，分別檢測5個(gè)工件，結(jié)果分別如下： 試比較他們的加工水平． 【例35】 一軟件開發(fā)商開發(fā)一種新的軟件，投資萬元，開發(fā)成功的概率為，若開發(fā)不成功，則只能收回萬元的資金，若開發(fā)成功，投放市場前，召開一次新聞發(fā)布會，召開一次新聞發(fā)布會不論是否成功都需要花費(fèi)萬元，召開新聞發(fā)布會成功的概率為，若發(fā)布成功則可以銷售萬元，否則將起到負(fù)面作用只能銷售萬元，而不召開新聞發(fā)布會則可銷售萬元． ⑴求軟件成功開發(fā)且成功在發(fā)布會上發(fā)布的概率． ⑵如果開發(fā)成功就召開新聞發(fā)布會的話，求開發(fā)商的盈利期望． ⑶如果不召開新聞發(fā)布會，求開發(fā)商盈利的期望值，并由此決定是否應(yīng)該召開新聞發(fā)布會． 【例36】 某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為，一旦發(fā)生，將造成萬元的損失．現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用．單獨(dú)采用甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為萬元和萬元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為和．若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采用、聯(lián)合采用或不采用，請確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少．（總費(fèi)用＝采取預(yù)防措施的費(fèi)用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值．） 【例37】 最近，李師傅一家三口就如何將手中的萬塊錢投資理財(cái)，提出了三種方案： 第一種方案：將萬塊錢全部用來買股票．據(jù)分析預(yù)測：投資股市一年可能獲利，也可能虧損（只有這兩種可能），且獲利的概率為； 第二種方案：將萬塊錢全部用來買基金．據(jù)分析預(yù)測：投資基金一年可能獲利，也可能損失，也可能不賠不賺，且三種情況發(fā)生的概率分別為； 第三種方案：將萬塊錢全部存入銀行一年，現(xiàn)在存款利率為，存款利息稅率為． 針對以上三種投資方案，請你為李師傅家選擇一種合理的理財(cái)方法，并說明理由． 【例38】 某柑桔基地因冰雪災(zāi)害，使得果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果林的方案，每種方案都需分兩年實(shí)施；若實(shí)施方案一，預(yù)計(jì)當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的倍、倍、倍的概率分別是、、；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的倍、倍的概率分別是、．若實(shí)施方案二，預(yù)計(jì)當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的倍、倍、倍的概率分別是、、；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的倍、倍的概率分別是、．實(shí)施每種方案，第二年與第一年相互獨(dú)立．令表示方案實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)． ⑴寫出的分布列； ⑵實(shí)施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？ ⑶不管哪種方案，如果實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)可帶來效益萬元；兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)可帶來效益15萬元；柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)可帶來效益萬元；問實(shí)施哪種方案所帶來的平均效益更大？ 【例39】 某企業(yè)準(zhǔn)備投產(chǎn)一批特殊型號的產(chǎn)品，已知該種產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為，該種產(chǎn)品的市場前景無法確定，有三種可能出現(xiàn)的情況，各種情形發(fā)生的概率及產(chǎn)品價(jià)格與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式如下表所示： 市場情形 概率 價(jià)格與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式 好 中 差 設(shè)分別表示市場情形好、中差時(shí)的利潤，隨機(jī)變量，表示當(dāng)產(chǎn)量為，而市場前景無法確定的利潤． ⑴分別求利潤與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式； ⑵當(dāng)產(chǎn)量確定時(shí)，求期望； ⑶試問產(chǎn)量取何值時(shí)，市場無法確定的利潤取得最大值． 【例40】 某電器商由多年的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)本店出售的電冰箱的臺數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，它的分布列，設(shè)每售出一臺電冰箱，該臺冰箱可獲利元，若售不出則囤積在倉庫，每臺需支付保管費(fèi)元/月，問：該電器商月初購進(jìn)多少臺電冰箱才能使自己的月平均收入最大？ 【例41】 某鮮花店每天以每束元購入新鮮玫瑰花并以每束元的價(jià)格銷售，店主根據(jù)以往的銷售統(tǒng)計(jì)得到每天能以此價(jià)格售出的玫瑰花數(shù)的分布列如表所示，若某天所購進(jìn)的玫瑰花未售完，則當(dāng)天未售出的玫瑰花將以每束元的價(jià)格降價(jià)處理完畢． ⑴若某天店主購入玫瑰花束，試求該天其從玫瑰花銷售中所獲利潤的期望； ⑵店主每天玫瑰花的進(jìn)貨量（，單位：束）為多少時(shí)，其有望從玫瑰花銷售中獲取最大利潤?