河南省2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 四邊形作業(yè)幫.doc

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第一節(jié)　平行四邊形(含多邊形) 考點(diǎn)1　多邊形及其內(nèi)角和與外角和 1.[xx北京中考改編]若正多邊形的一個(gè)外角是60,則該正多邊形的邊數(shù)為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.4 C.5 D.6 2.[xx湖南邵陽(yáng)中考改編]如圖所示,在四邊形ABCD中,AD⊥AB,∠C=110,它的一個(gè)外角∠ADE=60,則∠B的度數(shù)是(　　) A.30 B.40 C.50 D.60 (第2題)　　(第3題) 3.[xx山東濟(jì)寧]如圖,在五邊形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300,DP,CP分別平分∠EDC,∠BCD,則∠P的度數(shù)是(　　) A.50　　 B.55　　 C.60　　 D.65 4.[xx上海中考改編]通過畫出多邊形的對(duì)角線,可以把多邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題.如果從某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線共有4條,那么該多邊形的內(nèi)角和是　　　　. 5.[xx山東聊城]如果一個(gè)正方形被截掉一個(gè)角后,得到一個(gè)多邊形,那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是　　　　. 6.[xx江蘇南京]如圖,五邊形ABCDE是正五邊形.若l1∥l2,則∠1-∠2=　　　　. 考點(diǎn)2　平行四邊形的性質(zhì) 7.[xx四川宜賓]在?ABCD中,若∠BAD與∠CDA的平分線交于點(diǎn)E,則△AED的形狀是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定 8.[xx黑龍江雞西]在平行四邊形ABCD中,∠BAD的平分線把BC邊分成長(zhǎng)度是3和4的兩部分,則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是(　　) A.22 B.20 C.22或20 D.18 9.[xx山東青島]如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AE⊥BC,垂足為E,AB=3,AC=2,BD=4,則AE的長(zhǎng)為(　　) A.32 B.32 C.217 D.2217 (第9題)　　(第10題) 10.[xx江蘇常州]如圖,在?ABCD中,∠A=70,DC=DB,則∠CDB=　　　　. 11.[xx湖南衡陽(yáng)]如圖,?ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,且AD≠CD,過點(diǎn)O作OM⊥AC,交AD于點(diǎn)M,連接CM.如果△CDM的周長(zhǎng)為8,那么?ABCD的周長(zhǎng)是　　　　. (第11題)　　(第12題) 12.[xx湖南株洲]如圖,在平行四邊形ABCD中,連接BD,恰有BD=CD,過點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M,過點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N,且DN=32.在DB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)P,滿足∠ABD=∠MAP+∠PAB,則AP=　　　　. 13.(6分)[xx福建A]如圖,?ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,EF過點(diǎn)O且與AD,BC分別相交于點(diǎn)E,F.求證:OE=OF. 考點(diǎn)3　平行四邊形的判定 14.[xx湖北天門]在下列條件中,能夠判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的是(　　) A.一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊相等 B.一組對(duì)邊相等,一組對(duì)角相等 C.一組對(duì)邊平行,一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線 D.一組對(duì)角相等,一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線 15.(8分)[xx山西]已知:如圖,在?ABCD中,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E,延長(zhǎng)CD至點(diǎn)F,使得BE=DF.連接EF,與對(duì)角線AC交于點(diǎn)O. 求證:OE=OF. 1.[xx周口地區(qū)模擬]如圖,如果邊長(zhǎng)相等的正五邊形和正方形的一邊重合,那么∠1的度數(shù)是 (　　) A.30　　　 B.15　　　 C.18　　　 D.20 (第1題)　　(第2題) 2.[xx洛陽(yáng)三模]如圖,在?ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD邊于點(diǎn)E,且AE=3,則AB的長(zhǎng)為(　　) A.4 B.3 C.52 D.2 3.[xx南陽(yáng)地區(qū)模擬]如圖,平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)B,D都在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,6),AB∥x軸,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),將這個(gè)平行四邊形向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位后,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(　　) A.(1,3) B.(4,3) C.(1,4) D.(2,4) (第3題)　　(第4題) 4.[xx平頂山一模改編]如圖,在?ABCD中,BC=202 cm,CD=20 cm,∠A=45,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),沿DB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度分別為32 cm/s和2 cm/s,其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s,當(dāng)△BPQ是直角三角形時(shí),t的值為(　　) A.4 B.52 C.52或4 D.6 5.[xx周口地區(qū)模擬]如圖,在?ABCD中,點(diǎn)O是對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn),AC⊥BC,且AB=10 cm,AD=8 cm,則OB=　　　　cm. (第5題)　(第6題) 6.[xx南陽(yáng)三模]如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=8 cm,BC=12 cm,M是BC上一點(diǎn),且BM=9 cm,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)以1 cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā),以3 cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s,則當(dāng)以A,M,E,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),t=　　　　. 7.(9分)[xx廣東中山一模]如圖,BD是△ABC的角平分線,點(diǎn)E,F分別在BC,AB上,且DE∥AB,BE=AF. (1)求證:四邊形ADEF是平行四邊形; (2)若∠ABC=60,BD=4,求?ADEF的面積. 第二節(jié)　矩形、菱形和正方形 考點(diǎn)1　矩形的性質(zhì) 1.[xx浙江衢州]如圖,矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=6,將△ABC沿AC折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,CE交AD于點(diǎn)F,則DF的長(zhǎng)等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.35 B.53 C.73 D.54 (第1題)　　(第2題) 2.[xx貴州遵義]如圖,點(diǎn)P是矩形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn),過點(diǎn)P作EF∥BC,分別交AB,CD于E,F,連接PB,PD.若AE=2,PF=8,則圖中陰影部分的面積為(　　) A.10 B.12 C.16 D.18 3.[xx山東威海]矩形ABCD與矩形CEFG如圖放置,點(diǎn)B,C,E共線,點(diǎn)C,D,G共線,連接AF,取AF的中點(diǎn)H,連接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,則GH=(　　) A.1 B.23 C.22 D.52 (第3題)　　(第4題) 4.[xx湖南株洲]如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AC=10,P,Q分別為AO,AD的中點(diǎn),則PQ的長(zhǎng)度為　　　　. 5.[xx江蘇連云港]如圖,E,F,G,H分別為矩形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),連接AC,HE,EC,GA,GF.已知AG⊥GF,AC=6,則AB的長(zhǎng)為　　　　. 6.(9分)[xx湖南張家界]如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E在BC上,AE=AD,DF⊥AE,垂足為F. (1)求證:DF=AB; (2)若∠FDC=30,且AB=4,求AD的長(zhǎng). 7.(9分)[xx江蘇連云港]如圖,矩形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),連接CE并延長(zhǎng),交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AC,DF. (1)求證:四邊形ACDF是平行四邊形; (2)當(dāng)CF平分∠BCD時(shí),寫出BC與CD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由. 考點(diǎn)2　矩形的判定 8.[xx上海]已知?ABCD,下列條件中,不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形的是(　　) A.∠A=∠B　 B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC 9.(9分)[xx四川達(dá)州]如圖,在△ABC中,點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)O作直線EF∥BC,分別交∠ACB、外角∠ACD的平分線于點(diǎn)E,F. (1)若CE=8,CF=6,求OC的長(zhǎng); (2)連接AE,AF,問:當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形AECF是矩形?并說明理由. 考點(diǎn)3　菱形的性質(zhì) 10.[xx湖南益陽(yáng)]下列性質(zhì)中菱形不一定具有的是(　　) A.對(duì)角線互相平分 B.對(duì)角線互相垂直 C.對(duì)角線相等 D.既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形 11.[xx內(nèi)蒙古赤峰]如圖,將邊長(zhǎng)為4的菱形紙片ABCD折疊,使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線的交點(diǎn)O處,若折痕EF=23,則∠A=(　　) A.120　　　　 B.100　　　 C.60　　　　 D.30 (第11題)　　(第12題) 12.[xx江蘇宿遷]如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn),若菱形ABCD的周長(zhǎng)為16,∠BAD=60,則△OCE的面積是(　　) A.3 B.2 C.23 D.4 13.[xx山東萊蕪]如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,∠ABC=120,M是BC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)(CM0)的圖象上,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,6),∴k=26=12,∴y=12x.∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3,令3=12x,解得x=4,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,3).又∵四邊形ABCD是平行四邊形,AB∥x軸,D(2,6),∴C(6,6).將這個(gè)平行四邊形向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位后,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,3).故選B. 4.C　過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠C=∠A=45,∴DH=CH.∵CD=20 cm,∴DH=CH=102 cm,∴BH=BC-CH=202-102=102(cm),∴BH=CH,∴BD=CD=20 cm,∴∠DBC=∠C=45.當(dāng)∠BPQ=90時(shí),如圖(1),BQ=2BP,∴20-2t=232t,解得t=52.當(dāng)∠BQP=90時(shí),如圖(2),BP=2BQ,∴32t=2(20-2t),解得t=4.故選C. 　　　　　　　圖(1)　　　　　　　　　　圖(2) 5.73　∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴BC=AD=8 cm,OA=OC.∵AC⊥BC,∴AC=AB2-BC2=102-82=6(cm),∴OC=12AC=3 cm,∴OB=BC2+OC2=82+32=73(cm). 6.34或32　由題可知,AE=t cm,CF=3t cm,CM=3 cm.①當(dāng)點(diǎn)F在線段BM上,且AE=FM時(shí),四邊形AFME是平行四邊形,此時(shí)有t=3t-3,解得t=32;②當(dāng)點(diǎn)F在線段CM上,且AE=FM時(shí),四邊形AMFE是平行四邊形,此時(shí)有t=3-3t,解得t=34.綜上所述,t=34或32時(shí),以A,M,E,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形. 7.(1)證明:∵BD是△ABC的角平分線, ∴∠ABD=∠DBE. ∵DE∥AB, ∴∠ABD=∠BDE, ∴∠DBE=∠BDE, ∴BE=DE. ∵BE=AF, ∴AF=DE, ∴四邊形ADEF是平行四邊形. (4分) (2)過點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H,則BH=HD=2. ∵∠ABC=60,BD是∠ABC的平分線, ∴∠EBD=30, ∴EH=BHtan∠EBD=2tan 30=233, ∴S△BDE=12BDEH=124233=433, 又∵AB∥DE, ∴S?ADEF=2S△BDE=833. (9分) 第二節(jié)　矩形、菱形和正方形 真題分點(diǎn)練 1.B　∵AD∥BC,∴∠ACB=∠CAF.由折疊的性質(zhì)可知∠ACB=∠ACF,∴∠ACF=∠CAF,∴AF=CF.設(shè)DF=x,則CF=AF=6-x.在Rt△CDF中,由勾股定理得CF2=CD2+DF2,即(6-x)2=42+x2,解得x=53,故DF的長(zhǎng)為53. 2.C　如圖,過點(diǎn)P作AD的垂線,分別交AD,BC于點(diǎn)M,N,則四邊形AEPM,DFPM,CFPN,BEPN都是矩形,∴S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN,又∵S△ADC=S△ABC,∴S△PBE=S△DFP=1228=8,∴S陰影部分=8+8=16,故選C. 3.C　延長(zhǎng)GH,交AD于點(diǎn)P,∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是矩形,∴∠ADG=∠ADC=∠CGF=90,AD=BC=2,GF=CE=1,∴AD∥GF,∴∠PAH=∠GFH,又∵H是AF的中點(diǎn),∴AH=FH.又∠AHP=∠FHG,∴△APH≌△FGH,∴AP=GF=1,GH=PH=12PG,∴PD=AD-AP=1.∵CG=2,CD=1,∴DG=1,∴GH=12PG=12PD2+DG2=22.故選C. 4.2.5　∵四邊形ABCD是矩形,∴BD=AC=10,∴OD=12BD=5.∵點(diǎn)P,Q分別是AO,AD的中點(diǎn),∴PQ是△AOD的中位線,∴PQ=12OD=2.5. 5.2　連接BD.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ADC=∠DCB=90,BD=AC=6.∵CG=DG,CF=FB,∴GF=12BD=62.∵AG⊥FG,∴∠AGD+∠CGF=90,又∵∠DAG+∠AGD=90,∴∠DAG=∠CGF,∴△ADG∽△GCF,∴ADGC=DGCF.設(shè)CF=BF=a(a>0),CG=DG=b(b>0),則2ab=ba,∴b2=2a2,∴b=2a.在Rt△GCF中,b2+a2=64,∴a=22,∴AB=2b=2. 6.(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∠B=90, ∴∠AEB=∠DAF. 又∵DF⊥AE,∴∠DFA=90=∠B. 又∵AD=EA,∴△ADF≌△EAB,∴DF=AB.(4分) (2)∵∠ADF+∠FDC=90,∠DAF+∠ADF=90, ∴∠DAF=∠FDC=30, ∴AD=2DF. ∵DF=AB=4, ∴AD=2AB=8.(9分) 7.(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形, ∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE. ∵E是AD的中點(diǎn), ∴AE=DE. 又∵∠FEA=∠CED, ∴△FAE≌△CDE,∴CD=FA, 又∵CD∥AF, ∴四邊形ACDF是平行四邊形.(4分) (2)BC=2CD.(5分) 理由:∵CF平分∠BCD, ∴∠DCE=12∠BCD=45. ∵∠CDE=90, ∴△CDE是等腰直角三角形,∴CD=DE, ∵E是AD的中點(diǎn), ∴AD=2CD, 又∵AD=BC, ∴BC=2CD.(9分) 8.B　根據(jù)“一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”和“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”,可知選項(xiàng)A,C,D中的條件均可以判定?ABCD是矩形,而B中的條件不能判定.故選B. 9.(1)由題可知,∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF. ∵EF∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF, ∴∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF, ∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF. ∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180,∴∠ECF=90. 在Rt△CEF中,由勾股定理得EF=CE2+CF2=10, ∴OC=12EF=5.(5分) (2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處時(shí),四邊形AECF是矩形. 理由如下: 當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí),AO=CO, 又∵EO=FO, ∴四邊形AECF是平行四邊形. 由(1)可知∠ECF=90, ∴?AECF是矩形.(9分) 10.C　根據(jù)菱形的性質(zhì)可知,菱形的對(duì)角線互相垂直平分,且菱形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形,但其對(duì)角線不一定相等. 故選C. 11.A　連接OA,交EF于點(diǎn)G.∵點(diǎn)A與點(diǎn)O關(guān)于直線EF對(duì)稱,點(diǎn)O是菱形對(duì)角線的交點(diǎn),∴AO⊥EF,AO⊥BD,AG=OG,∴EF∥BD,∴EF是△ABD的中位線,∴BD=2EF=43,∴OD=23.∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,∴sin∠OAD=ODAD=234=32,∴∠OAD=60,∴∠BAD=120. 12.A　過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H,∵四邊形ABCD是菱形,∴AO=CO,AB=BC=CD=AD.∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為16,∴AB=AD=4.∵∠BAD=60,∴DH=432=23,∴S菱形ABCD=423=83,∴S△ACD=1283=43.∵點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn),AO=CO,∴OE為△ADC的中位線,∴OE∥AD,∴△CEO∽△CDA,∴S△OCES△ACD=(CECD)2=14,∴S△OCE=1443=3.故選A. 13.A　如圖,作點(diǎn)M關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)M,則點(diǎn)M在DC上,且CM=CM=2.連接BM,交AC于點(diǎn)P,此時(shí)PB+PM的值最小,為BM的長(zhǎng).過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E. ∵∠ABC=120,∴∠BCD=60,∴CE=12BC=3,BE=33,則EM=3-2=1. 在Rt△BEM中,由勾股定理可得BM=BE2+EM2=27.∵四邊形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∴△ABP∽△CMP,∴PMPB=CMAB=13,又∵BP+PM=27,∴PM=72,即PM=72. 14.23　依照題意畫出圖形,如圖所示.菱形ABCD的邊長(zhǎng)是2,設(shè)對(duì)角線的交點(diǎn)為O.在Rt△AOB中,AB=2,OB=3,∴OA=AB2-OB2=1,∴AC=2OA=2,∴S菱形ABCD=12ACBD=12223=23. 15.3-12　如圖,延長(zhǎng)DM,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接ED.∵AE⊥BC,∴∠AEB=90.∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),AB=2,∴EM=AM=BM=1.∵AD∥BC,∴∠MAD=∠MBF,∠ADM=∠F,∴△AMD≌△BMF,∴BF=AD=2,MF=MD.∵∠EMD=90,∴EM⊥DF,即EM垂直平分DF,∴ED=EF.設(shè)BE=x,則DE=EF=x+2.在Rt△ABE中,AE2=AB2-BE2=22-x2.在Rt△ADE中,AE2=DE2-AD2=(x+2)2-22,∴22-x2=(x+2)2-22,解得x1=-1+3,x2=-1-3(不合題意,舍去),∴BE=3-1.在Rt△ABE中,cos∠ABE=BEAB=3-12. 16.D　∵DE∥AC,DF∥AB,∴四邊形AEDF是平行四邊形.當(dāng)AD⊥BC或BD=CD時(shí),無法推理出平行四邊形AEDF是特殊平行四邊形,故選項(xiàng)A,C中的說法錯(cuò)誤.當(dāng)AD垂直平分BC時(shí),AB=AC,且DE,DF是△ABC的中位線,∴AE=AF=DE=DF,∴四邊形AEDF是菱形,故選項(xiàng)B中的說法錯(cuò)誤.當(dāng)AD平分∠BAC時(shí),由AE∥DF得∠ADF=∠DAE=∠DAF,∴AF=DF,∴平行四邊形AEDF是菱形,故選項(xiàng)D中的說法正確. 17.(1)證明:∵AD⊥BC,點(diǎn)E,F分別是AB,AC的中點(diǎn), ∴DE=AE=12AB,DF=AF=12AC. 又∵AB=AC,∴AE=AF=DE=DF, ∴四邊形AEDF是菱形.(4分) (2)如圖,連接EF,交AD于點(diǎn)O. ∵菱形AEDF的周長(zhǎng)為12,∴AE=3. 設(shè)EF=x,AD=y,則x+y=7,∴x2+2xy+y2=49.① ∵四邊形AEDF是菱形,∴AO=DO,EO=FO,AD⊥EF. 在Rt△AOE中,AO2+EO2=AE2, ∴(12y)2+(12x)2=32,即x2+y2=36.② 把②代入①,得2xy=13,∴xy=132, 故菱形AEDF的面積S=12xy=134.(9分) 18.B　∵四邊形ABCD是正方形,A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-1,2),(-1,0),(-3,0),∴D(-3,2),∴平移后點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,2),故選B. 19.B　觀察題圖可知,陰影部分的面積等于正方形ABCD面積的一半,正方形ABCD的面積為1,故陰影部分的面積為12,故選B. 20.①③④　在?ABCD中,∵AB⊥AD,∴?ABCD是矩形,又∵AB=AD,∴?ABCD是正方形,故條件①正確;由AB⊥BD可知邊AB與對(duì)角線BD的夾角為90,∴?ABCD不可能是正方形,故條件②錯(cuò)誤;由OB=OC可知AC=BD,∴?ABCD是矩形,又∵OB⊥OC,∴?ABCD是正方形,故條件③正確;∵AB=AD,∴?ABCD是菱形,又∵AC=BD,∴?ABCD是正方形,故條件④正確.綜上所述,條件①③④正確. 21.(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形, ∴OA=OB,∠DAO=45,∠OBA=45,AC⊥BD, ∴∠OAM=∠OBN=135,∠AOB=90, 又∵∠EOF=90, ∴∠AOM=∠BON, ∴△OAM≌△OBN, ∴OM=ON.(4分) (2)過點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H, 則OH∥AB,OH=DH=AH=12AD=2, 又∵E為OM的中點(diǎn),∴MA=AH=2, ∴HM=4,∴OM=22+42=25, ∴MN=2OM=210.(9分) 模擬提升練 1.D　∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=DC,AD=BC,AD∥BC,∴∠DAM=∠AMB,又由題意知∠BAM=∠DAM,∴∠BAM=∠AMB,∴BA=BM,同理DN=DC,∴BM=DN,∴BC-BM=AD-DN,即CM=AN,∴四邊形AMCN是平行四邊形.A項(xiàng)中,∵AM=AN,∴平行四邊形AMCN是菱形.B項(xiàng)中,∵M(jìn)N⊥AC,∴平行四邊形AMCN是菱形.C項(xiàng)中,∵AD∥BC,∴∠ANM=∠CMN.∵M(jìn)N平分∠AMC,∴∠AMN=∠CMN,∴∠AMN=∠ANM,∴AM=AN,∴平行四邊形AMCN是菱形.D項(xiàng)中,根據(jù)∠BAD=120和四邊形AMCN是平行四邊形,不能推出四邊形AMCN是菱形.故選D. 2.D　∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA,∠BAE=∠ABC=90.∵AF=DE,∴AE=BF.在△ABE和△BCF中,AB=BC,∠BAE=∠FBC,AE=BF,∴△ABE≌△BCF,∴∠ABE=∠BCF.∵∠ABE+∠CBP=90,∴∠BCF+∠CBP=90,∴∠BPC=90,則點(diǎn)P在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).如圖,取BC的中點(diǎn)O,連接OP,OA,則OP=12BC=2.在Rt△AOB中,OA=AB2+OB2=42+22=25.根據(jù)兩點(diǎn)之間,線段最短,得OP+AP≥OA,∴當(dāng)O,P,A三點(diǎn)共線時(shí),AP的長(zhǎng)度最小,為25-2.故選D. 3.23-2或3+1　∵四邊形ABCD是菱形,AB=2,∠ABC=30,∴CD=AB=2,∠D=∠ABC=30,∠BCD=150.∵△DBC為等邊三角形,∴∠BCD=60.①當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上時(shí),如圖(1)所示,過點(diǎn)E作EF⊥CD,垂足為點(diǎn)F,則∠CEF=∠FCE=12(∠BCD-∠BCD)=45,∴CF=EF.在Rt△DEF中,∠D=30,∴EF=12DE.設(shè)EF=x,則DE=2x,CF=x,FD=3x.∵CF+FD=CD=2,∴x+3x=2,解得x=3-1,∴DE=2x=23-2.②當(dāng)點(diǎn)E在DA的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖(2),過點(diǎn)B作BH⊥AD,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.由折疊可知∠EDC=∠D=30.∵∠BDC=60,∴DE為∠BDC的平分線.又∵△BDC是等邊三角形,∴DE⊥BC,∴DE⊥AD.∵∠ABC=30,∴∠BAH=30,又∵AB=2,∴AH=3.設(shè)DE與BC的交點(diǎn)為G,則EH=BG=12BC=1,∴AE=3-1,∴DE=3+1. 　　　　　　圖(1)　　　　　　　　　　圖(2) 4.(1)證明:∵AD是等腰三角形ABC底邊BC上的高,∴BD=DC,∠ADC=90. ∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn),∴AO=OC,∴OD∥AB, 又∵AE∥BC, ∴四邊形ABDE是平行四邊形,∴AE=BD, ∴AE=DC, ∴四邊形ADCE是平行四邊形, ∵∠ADC=90,∴四邊形ADCE是矩形.(5分) (2)①120(7分) ②102(9分) 5.(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形, ∴AB=CD,AB∥CD,∠B=∠D=90, ∴∠BAC=∠ACD. ∵∠BAE=12∠BAC,∠DCF=12∠ACD, ∴∠BAE=∠FCD. 在△ABE和△CDF中, ∠BAE=∠DCF,AB=CD,∠B=∠D, ∴△ABE≌△CDF.(5分) (2)①63(7分) ②23(9分)