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專題能力訓(xùn)練18 直線與圓錐曲線
一、能力突破訓(xùn)練
1.已知O為坐標原點,F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點,A,B分別為C的左、右頂點.P為C上一點,且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為 ( )
A. B. C. D.
2.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5,則拋物線x2=4y的焦點到雙曲線的漸近線的距離是( )
A.510 B.55 C.255 D.455
3.如果與拋物線y2=8x相切傾斜角為135的直線l與x軸和y軸的交點分別是A和B,那么過A,B兩點的最小圓截拋物線y2=8x的準線所得的弦長為( )
A.4 B.22 C.2 D.2
4.(2018全國Ⅰ,理11)已知雙曲線C:x23-y2=1,O為坐標原點,F為C的右焦點,過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M,N.若△OMN為直角三角形,則|MN|= ( )
A. B.3 C.23 D.4
5.平面直角坐標系xOy中,雙曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p>0)交于點O,A,B.若△OAB的垂心為C2的焦點,則C1的離心率為 .
6.(2018全國Ⅰ,理19)設(shè)橢圓C:x22+y2=1的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0).
(1)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;
(2)設(shè)O為坐標原點,證明:∠OMA=∠OMB.
7.
如圖,已知拋物線x2=y,點A-12,14,B32,94,拋物線上的點P(x,y)-12
b>0)的離心率為32,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面積為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)P是橢圓C上一點,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求證:|AN||BM|為定值.
9.(2018全國Ⅱ,理19)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8.
(1)求l的方程.
(2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.
二、思維提升訓(xùn)練
10.(2018全國Ⅲ,理16)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點,若∠AMB=90,則k= .
11.定長為3的線段AB的兩個端點A,B分別在x軸、y軸上滑動,動點P滿足BP=2PA.
(1)求點P的軌跡曲線C的方程;
(2)若過點(1,0)的直線與曲線C交于M,N兩點,求OMON的最大值.
12.設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.
(1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程;
(2)設(shè)點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.
13.(2018全國Ⅲ,理20)已知斜率為k的直線l與橢圓C:x24+y23=1交于A,B兩點,線段AB的中點為M(1,m)(m>0).
(1)證明:k<-;
(2)設(shè)F為C的右焦點,P為C上一點,且FP+FA+FB=0.證明:|FA|,|FP|,|FB|成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差.
專題能力訓(xùn)練18 直線與圓錐曲線
一、能力突破訓(xùn)練
1.A 解析 由題意,不妨設(shè)直線l的方程為y=k(x+a),k>0,分別令x=-c與x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.
設(shè)OE的中點為G,
由△OBG∽△FBM,得12|OE||FM|=|OB||BF|,
即ka2k(a-c)=aa+c,整理,得ca=13,
故橢圓的離心率e=13,故選A.
2.B 解析 拋物線x2=4y的焦點為(0,1),雙曲線x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0)的離心率為5,所以ba=c2-a2a2=e2-1=2,雙曲線的漸近線為y=x=2x,則拋物線x2=4y的焦點到雙曲線的漸近線的距離是11+4=55.故選B.
3.C 解析 設(shè)直線l的方程為y=-x+b,聯(lián)立直線與拋物線方程,消元得y2+8y-8b=0.因為直線與拋物線相切,所以Δ=82-4(-8b)=0,解得b=-2,故直線l的方程為x+y+2=0,從而A(-2,0),B(0,-2).因此過A,B兩點的最小圓即為以AB為直徑的圓,其方程為(x+1)2+(y+1)2=2,而拋物線y2=8x的準線方程為x=-2,此時圓心(-1,-1)到準線的距離為1,故所截弦長為2(2)2-12=2.
4.B 解析 由條件知F(2,0),漸近線方程為y=33x,所以∠NOF=∠MOF=30,∠MON=60≠90.
不妨設(shè)∠OMN=90,則|MN|=3|OM|.
又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos 30=3,所以|MN|=3.
5.32 解析 雙曲線的漸近線為y=x.由y=bax,x2=2py,得A2bpa,2b2pa2.
由y=-bax,x2=2py,得B-2bpa,2b2pa2.
∵F0,p2為△OAB的垂心,∴kAFkOB=-1.
即2b2pa2-p22bpa-0-ba=-1,解得b2a2=54,
∴c2a2=94,即可得e=32.
6.解 (1)由已知得F(1,0),l的方程為x=1.
由已知可得,點A的坐標為1,22或1,-22.
所以AM的方程為y=-22x+2或y=22x-2.
(2)當l與x軸重合時,∠OMA=∠OMB=0,
當l與x軸垂直時,OM為AB的垂直平分線,所以∠OMA=∠OMB.
當l與x軸不重合也不垂直時,設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1<2,x2<2,直線MA,MB的斜率之和為kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2.
由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得
kMA+kMB=2kx1x2-3k(x1+x2)+4k(x1-2)(x2-2).
將y=k(x-1)代入x22+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
所以x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.
則2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0.
從而kMA+kMB=0,故MA,MB的傾斜角互補,所以∠OMA=∠OMB.
綜上,∠OMA=∠OMB.
7.解 (1)設(shè)直線AP的斜率為k,k=x2-14x+12=x-,
因為-120).
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.
由題設(shè)知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),k=1.
因此l的方程為y=x-1.
(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.
設(shè)所求圓的圓心坐標為(x0,y0),則
y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.
解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.
因此所求圓的方程為
(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
二、思維提升訓(xùn)練
10.2 解析 設(shè)直線AB:x=my+1,
聯(lián)立x=my+1,y2=4x?y2-4my-4=0,
y1+y2=4m,y1y2=-4.
而MA=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),
MB=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).
∵∠AMB=90,
∴MAMB=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)
=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5
=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5
=4m2-4m+1=0.
∴m=12.∴k=1m=2.
11.解 (1)設(shè)A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),
由BP=2PA得(x,y-y0)=2(x0-x,-y),
即x=2(x0-x),y-y0=-2y?x0=32x,y0=3y.
因為x02+y02=9,所以32x2+(3y)2=9,化簡,得x24+y2=1,
所以點P的軌跡方程為x24+y2=1.
(2)當過點(1,0)的直線為y=0時,OMON=(2,0)(-2,0)=-4,
當過點(1,0)的直線不為y=0時,可設(shè)為x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立x24+y2=1,x=ty+1并化簡,得(t2+4)y2+2ty-3=0,
由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2=-2tt2+4,y1y2=-3t2+4,
OMON=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(y1+y2)+1=(t2+1)-3t2+4+t-2tt2+4+1=-4t2+1t2+4=-4(t2+4)+17t2+4=-4+17t2+4.
又由Δ=4t2+12(t2+4)=16t2+48>0恒成立,所以t∈R,
對于上式,當t=0時,(OMON)max=14.
綜上所述,OMON的最大值為14.
12.解 (1)因為|AD|=|AC|,EB∥AC,
故∠EBD=∠ACD=∠ADC.
所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.
又圓A的標準方程為(x+1)2+y2=16,
從而|AD|=4,
所以|EA|+|EB|=4.
由題設(shè)得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,
由橢圓定義可得點E的軌跡方程為x24+y23=1(y≠0).
(2)當l與x軸不垂直時,設(shè)l的方程為
y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),
由y=k(x-1),x24+y23=1
得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
則x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3,
所以|MN|=1+k2|x1-x2|=12(k2+1)4k2+3.
過點B(1,0)且與l垂直的直線m:y=-1k(x-1),A到m的距離為2k2+1,
所以|PQ|=242-2k2+12=44k2+3k2+1.
故四邊形MPNQ的面積
S=12|MN||PQ|=121+14k2+3.
可得當l與x軸不垂直時,四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,83).
當l與x軸垂直時,其方程為x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四邊形MPNQ的面積為12.
綜上,四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,83).
13.解 (1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x124+y123=1,x224+y223=1.
兩式相減,并由y1-y2x1-x2=k得x1+x24+y1+y23k=0.
由題設(shè)知x1+x22=1,y1+y22=m,于是k=-34m. ①
由題設(shè)得0
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專題六
直線、圓、圓錐曲線
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