（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題十五 統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例講義 理（重點(diǎn)生含解析）.doc
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專題十五 統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別與分析T3 折線圖、線性回歸方程模型問(wèn)題T18 莖葉圖的應(yīng)用及獨(dú)立性檢驗(yàn)T18 2017 ______- 頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)T18 折線圖的識(shí)別與分析T3 2016 ________ _______ 統(tǒng)計(jì)圖表的識(shí)別與分析T4 折線圖、相關(guān)性檢驗(yàn)、線性回歸方程及應(yīng)用T18 縱向把握趨勢(shì) 卷Ⅰ3年1考，題型為選擇題且難度較小，涉及統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別與分析．預(yù)計(jì)2019年會(huì)以選擇題的形式考查折線圖、線性回歸方程等問(wèn)題，難度適中 卷Ⅱ3年2考，題型均為解答題的第18題，涉及折線圖、頻率分布直方圖、線性回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)，難度適中．預(yù)計(jì)2019年仍會(huì)以解答題的形式考查獨(dú)立性檢驗(yàn)或線性回歸模型的應(yīng)用 卷Ⅲ3年4考，既有選擇題也有解答題，小題主要考查統(tǒng)計(jì)圖表、折線圖的識(shí)別與分析，解答題考查線性回歸方程的應(yīng)用及獨(dú)立性檢驗(yàn)．預(yù)計(jì)2019年會(huì)以解答題的形式考查線性回歸模型的應(yīng)用，同時(shí)以選擇題的形式考查統(tǒng)計(jì)圖表的識(shí)別與分析 橫向把握重點(diǎn) 1.統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例在選擇題或填空題中的命題熱點(diǎn)主要集中在隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體以及變量間的相關(guān)性判斷等，難度較低，常出現(xiàn)在3～4題的位置． 2.統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例在解答題中多出現(xiàn)在18或19題，多考查直方圖、莖葉圖及數(shù)字特征計(jì)算、統(tǒng)計(jì)案例的應(yīng)用. 抽樣方法 [題組全練] 1．(2018石家莊模擬)某校高一年級(jí)有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級(jí)全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為140的樣本，則此樣本中男生人數(shù)為( ) A．80 B．120 C．160 D．240 解析：選A 因?yàn)槟猩团谋壤秊?60∶420＝4∶3，樣本容量為140，所以應(yīng)該抽取男生的人數(shù)為140＝80，故選A. 2．(2018南寧模擬)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示．為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為( ) A．100,20 B．200,20 C．200,10 D．100,10 解析：選B 由題圖甲可知學(xué)生總?cè)藬?shù)是10 000，樣本容量為10 0002%＝200，抽取的高中生人數(shù)是2 0002%＝40，由題圖乙可知高中生的近視率為50%，所以高中生的近視人數(shù)為4050%＝20，故選 B. 3．從30個(gè)個(gè)體(編號(hào)為00～29)中抽取10個(gè)樣本，現(xiàn)給出某隨機(jī)數(shù)表的第11行到第15行(見(jiàn)下表)，如果某人選取第12行的第6列和第7列中的數(shù)作為第一個(gè)數(shù)并且由此數(shù)向右讀，則選取的前4個(gè)的號(hào)碼分別為( ) 9264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 1640 5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814 2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815 5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702 9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488 A．76,63,17,00 B．16,00,02,30 C．17,00,02,25 D．17,00,02,07 解析：選D 在隨機(jī)數(shù)表中，將處于00～29的號(hào)碼選出，滿足要求的前4個(gè)號(hào)碼為17,00,02,07. 4．(2019屆高三南昌調(diào)研)某校高三(2)班現(xiàn)有64名學(xué)生，隨機(jī)編號(hào)為0,1,2，…，63，依編號(hào)順序平均分成8組，組號(hào)依次為1,2,3，…，8.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為8的樣本，若在第1組中隨機(jī)抽取的號(hào)碼為5，則在第6組中抽取的號(hào)碼為_(kāi)_______． 解析：由題知分組間隔為＝8，又第1組中抽取的號(hào)碼為5，所以第6組中抽取的號(hào)碼為58＋5＝45. 答案：45 5．采用系統(tǒng)抽樣方法從1 000人中抽取50人做問(wèn)卷調(diào)查，將他們隨機(jī)編號(hào)1,2，…，1 000.適當(dāng)分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為8.若抽到的50人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[1,400]的人做問(wèn)卷A，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[401,750]的人做問(wèn)卷B，其余的人做問(wèn)卷C，則抽到的人中，做問(wèn)卷C的人數(shù)為_(kāi)_______． 解析：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)可知，所有做問(wèn)卷調(diào)查的人的編號(hào)構(gòu)成首項(xiàng)為8，公差d＝＝20的等差數(shù)列{an}，∴通項(xiàng)公式an＝8＋20(n－1)＝20n－12，令751≤20n－12≤1 000，得≤n≤，又∵n∈N*，∴39≤n≤50，∴做問(wèn)卷C的共有12人． 答案：12 [系統(tǒng)方法] 解決抽樣問(wèn)題應(yīng)關(guān)注的兩點(diǎn) (1)解決此類題目的關(guān)鍵是深刻理解各種抽樣方法的特點(diǎn)和適用范圍．但無(wú)論哪種抽樣方法，每一個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是相等的，都等于樣本容量與總體容量的比值． (2)在系統(tǒng)抽樣的過(guò)程中，要注意分段間隔，需要抽取n個(gè)個(gè)體，樣本就需要分成n個(gè)組，則分段間隔即為(N為樣本容量)，首先確定在第一組中抽取的個(gè)體的號(hào)碼數(shù)，再?gòu)暮竺娴拿拷M中按規(guī)則抽取每個(gè)個(gè)體. 用樣本估計(jì)總體 [題組全練] 1．(2019屆高三貴陽(yáng)模擬)在某中學(xué)舉行的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽中，將三個(gè)年級(jí)參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分為5組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五小組，已知第二小組的頻數(shù)是40，則成績(jī)?cè)?0～100分的學(xué)生人數(shù)是( ) A．15 B．18 C．20 D．25 解析：選A 根據(jù)頻率分布直方圖，得第二小組的頻率是0.0410＝0.4，∵頻數(shù)是40，∴樣本容量是＝100，又成績(jī)?cè)?0～100分的頻率是(0.01＋0.005)10＝0.15，∴成績(jī)?cè)?0～100分的學(xué)生人數(shù)是1000.15＝15. 2．(2018全國(guó)卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖： 則下面結(jié)論中不正確的是( ) A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少 B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上 C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍 D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半 解析：選A 設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入為a，則新農(nóng)村建設(shè)后，農(nóng)村經(jīng)濟(jì)收入為2a. 新農(nóng)村建設(shè)前后，各項(xiàng)收入的對(duì)比如下表： 新農(nóng)村建設(shè)前 新農(nóng)村建設(shè)后 新農(nóng)村建設(shè)后變化情況 結(jié)論 種植收入 60%a 37%2a＝74%a 增加 A錯(cuò) 其他收入 4%a 5%2a＝10%a 增加一倍以上 B對(duì) 養(yǎng)殖收入 30%a 30%2a＝60%a 增加了一倍 C對(duì) 養(yǎng)殖收入＋第三產(chǎn)業(yè)收入 (30%＋6%)a＝36%a (30%＋28%)2a＝116%a 超過(guò)經(jīng)濟(jì)收入2a的一半 D對(duì) 故選A. 3．(2018長(zhǎng)春質(zhì)檢)已知某班級(jí)部分同學(xué)一次測(cè)驗(yàn)的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖，則其中位數(shù)和眾數(shù)分別為( ) A．95,94 B．92,86 C．99,86 D．95,91 解析：選B 由莖葉圖可知，此組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17個(gè)，故92為中位數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的為眾數(shù)，故眾數(shù)為86，故選 B. 4.(2018武漢調(diào)研)從某選手的7個(gè)得分中去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分后，剩余5個(gè)得分的平均數(shù)為91分，如圖所示是該選手得分的莖葉圖，其中有一個(gè)數(shù)字模糊，無(wú)法辨認(rèn)，在圖中用x表示，則剩余5個(gè)得分的方差為_(kāi)_______． 解析：去掉一個(gè)最高分99分，一個(gè)最低分87分，剩余的得分為93分，90分，(90＋x)分，91分，87分，則＝91，解得x＝4，所以這5個(gè)數(shù)的方差s2＝[(91－93)2＋(91－90)2＋(91－94)2＋(91－91)2＋(91－87)2]＝6. 答案：6 [系統(tǒng)方法] 1．頻率分布直方圖的應(yīng)用 (1)已知頻率分布直方圖中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù)．可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與整體的關(guān)系，利用頻率和等于1就可求出其他數(shù)據(jù)． (2)已知頻率分布直方圖，求某種范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)．可利用圖形及某范圍結(jié)合求解． 2．?dāng)?shù)字特征及其特點(diǎn) 平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)數(shù)據(jù)的一種簡(jiǎn)明描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小. 回歸分析 [多維例析] 角度一 線性回歸分析 (2018陜西質(zhì)檢)基于移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的共享單車被稱為“新四大發(fā)明”之一，短時(shí)間內(nèi)就風(fēng)靡全國(guó)，帶給人們新的出行體驗(yàn)．某共享單車運(yùn)營(yíng)公司的市場(chǎng)研究人員為了解公司的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)該公司2018年6月～11月六個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表： 月份 6月 7月 8月 9月 10月 11月 月份代碼x 1 2 3 4 5 6 市場(chǎng)占有率y(%) 11 13 16 15 20 21 (1)請(qǐng)?jiān)诮o出的坐標(biāo)紙中作出散點(diǎn)圖，并用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明能否用線性回歸模型擬合市場(chǎng)占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系； (2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司2019年3月份的市場(chǎng)占有率． 參考數(shù)據(jù)：(xi－)2＝17.5，(xi－)(yi－)＝35，≈36.5. 參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝； 回歸直線方程為＝x＋， 其中＝，＝－. [解] (1)作出散點(diǎn)圖如下． ∵＝＝16， ∴(yi－)2＝76， ∴r＝＝ ＝≈≈0.96. ∴兩變量之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，故可用線性回歸模型擬合市場(chǎng)占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系． (2)由參考數(shù)據(jù)及(1)知＝＝＝2， ＝＝3.5， ∴＝－＝16－23.5＝9， ∴y關(guān)于x的線性回歸方程為＝2x＋9. 2019年3月的月份代碼為x＝10，∴＝210＋9＝29， ∴估計(jì)該公司2019年3月份的市場(chǎng)占有率為29%. [類題通法] 1．求線性回歸方程的步驟 (1)計(jì)算，； (2)計(jì)算iyi，； (3)計(jì)算＝＝； ＝－； (4)寫出線性回歸方程＝x＋. [注意] 樣本點(diǎn)的中心(，)必在回歸直線上． 2．相關(guān)系數(shù)r (1)當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)； 當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)． (2)r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性． 角度二 非線性回歸分析 某機(jī)構(gòu)為研究某種圖書(shū)每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊(cè))的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)并進(jìn)行了初步處理，得到了下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值． (xi－)2 (xi－)(yi－) (ui－)2 (ui－)(yi－) 15.25 3.63 0.269 2 085.5 －230.3 0.787 7.049 表中ui＝，＝i. (1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：y＝a＋bx與y＝c＋哪一個(gè)模型更適合作為該圖書(shū)每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊(cè))的回歸方程？(只要求給出判斷，不必說(shuō)明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(回歸系數(shù)的結(jié)果精確到0.01)． (3)若該圖書(shū)每?jī)?cè)的定價(jià)為10元，則至少應(yīng)該印刷多少冊(cè)才能使銷售利潤(rùn)不低于78 840元？(假設(shè)能夠全部售出．結(jié)果精確到1) 附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(ω1，ν1)，(ω2，ν2)，…，(ωn，νn)，其回歸直線＝＋ω的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為＝，＝－. [解] (1)由散點(diǎn)圖判斷，y＝c＋更適合作為該圖書(shū)每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊(cè))的回歸方程． (2)令u＝，先建立y關(guān)于u的線性回歸方程， 由于＝＝≈8.957≈8.96， ∴＝－＝3.63－8.9570.269≈1.22， ∴y關(guān)于u的線性回歸方程為＝1.22＋8.96u， ∴y關(guān)于x的回歸方程為＝1.22＋. (3)假設(shè)印刷x千冊(cè)， 依題意得10x－x≥78.840， ∴x≥10， ∴至少印刷10 000冊(cè)才能使銷售利潤(rùn)不低于78 840元． [類題通法] 解決非線性回歸問(wèn)題的關(guān)鍵是適當(dāng)換元，將非線性回歸分析轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問(wèn)題求解． [綜合訓(xùn)練] 1．(2018全國(guó)卷Ⅱ)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖． 為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t. (1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值； (2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由． 解：(1)利用模型①，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為＝－30.4＋13.519＝226.1(億元)． 利用模型②，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為＝99＋17.59＝256.5(億元)． (2)利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠． 理由如下： (ⅰ)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒(méi)有隨機(jī)散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說(shuō)明從2010年開(kāi)始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠． (ⅱ)從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說(shuō)明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠． (以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分) 2．某市春節(jié)期間7家超市的廣告費(fèi)支出xi(萬(wàn)元)和銷售額yi(萬(wàn)元)數(shù)據(jù)如下： 超市 A B C D E F G 廣告費(fèi)支出x 1 2 4 6 11 13 19 銷售額y 19 32 40 44 52 53 54 (1)若用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程； (2)若用二次函數(shù)回歸模型擬合y與x的關(guān)系，可得回歸方程為＝－0.17x2＋5x＋20，經(jīng)計(jì)算二次函數(shù)回歸模型和線性回歸模型的R2分別約為0.92和0.75，請(qǐng)用R2說(shuō)明選擇哪個(gè)回歸模型更合適，并用此模型預(yù)測(cè)A超市廣告費(fèi)支出為3萬(wàn)元時(shí)的銷售額． 參數(shù)數(shù)據(jù)及公式：＝8，＝42，iyi＝2 794， ＝708，＝，＝－. 解：(1)∵＝＝＝1.7， ∴＝－＝42－1.78＝28.4. ∴y關(guān)于x的線性回歸方程是＝1.7x＋28.4. (2)∵0.75<0.92， ∴二次函數(shù)回歸模型更合適． 當(dāng)x＝3萬(wàn)元時(shí)，＝－0.179＋53＋20＝33.47， ∴預(yù)測(cè)A超市銷售額為33.47萬(wàn)元. 獨(dú)立性檢驗(yàn) [由題知法] (2018鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè))2018年10月份鄭州市進(jìn)行了高三學(xué)生的體育學(xué)業(yè)水平測(cè)試，為了考察高中學(xué)生的身體素質(zhì)情況，現(xiàn)抽取了某校1 000名(男生800名，女生200名)學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，根據(jù)性別按分層抽樣的方法抽取100名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)進(jìn)行分析，得到如下統(tǒng)計(jì)表： 男生測(cè)試情況： 抽樣情況 病殘免試 不合格 合格 良好 優(yōu)秀 人數(shù) 5 10 15 47 x 女生測(cè)試情況： 抽樣情況 病殘免試 不合格 合格 良好 優(yōu)秀 人數(shù) 2 3 10 y 2 (1)現(xiàn)從抽取的100名且測(cè)試等級(jí)為“優(yōu)秀”的學(xué)生中隨機(jī)選出2名學(xué)生，求選出的這2名學(xué)生恰好是一男一女的概率； (2)若測(cè)試等級(jí)為“良好”或“優(yōu)秀”的學(xué)生為“體育達(dá)人”，其他等級(jí)(含病殘免試)的學(xué)生為“非體育達(dá)人”，根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.010的前提下認(rèn)為“是否為‘體育達(dá)人’與性別有關(guān)？” 男性 女性 總計(jì) 體育達(dá)人 非體育達(dá)人 總計(jì) 臨界值表： P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. [解] (1)按分層抽樣的方法男生應(yīng)抽取80名，女生應(yīng)抽取20名， ∴x＝80－(5＋10＋15＋47)＝3，y＝20－(2＋3＋10＋2)＝3. 抽取的100名且測(cè)試等級(jí)為“優(yōu)秀”的3名男生分別記為A，B，C,2名女生分別記為a， b. 從5名學(xué)生中任選2名，總的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10個(gè)． 設(shè)“選出的2名學(xué)生恰好是一男一女”為事件M， 則事件M包含的基本事件有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，共6個(gè)， ∴P(A)＝＝. (2)22列聯(lián)表如下： 男生 女生 總計(jì) 體育達(dá)人 50 5 55 非體育達(dá)人 30 15 45 總計(jì) 80 20 100 則K2＝ ＝≈9.091. ∵9.091＞6.635且P(K2≥6.635)＝0.010， ∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.010的前提下認(rèn)為“是否為‘體育達(dá)人’與性別有關(guān)”． [類題通法] 獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)鍵 (1)根據(jù)22列聯(lián)表準(zhǔn)確計(jì)算K2的觀測(cè)值k，若22列聯(lián)表沒(méi)有列出來(lái)，要先列出此表． (2)K2的觀測(cè)值k越大，對(duì)應(yīng)假設(shè)事件H0成立(兩類變量相互獨(dú)立)的概率越小，H0不成立的概率越大． [應(yīng)用通關(guān)] 2018年2月22日上午，山東省委、省政府在濟(jì)南召開(kāi)山東省全面展開(kāi)新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換重大工程動(dòng)員大會(huì)，會(huì)議動(dòng)員各方力量，迅速全面展開(kāi)新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換重大工程．某企業(yè)響應(yīng)號(hào)召，對(duì)現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行改造，為了分析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了200件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在[20,40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品．設(shè)備改造前的樣本的頻率分布直方圖和設(shè)備改造后的樣本的頻數(shù)分布表如下所示． 設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表： 質(zhì)量指標(biāo)值 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45] 頻數(shù) 4 36 96 28 32 4 (1)完成下面的22列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)； 設(shè)備改造前 設(shè)備改造后 總計(jì) 合格品 不合格品 總計(jì) (2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，試從產(chǎn)品合格率的角度對(duì)改造前后設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較； (3)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，設(shè)備改造后，每生產(chǎn)一件合格品企業(yè)可獲利180元，一件不合格品虧損100元，用頻率估計(jì)概率，求生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品企業(yè)大約能獲利多少元？ 附： P(K2≥k0) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 K2＝，n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)根據(jù)題中圖和表得到22列聯(lián)表： 設(shè)備改造前 設(shè)備改造后 總計(jì) 合格品 172 192 364 不合格品 28 8 36 總計(jì) 200 200 400 將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式得 K2＝≈12.210. ∵12.210>6.635， ∴有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)． (2)由22列聯(lián)表可知， 設(shè)備改造后產(chǎn)品的合格率約為＝0.96， 設(shè)備改造前產(chǎn)品的合格率約為＝0.86， 即設(shè)備改造后產(chǎn)品的合格率更高，因此，設(shè)備改造后性能更好． (3)用頻率估計(jì)概率，1 000件產(chǎn)品中大約有960件合格品，40件不合格品，則180960－10040＝168 800， ∴該企業(yè)大約能獲利168 800元． [專題跟蹤檢測(cè)](對(duì)應(yīng)配套卷P200) 1．在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示. 若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為1～35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間[139,151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：選B 由系統(tǒng)抽樣可知，35人分為7組，每組5人，最后一組成績(jī)均大于151，前兩組成績(jī)均小于139，故成績(jī)?cè)趨^(qū)間[139,151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為4. 2．“雙色球”彩票中紅色球的號(hào)碼由編號(hào)為01,02，…，33的33個(gè)個(gè)體組成，一位彩民利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6組數(shù)作為6個(gè)紅色球的編號(hào)，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第6個(gè)紅色球的編號(hào)為( ) 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 A.23 B．09 C．02 D．17 解析：選C 從隨機(jī)數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的6個(gè)紅色球的編號(hào)依次為21,32,09,16,17,02，故選出的第6個(gè)紅色球的編號(hào)為02.故選C. 3．(2018昆明調(diào)研)下圖是1951～2016年我國(guó)年平均氣溫變化圖． 根據(jù)上圖，判斷下列結(jié)論正確的是( ) A．1951年以來(lái)，我國(guó)年平均氣溫逐年增高 B．1951年以來(lái)，我國(guó)年平均氣溫在2016年再創(chuàng)新高 C．2000年以來(lái)，我國(guó)年平均氣溫都高于1981～2010年的平均值 D．2000年以來(lái)，我國(guó)年平均氣溫的平均值高于1981～2010年的平均值 解析：選D 由1951～2016年我國(guó)年平均氣溫變化圖可以看出，年平均氣溫有升高的也有降低的，所以選項(xiàng)A不正確；2016年的年平均氣溫不是最高的，所以選項(xiàng)B不正確；2012年的年平均氣溫低于1981～2010年的平均值，所以選項(xiàng)C不正確；2000年以來(lái)，只有2012年的年平均氣溫低于1981～2010年的平均值，所以2000年以來(lái)，我國(guó)年平均氣溫的平均值高于1981～2010年的平均值，故選項(xiàng)D正確，故選D. 4．(2018惠州模擬)某商場(chǎng)為了了解毛衣的月銷售量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表： 月平均氣溫x/℃ 17 13 8 2 月銷售量y/件 24 33 40 55 由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程＝x＋中的＝－2，氣象部門預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為6 ℃，據(jù)此估計(jì)該商場(chǎng)下個(gè)月毛衣銷售量約為( ) A．46件 B．40件 C．38件 D．58件 解析：選A 由題中數(shù)據(jù)，得＝10，＝38，回歸直線＝x＋過(guò)點(diǎn)(，)，且＝－2，代入得＝58，則回歸方程＝－2x＋58，所以當(dāng)x＝6時(shí)，y＝46，故選A. 5．(2018鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè))我市某高中從高三年級(jí)甲、乙兩個(gè)班中各選出7名學(xué)生參加2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(河南初賽)，他們?nèi)〉玫某煽?jī)(滿分140分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是81，乙班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是86，若正實(shí)數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列且x，G，y成等比數(shù)列，則＋的最小值為( ) A. B．2 C. D．9 解析：選C 由甲班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是81，可知81為甲班7名學(xué)生的成績(jī)按從小到大的順序排列的第4個(gè)數(shù)，故x＝1.由乙班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G，y成等比數(shù)列，可得G2＝xy＝4，由正實(shí)數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以＋＝(a＋b)＝≥(5＋4)＝(當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時(shí)取等號(hào))．故＋的最小值為，選C. 6．某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5,30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根據(jù)頻率分布直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是( ) A．56 B．60 C．120 D．140 解析：選D 由頻率分布直方圖可知，每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為(0.16＋0.08＋0.04)2.5＝0.7，所以每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是2000.7＝140. 7.空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index，簡(jiǎn)稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)，0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；大于300為嚴(yán)重污染．從某地一環(huán)保人士某年的AQI記錄數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取10個(gè)，其莖葉圖記錄如圖所示．根據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)此地該年AQI大于100的天數(shù)約為_(kāi)_________．(該年為365天) 解析：該樣本中AQI大于100的頻數(shù)是4，頻率為，由此估計(jì)該地全年AQI大于100的概率為，估計(jì)此地該年AQI大于100的天數(shù)約為365＝146. 答案：146 8．某學(xué)校高二年級(jí)共有女生300人，現(xiàn)調(diào)查她們每天的課外運(yùn)動(dòng)時(shí)間，發(fā)現(xiàn)她們的課外運(yùn)動(dòng)時(shí)間介于30分鐘到90分鐘，如圖是統(tǒng)計(jì)結(jié)果的頻率分布直方圖，則她們的平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間大約是________分鐘． 解析：由題圖得平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間約為350.1＋450.1＋550.5＋650.2＋750.05＋850.05＝56.5(分鐘)． 答案：56.5 9.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩位射箭運(yùn)動(dòng)員的5次比賽成績(jī)(單位：環(huán))，若兩位運(yùn)動(dòng)員平均成績(jī)相同，則成績(jī)較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為_(kāi)_______． 解析：由題意知＝90， 則＝90， 解得x＝2， 所以s＝[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4， s＝ [(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝2， 所以s>s，所以成績(jī)較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為2. 答案：2 10．某公司為了解廣告投入對(duì)銷售收益的影響，在若干地區(qū)共投入4萬(wàn)元廣告費(fèi)用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)．由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0開(kāi)始計(jì)數(shù)的． (1)根據(jù)頻率分布直方圖，計(jì)算圖中各小矩形的寬度； (2)試估計(jì)該公司投入4萬(wàn)元廣告費(fèi)用之后，對(duì)應(yīng)銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值)； (3)該公司按照類似的研究方法，測(cè)得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表： 廣告投入x/萬(wàn)元 1 2 3 4 5 銷售收益y/萬(wàn)元 2 3 2 7 由表中的數(shù)據(jù)顯示，x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)將(2)的結(jié)果填入空白欄，并求出y關(guān)于x的回歸直線方程． 附：＝，＝－. 解：(1)設(shè)各小矩形的寬度為m，由頻率分布直方圖中各小矩形的面積和為1，可知(0.08＋0.10＋0.14＋0.12＋0.04＋0.02)m＝1， 解得m＝2， 故圖中各小矩形的寬度為2. (2)由(1)知各分組依次是[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，它們的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1,3,5,7,9,11， 各組對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04， 故可估計(jì)銷售收益的平均值為10.16＋30.20＋50.28＋70.24＋90.08＋110.04＝5. (3)由(2)可知空白欄中填5， 由題意可知，＝＝3， ＝＝3.8， iyi＝12＋23＋32＋45＋57＝69， ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， 所以＝＝1.2， ＝3.8－1.23＝0.2， 故所求的回歸直線方程為＝1.2x＋0.2. 11．(2018全國(guó)卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如下莖葉圖： (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由． (2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)m和不超過(guò)m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過(guò)m 不超過(guò)m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：K2＝， 解：(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高． 理由如下： (ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80 min，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5 min，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需平均時(shí)間高于80 min；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需平均時(shí)間低于80 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布．又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分) (2)由莖葉圖知m＝＝80. 列聯(lián)表如下： 超過(guò)m 不超過(guò)m 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 (3)因?yàn)镵2＝＝10>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異． 12．在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的6組數(shù)據(jù)，得到一個(gè)變量y關(guān)于x的回歸方程模型，其對(duì)應(yīng)的數(shù)值如下表： x 2 3 4 5 6 7 y 3.00 2.48 2.08 1.86 1.48 1.10 (1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)r說(shuō)明y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系(當(dāng)|r|>0.75時(shí)，說(shuō)明y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系)； (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸直線方程并預(yù)測(cè)當(dāng)x＝9時(shí)，對(duì)應(yīng)的值為多少(精確到0.01)． 附：回歸直線方程為＝x＋， 其中＝，＝－， 相關(guān)系數(shù)r的公式為r＝. 參考數(shù)據(jù)： iyi＝47.64，＝139，(xi－)(yi－)＝－6.36， ≈4.18, ≈1.53. 解：(1)由題意，得＝(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5， ＝(3.00＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2， 又(xi－)(yi－)＝－6.36, ≈4.18，≈1.53， 所以r＝≈≈－0.99. 因?yàn)閨r|>0.75，所以y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系． (2)因?yàn)椋剑? ≈－0.363≈－0.36， ＝－＝2＋0.3634.5≈3.63， 所以y關(guān)于x的線性回歸方程為＝－0.36x＋3.63. 將x＝9代入回歸方程得＝－0.369＋3.63＝0.39. 13．(2019屆高三廣州調(diào)研)某基地蔬菜大棚采用無(wú)土栽培方式種植各類蔬菜．過(guò)去50周的資料顯示，該地周光照量X(單位：小時(shí))都在30小時(shí)以上，其中不足50小時(shí)的有5周，不低于50小時(shí)且不超過(guò)70小時(shí)的有35周，超過(guò)70小時(shí)的有10周．根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該基地的西紅柿增加量y(千克)與使用某種液體肥料的質(zhì)量x(千克)之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖． (1)依據(jù)折線圖計(jì)算相關(guān)系數(shù)r(精確到0.01)，并據(jù)此判斷是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．(若|r|>0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合) (2)蔬菜大棚對(duì)光照要求較高，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀運(yùn)行臺(tái)數(shù)受周光照量X限制，并有如下關(guān)系： 周光照量X/小時(shí) 30下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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