高中數(shù)學(xué) 2.3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用課件 北師大版選修4-5.ppt

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3 2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的兩個(gè)步驟實(shí)際上是分別證明兩個(gè)不等式 尤其是第二步 一方面需要我們充分利用歸納假設(shè)提供的 便利 另一方面還需要結(jié)合運(yùn)用比較法 綜合法 分析法 反證法和放縮法等其他不等式的證明方法 點(diǎn)撥在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的問(wèn)題中 從 n k 到 n k 1 的過(guò)渡 利用歸納假設(shè)是比較困難的一步 它不像用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問(wèn)題一樣 只需拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)來(lái) 而證明不等式的第二步中 從 n k 到 n k 1 只用拼湊的方法 有時(shí)也行不通 因?yàn)閷?duì)不等式來(lái)說(shuō) 它還涉及 放縮 的問(wèn)題 它可能需通過(guò) 放大 或 縮小 的過(guò)程 才能利用歸納假設(shè) 因此 我們可以利用 比較法 綜合法 分析法 等來(lái)分析從 n k 到 n k 1 的變化 從中找到 放縮尺度 準(zhǔn)確地拼湊出所需要的結(jié)構(gòu) 做一做1用數(shù)學(xué)歸納法證明 2n n2 1對(duì)于n n0的正整數(shù)n都成立 時(shí) 第一步證明中的起始值n0應(yīng)取 A 2B 3C 5D 6解析 取n 1 2 3 4 5 6 7計(jì)算知n0 5 答案 C 2 貝努利不等式對(duì)任何實(shí)數(shù)x 1和任何正整數(shù)n 有 1 x n 1 nx 做一做2設(shè)n N 求證 3n 2n 證明 3n 1 2 n 根據(jù)貝努利不等式 有 1 2 n 1 n 2 1 2n 上式右邊舍去1 得 1 2 n 2n 故3n 2n成立 探究一 探究二 探究三 探究一用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式有關(guān)自然數(shù)的不等式證明問(wèn)題 可以考慮數(shù)學(xué)歸納法 其主要步驟是 1 證明當(dāng)n n0 第一個(gè)自然數(shù) 時(shí)不等式成立 2 假設(shè)不等式當(dāng)n k k n0 時(shí)成立 證明n k 1時(shí)不等式也成立 由 1 2 知對(duì)于n n0的一切正整數(shù) 不等式都成立 注意 使用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 難點(diǎn)往往出現(xiàn)在由n k時(shí)命題成立推出n k 1時(shí)命題也成立 為了完成這步證明 不僅要正確使用歸納假設(shè) 還要靈活利用問(wèn)題中的其他條件以及相關(guān)知識(shí) 過(guò)去講過(guò)的證明不等式的方法在此都可以使用 如比較法 放縮法 分析法 反證法等 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 點(diǎn)評(píng)利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列型不等式的關(guān)鍵是由n k到n k 1的變形 為滿足題目的要求 常常要采用 放 與 縮 等手段 但是放縮要有度 這是一個(gè)難點(diǎn) 解決這類難題一是要仔細(xì)觀察題目的結(jié)構(gòu) 二是要靠經(jīng)驗(yàn)積累 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 12345 12345 12345 12345 12345