高考數(shù)學(xué) 2.11 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用課件.ppt

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第十一節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系 函數(shù)y f x 在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 若f x 0 則f x 在這個區(qū)間內(nèi) 若f x 0 則f x 在這個區(qū)間內(nèi) 若f x 0 則f x 在這個區(qū)間內(nèi)是 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 常數(shù)函數(shù) 2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 函數(shù)的極小值與極小值點(diǎn) 若函數(shù)f x 在點(diǎn)x a處的函數(shù)值f a 比它在點(diǎn)x a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值 且f a 0 而且在x a附近的左側(cè) 右側(cè) 則a點(diǎn)叫做函數(shù)的極小值點(diǎn) f a 叫做函數(shù)的極小值 函數(shù)的極大值與極大值點(diǎn) 若函數(shù)f x 在點(diǎn)x b處的函數(shù)值f b 比它在點(diǎn)x b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值 且f b 0 而且在x b附近的左側(cè) 右側(cè) 則b點(diǎn)叫做函數(shù)的極大值點(diǎn) f b 叫做函數(shù)的極大值 都小 f x 0 f x 0 都大 f x 0 f x 0 3 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) 函數(shù)f x 在 a b 上有最值的條件 如果在區(qū)間 a b 上函數(shù)y f x 的圖象是一條 的曲線 那么它必有最大值和最小值 求y f x 在 a b 上的最大 小 值的步驟 求函數(shù)y f x 在 a b 內(nèi)的 將函數(shù)y f x 的各極值與 比較 其中 的一個是最大值 的一個是最小值 連續(xù)不斷 極值 端點(diǎn)處的函數(shù)值f a f b 最大 最小 2 必備結(jié)論教材提煉記一記 1 可導(dǎo)函數(shù)f x 在 a b 上是增函數(shù) 則有 在 a b 上恒成立 2 可導(dǎo)函數(shù)f x 在 a b 上是減函數(shù) 則有 在 a b 上恒成立 f x 0 f x 0 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性的方法 利用導(dǎo)數(shù)求極值 最值的方法 2 數(shù)學(xué)思想 分類討論 數(shù)形結(jié)合 3 記憶口訣 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用比較廣 單調(diào)極值及最值 導(dǎo)數(shù)恒正單調(diào)增 導(dǎo)數(shù)恒負(fù)當(dāng)然減 求出導(dǎo)數(shù)為零點(diǎn) 左增右減極大值 左減右增是極小 同增同減非極值 若是加上端點(diǎn)值 最大最小皆曉得 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 若函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上單調(diào)遞增 那么在區(qū)間 a b 上一定有f x 0 2 如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f x 0 則函數(shù)f x 在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性 3 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn) 4 三次函數(shù)在R上必有極大值和極小值 解析 1 錯誤 函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上單調(diào)遞增 則f x 0 故f x 0是f x 在區(qū)間 a b 上單調(diào)遞增的充分不必要條件 2 正確 如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f x 0 則f x 為常數(shù)函數(shù) 如f x 3 則f x 0 函數(shù)f x 不存在單調(diào)性 3 正確 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn) 如函數(shù)y x3在x 0處導(dǎo)數(shù)為零 但x 0不是函數(shù)y x3的極值點(diǎn) 4 錯誤 對于三次函數(shù)y ax3 bx2 cx d y 3ax2 2bx c 當(dāng) 2b 2 12ac 0 即b2 3ac 0時 y 0無實數(shù)根 此時三次函數(shù)沒有極值 答案 1 2 3 4 2 教材改編鏈接教材練一練 1 選修2 2P26T1 2 改編 函數(shù)f x ex 2x的單調(diào)遞增區(qū)間是 解析 f x ex 2 令f x 0 解得x ln2 則函數(shù)f x ex 2x的單調(diào)遞增區(qū)間為 ln2 答案 ln2 2 選修2 2P29T2 2 改編 函數(shù)f x x3 12x的極大值是 解析 由題意得f x 3x2 12 令f x 0 解得x 2或x 2 當(dāng)x 2 時 f x 0 f x 單調(diào)遞增 當(dāng)x 2 2 時 f x 0 f x 單調(diào)遞增 因此f x 的極大值為f 2 16 答案 16 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 新課標(biāo)全國卷 若函數(shù)f x kx lnx在區(qū)間 1 上單調(diào)遞增 則k的取值范圍是 A 2 B 1 C 2 D 1 解析 選D 因為f x 在 1 上遞增 所以f x 0恒成立 因為f x kx lnx 所以f x k 0 即k 因為x 1 所以 1 所以k 1 所以k 1 選D 2 2013 浙江高考 已知函數(shù)y f x 的圖象是下列四個圖象之一 且其導(dǎo)函數(shù)y f x 的圖象如圖所示 則該函數(shù)的圖象是 解析 選B 因為f x 0 x 1 1 所以f x 在 1 1 為增函數(shù) 又x 1 0 時 f x 為增函數(shù) x 0 1 時 f x 為減函數(shù) 所以選B 3 2013 浙江高考 已知e為自然對數(shù)的底數(shù) 設(shè)函數(shù)f x ex 1 x 1 k k 1 2 則 A 當(dāng)k 1時 f x 在x 1處取到極小值B 當(dāng)k 1時 f x 在x 1處取到極大值C 當(dāng)k 2時 f x 在x 1處取到極小值D 當(dāng)k 2時 f x 在x 1處取到極大值 解題提示 當(dāng)k 1 2時 分別驗證f 1 0是否成立 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn) 解析 選C 當(dāng)k 1時 f x ex x 1 ex 1 此時f 1 0 故排除A B 當(dāng)k 2時 f x ex x 1 2 ex 1 2x 2 此時f 1 0 在x 1附近左側(cè) f x 0 所以x 1是f x 的極小值點(diǎn) 考點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 典例1 1 2015 太原模擬 設(shè)f x 是定義在R上的奇函數(shù) 且f 2 0 當(dāng)x 0時 有0的解集是 A 2 0 2 B 2 0 0 2 C 2 2 D 2 0 2 2 2014 湖南高考改編 已知常數(shù)a 0 函數(shù)f x ln 1 ax 討論f x 在區(qū)間 0 上的單調(diào)性 解題提示 1 先判斷函數(shù)的單調(diào)性 奇偶性 求出 0的解集 再根據(jù)x2f x x3 的奇偶性 寫出解集 2 先求f x 分a 1與0 a 1兩種情況求解 規(guī)范解答 1 選D 當(dāng)x 0時 0 即 0 令y 則函數(shù)y 在區(qū)間 0 上為減函數(shù) 又f x 在定義域上是奇函數(shù) 所以函數(shù)y 在定義域上是偶函數(shù) 且 0 則 0在區(qū)間 0 上的解集是 0 2 函數(shù)x2f x x3 是定義域上的奇函數(shù) 則x2f x 0的解集是 2 0 2 故選D 2 f x 當(dāng)a 1時 f x 0 x 0 此時f x 在區(qū)間 0 上單調(diào)遞增 當(dāng)00 故f x 在區(qū)間 0 x1 上單調(diào)遞減 在區(qū)間 x1 上單調(diào)遞增 綜上所述 當(dāng)a 1時 f x 在區(qū)間 0 上單調(diào)遞增 當(dāng)0 a 1時 f x 在區(qū)間 0 上單調(diào)遞減 在區(qū)間 上單調(diào)遞增 互動探究 若本例題 2 中條件改為a R f x alnx 討論f x 的單調(diào)性 解析 f x x 0 當(dāng)a 0時 f x 恒大于0 f x 在定義域上單調(diào)遞增 當(dāng)a 0時 f x f x 在定義域上單調(diào)遞增 當(dāng)a0 x1 2對稱軸方程為 且x1 x2 1 0 所以f x 在 0 上單調(diào)遞減 上單調(diào)遞增 上單調(diào)遞減 綜上所述 a 0時 f x 在定義域上單調(diào)遞增 a 時 f x 在定義域上單調(diào)遞減 a 0時 f x 在 0 上單調(diào)遞減 上單調(diào)遞增 上單調(diào)遞減 規(guī)律方法 1 用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的 三個方法 1 當(dāng)不等式f x 0或f x 0或f x 0求出單調(diào)區(qū)間 2 當(dāng)方程f x 0可解時 確定函數(shù)的定義域 解方程f x 0 求出實數(shù)根 把函數(shù)f x 的間斷點(diǎn) 即f x 的無定義點(diǎn) 的橫坐標(biāo)和實根按從小到大的順序排列起來 把定義域分成若干個小區(qū)間 確定f x 在各個區(qū)間內(nèi)的符號 從而確定單調(diào)區(qū)間 3 不等式f x 0或f x 0及方程f x 0均不可解時求導(dǎo)數(shù)并化簡 根據(jù)f x 的結(jié)構(gòu)特征 選擇相應(yīng)基本初等函數(shù) 利用其圖象與性質(zhì)確定f x 的符號 得單調(diào)區(qū)間 2 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路 1 利用集合間的包含關(guān)系處理 y f x 在 a b 上單調(diào) 則區(qū)間 a b 是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集 2 轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題 即 若函數(shù)單調(diào)遞增 則f x 0 若函數(shù)單調(diào)遞減 則f x 0 來求解 提醒 f x 為增函數(shù)的充要條件是對任意的x a b 都有f x 0 且在 a b 內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f x 不恒為0 應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略 否則漏解 變式訓(xùn)練 2014 江西高考改編 若函數(shù)f x x2 bx b b R 在區(qū)間 0 上單調(diào)遞增 則b的取值范圍為 解析 選A 因為f x f x 在區(qū)間 0 上單調(diào)遞增 所以f x 0對任意的x 0 恒成立 即5x2 3b 2 x 0對任意的x 0 恒成立 即5x 3b 2 0對任意的x 0 恒成立 即b 對任意的x 0 恒成立 令g x x 0 則g x g 所以b 加固訓(xùn)練 1 在區(qū)間 1 1 內(nèi)不是增函數(shù)的是 A y ex xB y sinxC y x3 6x2 9x 2D y x2 x 1 解析 選D A選項中y ex 1 x R時都有y 0 所以y ex x在R上為單調(diào)遞增函數(shù) 所以在 1 1 上是增函數(shù) B選項中 1 1 而y sinx在 上為增函數(shù) 所以y sinx在 1 1 上是增函數(shù) C選項y 3x2 12x 9 令y 3x2 12x 9 0得x 3或x0 得x 所以有y x2 x 1在 上為增函數(shù) 所以本題選D 2 2014 廣東高考 已知函數(shù)f x x3 x2 ax 1 a R 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 解析 因為f x x2 2x a 二次方程x2 2x a 0的判別式 4 4a 當(dāng)a 1時 0 f x 0 此時 是函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間 當(dāng)a0 f x 0有兩個實數(shù)根x 1 和x 1 此時 1 1 是函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間 1 1 是函數(shù)f x 的單調(diào)遞減區(qū)間 綜上 當(dāng)a 1時 函數(shù)f x 只有單調(diào)遞增區(qū)間 當(dāng)a 1時 函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 1 1 單調(diào)遞減區(qū)間是 1 1 3 2015 哈爾濱模擬 已知定義在R上的函數(shù)f x 2x3 bx2 cx b c R 函數(shù)F x f x 3x2是奇函數(shù) 函數(shù)f x 滿足f 1 0 1 求f x 的解析式 2 討論f x 在區(qū)間 3 3 上的單調(diào)性 解析 1 f x 6x2 2bx c F x f x 3x2是奇函數(shù) 得b 3 f 1 6 2b c 0 得c 12 所以f x 2x3 3x2 12x 2 令f x 6x2 6x 12 0 得x 2或 1 所以單調(diào)遞增區(qū)間為 1 2 單調(diào)遞減區(qū)間為 3 1 2 3 考點(diǎn)2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 最值 知 考情利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 最值是高考考查熱點(diǎn) 幾乎每年都會考查 有時會和函數(shù)的單調(diào)性 不等式 導(dǎo)數(shù)的幾何意義等相結(jié)合命題 常常作為高考的壓軸題出現(xiàn) 難度為中 高檔 明 角度命題角度1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 典例2 2014 天津高考改編 已知函數(shù)f x x2 ax3 a 0 x R 則f x 的極大值為 解題提示 根據(jù)求極值的步驟直接求解即可 規(guī)范解答 由已知 有f x 2x 2ax2 a 0 令f x 0 解得x 0或x 當(dāng)x變化時 f x f x 的變化情況如下表 可知 當(dāng)x 時 f x 有極大值 且極大值為f 答案 命題角度2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值 典例3 2014 江西高考 已知函數(shù)f x 4x2 4ax a2 其中a 0 1 當(dāng)a 4時 求f x 的單調(diào)遞增區(qū)間 2 若f x 在區(qū)間 1 4 上的最小值為8 求a的值 解題提示 1 求導(dǎo)整理后 令導(dǎo)數(shù)大于零即可 2 求導(dǎo)整理后 注意討論臨界點(diǎn)與區(qū)間的位置關(guān)系 規(guī)范解答 1 f x 4x2 16x 16 定義域為 0 f x 令f x 0得0 x2 所以f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 0 2 2 f x 令f x 0得x 或x f x 在定義域上的單調(diào)性為 0 上單調(diào)遞增 上單調(diào)遞減 上單調(diào)遞增 從而需要討論 與1及4的大小 當(dāng) 4或 1 即a 40或 2 a 0時 f x 在 1 4 上單調(diào)遞增 故f x 的最小值為f 1 4 4a a2 8 解得a 2 2 均需舍去 當(dāng) 1且 4 即 10 a 8時 f x 在 1 4 上單調(diào)遞減 故f x 的最小值為f 4 2 64 16a a2 8 解得a 10或a 6 舍去 當(dāng)1 4 即 8 a 2時 f x 的最小值為f 因為f 0 所以不成立 當(dāng)1 4 即 40 a 10時 f x 在 1 上單調(diào)遞增 在 4 上單調(diào)遞減 f x 的最小值為f 1 與f 4 中的一個 根據(jù)上面的 得均不成立 綜上所述a 10 易錯警示 解答本題有三點(diǎn)容易出錯 1 在定義域上 對于f x 的單調(diào)遞增區(qū)間 0 中間容易用 符號連接 2 求最值時容易忽略對與區(qū)間 1 4 的討論 3 在每一步討論中 求得a值后 容易忽略對所求a值的驗證 悟 技法求函數(shù)f x 極值的方法 1 確定函數(shù)f x 的定義域 2 求導(dǎo)函數(shù)f x 3 求方程f x 0的根 4 檢查f x 在方程的根的左右兩側(cè)的符號 確定極值點(diǎn) 如果左正右負(fù) 那么f x 在這個根處取得極大值 如果左負(fù)右正 那么f x 在這個根處取得極小值 如果f x 在這個根的左右兩側(cè)符號不變 則f x 在這個根處沒有極值 通 一類1 2015 信陽模擬 已知a b為正實數(shù) 函數(shù)f x ax3 bx 2x在 0 1 上的最大值為4 則f x 在 1 0 上的最小值為 解析 選A 因為a b為正實數(shù) 函數(shù)f x ax3 bx 2x 所以導(dǎo)函數(shù)f x 3ax2 b 2xln2 因為a b為正實數(shù) 所以當(dāng)0 x 1時 3ax2 0 2xln2 0 所以f x 0 即f x 在 0 1 上是增函數(shù) 所以f 1 最大且為a b 2 4 a b 2 又當(dāng) 1 x 0時 3ax2 0 2xln2 0 所以f x 0 即f x 在 1 0 上是增函數(shù) 所以f 1 最小且為 a b 將 代入 得f 1 2 故選A 2 2015 東北師大附中模擬 函數(shù)f x x3 3x m恰好有兩個零點(diǎn) 則m的值為 解析 因為f x x3 3x m 所以f x 3x2 3 由f x 0 得x 1或x 1 此時函數(shù)單調(diào)遞增 由f x 0 得 1 x 1 此時函數(shù)單調(diào)遞減 即當(dāng)x 1時 函數(shù)f x 取得極大值 當(dāng)x 1時 函數(shù)f x 取得極小值 要使函數(shù)f x x3 3x m只有兩個零點(diǎn) 則滿足極大值等于0或極小值等于0 由極大值f 1 1 3 m m 2 0 解得m 2 再由極小值f 1 1 3 m m 2 0 解得m 2 綜上 實數(shù)m的值為 2或2 答案 2或2 3 2014 貴陽模擬 已知函數(shù)f x x3 3ax2 2bx在x 1處有極小值 1 1 試求a b的值并求出f x 的單調(diào)區(qū)間 2 求在區(qū)間 2 2 上的最大值與最小值 解析 1 因為f x x3 3ax2 2bx 所以f x 3x2 6ax 2b 由已知得f 1 0 則3 6a 2b 0 因為當(dāng)x 1時有極小值 1 所以f 1 1 3a 2b 1 由 得a b 把a(bǔ) b 代入f x 中 得f x x3 x2 x 所以f x 3x2 2x 1 令f x 0 則f x 3x 1 x 1 0 若f x 0 即在 1 上 函數(shù)f x 單調(diào)遞增 若f x 0 即在 1 上 函數(shù)f x 單調(diào)遞減 2 由 1 知f x x3 x2 x f x 3x2 2x 1 令f x 0 則f x 3x 1 x 1 0 解得x 或x 1 因為f 2 10 f f 1 1 f 2 2 所以f x 在區(qū)間 2 2 上的最大值為2 最小值為 10 加固訓(xùn)練 已知函數(shù)f x x alnx a R 1 當(dāng)a 2時 求曲線y f x 在點(diǎn)A 1 f 1 處的切線方程 2 求函數(shù)f x 的極值 解析 函數(shù)f x 的定義域為 0 f x 1 1 當(dāng)a 2時 f x x 2lnx f x 1 x 0 因而f 1 1 f 1 1 所以曲線y f x 在點(diǎn)A 1 f 1 處的切線方程為y 1 x 1 即x y 2 0 2 由f x x 0知 當(dāng)a 0時 f x 0 函數(shù)f x 為 0 上的增函數(shù) 函數(shù)f x 無極值 當(dāng)a 0時 由f x 0 解得x a 又當(dāng)x 0 a 時 f x 0 從而函數(shù)f x 在x a處取得極小值 且極小值為f a a alna 無極大值 綜上 當(dāng)a 0時 函數(shù)f x 無極值 當(dāng)a 0時 函數(shù)f x 在x a處取得極小值a alna 無極大值 規(guī)范解答2導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 典例 12分 2013 山東高考 設(shè)函數(shù)f x 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間 最大值 2 討論關(guān)于x的方程 lnx f x 根的個數(shù) 解題導(dǎo)思研讀信息快速破題 規(guī)范解答閱卷標(biāo)準(zhǔn)體會規(guī)范 1 因為f x c 所以f x 1 2x e 2x 1分令 1 2x e 2x 0 解得x 當(dāng)x0 f x 為單調(diào)增函數(shù) 當(dāng)x 時 f x 0 f x 為單調(diào)減函數(shù) 2分 所以f x 的單調(diào)增區(qū)間為 單調(diào)減區(qū)間為 3分最大值為f e 1 c 4分 2 令g x lnx f x lnx xe 2x c x 0 5分 當(dāng)x 1 時 lnx 0 則g x lnx xe 2x c 所以g x e 2x 2x 1 因為x 1 所以2x 1 0 0 于是g x 0 因此g x 在 1 上為單調(diào)遞增函數(shù) 6分 當(dāng)x 0 1 時 lnx1 x 0 于是 1 又因為2x 1 1 所以 2x 1 0 即g x 0 因此g x 在 0 1 上為單調(diào)遞減函數(shù) 綜合 可知 當(dāng)x 0 時 g x g 1 e 2 c 8分當(dāng)g 1 e 2 c 0 即c e 2時 a 當(dāng)x 1 時 由 1 知g x lnx xe 2x c lnx e 1 c lnx 1 c 要使g x 0 只需要lnx 1 c 0 即x e1 c 10分 b 當(dāng)x 0 1 時 由 1 知g x lnx xe 2x c lnx e 1 c lnx 1 c 要使g x 0 只需要 lnx 1 c 0 即x 0 e 1 c 所以c e 2時 g x 有兩個零點(diǎn) 故關(guān)于x的方程 lnx f x 根的個數(shù)是2 11分綜上所述 當(dāng)c e 2時 方程 lnx f x 根的個數(shù)為2 12分 高考狀元滿分心得把握規(guī)則爭取滿分1 注意答題的規(guī)范性在解題過程中 注意答題要求 嚴(yán)格按照題目及相關(guān)知識的要求答題 如本例中的求單調(diào)區(qū)間 要寫成區(qū)間的形式 另外還要注意 1 如果一個函數(shù)有多個單調(diào)區(qū)間 區(qū)間之間不能用 連接 可用 和 連接 2 注意 方程的根 與 函數(shù)的零點(diǎn) 求解時應(yīng)還原為題目要求 2 關(guān)鍵步驟要全面閱卷時 主要看關(guān)鍵步驟 關(guān)鍵點(diǎn) 有關(guān)鍵步驟 關(guān)鍵點(diǎn)則得分 沒有要相應(yīng)扣分 所以解題時要寫全關(guān)鍵步驟 踩點(diǎn)得分 對于純計算過程等非得分點(diǎn)的步驟可簡寫或不寫 如本題第 2 問對g x 求導(dǎo)數(shù)的計算過程 可以省略