高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 概率 11.3 幾何概型課件 文.ppt

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11 3幾何概型 第十一章概率 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 易錯警示系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 1 幾何概型的概念設(shè)D是一個可度量的區(qū)域 例如 等 每個基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機地取一點 區(qū)域D內(nèi)的每一點被取到的機會 隨機事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的 這時 事件A發(fā)生的概率與d的測度 等 成正比 與d的形狀和位置無關(guān) 我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型 線段 平面圖形 立體圖形 都一樣 某個指 定區(qū)域d中的點 長度 面積 體積 知識梳理 1 答案 2 幾何概型的概率計算公式一般地 在幾何區(qū)域D中隨機地取一點 記事件 該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi) 為事件A 則事件A發(fā)生的概率P A 3 要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點 1 無限性 在一次試驗中 可能出現(xiàn)的結(jié)果有 2 等可能性 每個結(jié)果的發(fā)生具有 無限多個 等可能性 答案 4 隨機模擬方法 1 使用計算機或者其他方式進行的模擬試驗 以便通過這個試驗求出隨機事件的概率的近似值的方法就是模擬方法 2 用計算機或計算器模擬試驗的方法為隨機模擬方法 這個方法的基本步驟是 用計算器或計算機產(chǎn)生某個范圍內(nèi)的隨機數(shù) 并賦予每個隨機數(shù)一定的意義 統(tǒng)計代表某意義的隨機數(shù)的個數(shù)M和總的隨機數(shù)個數(shù)N 計算頻率fn A 作為所求概率的近似值 判斷下面結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率是零 2 幾何概型中 每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點 該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等 3 在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段 平面圖形 立體圖形 4 隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率 5 與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān) 6 從區(qū)間 1 10 內(nèi)任取一個數(shù) 取到1的概率是P 思考辨析 答案 1 教材改編 在線段 0 3 上任投一點 則此點坐標小于1的概率為 解析坐標小于1的區(qū)間為 0 1 長度為1 0 3 區(qū)間長度為3 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 2015 山東改編 在區(qū)間 0 2 上隨機地取一個數(shù)x 則事件 1 1 發(fā)生的概率為 由幾何概型的概率計算公式得所求概率 解析答案 1 2 3 4 5 3 2014 遼寧改編 若將一個質(zhì)點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中 其中AB 2 BC 1 則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是 解析設(shè)質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A 解析答案 1 2 3 4 5 4 2014 福建 如圖 在邊長為1的正方形中隨機撒1000粒豆子 有180粒落到陰影部分 據(jù)此估計陰影部分的面積為 解析由題意知 這是個幾何概型問題 S正 1 S陰 0 18 0 18 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改編 如圖 圓中有一內(nèi)接等腰三角形 假設(shè)你在圖中隨機撒一把黃豆 則它落在陰影部分的概率為 解析設(shè)圓的半徑為R 由題意知圓內(nèi)接三角形為等腰直角三角形 1 2 3 4 5 解析答案 返回 題型分類深度剖析 例1 1 2015 重慶 在區(qū)間 0 5 上隨機地選擇一個數(shù)p 則方程x2 2px 3p 2 0有兩個負根的概率為 解析方程x2 2px 3p 2 0有兩個負根 題型一與長度 角度有關(guān)的幾何概型 解析答案 解析答案 3 如圖所示 在 ABC中 B 60 C 45 高AD 在 BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M 求BM 1的概率 解因為 B 60 C 45 所以 BAC 75 記事件N為 在 BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M 使BM 1 則可得 BAM BAD時事件N發(fā)生 解析答案 引申探究 解析答案 2 若本例 3 中 在 BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M 改為 在線段BC上找一點M 求BM 1的概率 解析答案 思維升華 求解與長度 角度有關(guān)的幾何概型的方法求與長度 角度 有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度 角度 然后求解 要特別注意 長度型 與 角度型 的不同 解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域 長度或角度 思維升華 1 如圖 在直角坐標系內(nèi) 射線OT落在30 角的終邊上 任作一條射線OA 則射線OA落在 yOT內(nèi)的概率為 解析如題圖 因為射線OA在坐標系內(nèi)是等可能分布的 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 解析由題意得A x 1 x 5 B x 2 x 3 故A B x 2 x 3 由幾何概型知 在集合A中任取一個元素x 解析答案 命題點1與平面圖形面積有關(guān)的問題 題型二與面積有關(guān)的幾何概型 解析答案 解析由圖形知C 1 2 D 2 2 命題點2與線性規(guī)劃知識交匯命題的問題 例3 2014 重慶 某校早上8 00開始上課 假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7 30 7 50之間到校 且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的 則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為 解析答案 思維升華 解析設(shè)小張與小王的到校時間分別為7 00后第x分鐘 第y分鐘 根據(jù)題意可畫出圖形 如圖所示 則總事件所占的面積為 50 30 2 400 小張比小王至少早5分鐘到校表示的事件A x y y x 5 30 x 50 30 y 50 思維升華 求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點求解與面積有關(guān)的幾何概型時 關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積 必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量 把變量看成點的坐標 找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形 以便求解 思維升華 1 在區(qū)間 內(nèi)隨機取出兩個數(shù)分別記為a b 則函數(shù)f x x2 2ax b2 2有零點的概率為 解析由函數(shù)f x x2 2ax b2 2有零點 可得 2a 2 4 b2 2 0 整理得a2 b2 2 如圖所示 a b 可看成坐標平面上的點 試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為 a b a b 其面積S 2 2 4 2 事件A表示函數(shù)f x 有零點 所構(gòu)成的區(qū)域為M a b a2 b2 2 即圖中陰影部分 其面積為SM 4 2 3 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 解析答案 解析如圖 平面區(qū)域 1就是三角形區(qū)域OAB 平面區(qū)域 2與平面區(qū)域 1的重疊部分就是區(qū)域OACD 故由幾何概型的概率公式 例4在棱長為2的正方體ABCD A1B1C1D1中 點O為底面ABCD的中心 在正方體ABCD A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P 則點P到點O的距離大于1的概率為 題型三與體積有關(guān)的幾何概型 解析答案 思維升華 求解與體積有關(guān)問題的注意點對于與體積有關(guān)的幾何概型問題 關(guān)鍵是計算問題的總體積 總空間 以及事件的體積 事件空間 對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求 思維升華 如圖 在長方體ABCD A1B1C1D1中 有一動點在此長方體內(nèi)隨機運動 則此動點在三棱錐A A1BD內(nèi)的概率為 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 返回 易錯警示系列 典例 14分 在長度為1的線段上任取兩點 將線段分成三段 試求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率 易錯分析不能正確理解題意 無法找出準確的幾何度量來計算概率 易錯警示系列 12 混淆長度型與面積型幾何概型致誤 溫馨提醒 解析答案 返回 易錯分析 規(guī)范解答解設(shè)x y表示三段長度中的任意兩個 因為是長度 所以應(yīng)有0 x 1 0 y 1 0 x y 1 即 x y 對應(yīng)著坐標系中以 0 1 1 0 和 0 0 為頂點的三角形內(nèi)的點 如圖所示 6分 要形成三角形 由構(gòu)成三角形的條件知 故圖中陰影部分符合構(gòu)成三角形的條件 10分 溫馨提醒 解析答案 溫馨提醒 解決幾何概型問題的易誤點 1 不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型 導(dǎo)致錯誤 2 利用幾何概型的概率公式時 忽視驗證事件是否具有等可能性 導(dǎo)致錯誤 返回 溫馨提醒 思想方法感悟提高 1 區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個數(shù)是有限個還是無限個 2 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用對一個具體問題 可以將其幾何化 如建立坐標系將試驗結(jié)果和點對應(yīng) 然后利用幾何概型概率公式 1 一般地 一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型 只需把這個變量放在坐標軸上即可 方法與技巧 2 若一個隨機事件需要用兩個變量來描述 則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件 然后利用平面直角坐標系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型 3 若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述 則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件 利用空間直角坐標系建立與體積有關(guān)的幾何概型 方法與技巧 1 準確把握幾何概型的 測度 是解題關(guān)鍵 2 幾何概型中 線段的端點 圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2014 湖南改編 在區(qū)間 2 3 上隨機選取一個數(shù)X 則X 1的概率為 解析在區(qū)間 2 3 上隨機選取一個數(shù)X 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 已知 ABC中 ABC 60 AB 2 BC 6 在BC上任取一點D 則使 ABD為鈍角三角形的概率為 解析如圖 當BE 1時 AEB為直角 則點D在線段BE 不包含B E點 上時 ABD為鈍角三角形 當BF 4時 BAF為直角 則點D在線段CF 不包含C F點 上時 ABD為鈍角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析如圖所示 正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D 且區(qū)域D的面積為4 而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標原點的距離大于2的區(qū)域 易知該陰影部分的面積為4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 已知一只螞蟻在邊長分別為5 12 13的三角形的邊上隨機爬行 則其恰在離三個頂點的距離都大于1的地方的概率為 解析由題意可知 三角形的三條邊長的和為5 12 13 30 而螞蟻要在離三個頂點的距離都大于1的地方爬行 則它爬行的區(qū)域長度為3 10 11 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 6 有一個底面圓的半徑為1 高為2的圓柱 點O為這個圓柱底面圓的圓心 在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P 則點P到點O的距離大于1的概率為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 如圖 由題意知 在矩形ABCD內(nèi)任取一點Q m n 點Q落在陰影部分的概率即為所求的概率 易知直線m n恰好將矩形平分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析半圓域如圖所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 9 隨機向邊長為5 5 6的三角形中投一點P 則點P到三個頂點的距離都不小于1的概率是 解析由題意作圖 如圖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 已知向量a 2 1 b x y 1 若x y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子 六個面的點數(shù)分別為1 2 3 4 5 6 先后拋擲兩次時第一次 第二次出現(xiàn)的點數(shù) 求滿足a b 1的概率 解將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次 所包含的基本事件總數(shù)為6 6 36 個 由a b 1有 2x y 1 所以滿足a b 1的基本事件為 1 1 2 3 3 5 共3個 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 若x y在連續(xù)區(qū)間 1 6 上取值 求滿足a b 0的概率 解若x y在連續(xù)區(qū)間 1 6 上取值 則全部基本事件的結(jié)果為 x y 1 x 6 1 y 6 滿足a b 0的基本事件的結(jié)果為A x y 1 x 6 1 y 6且 2x y 0 畫出圖形如圖 矩形的面積為S矩形 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 11 一個長方體空屋子 長 寬 高分別為5米 4米 3米 地面三個角上各裝有一個捕蠅器 大小忽略不計 可捕捉距其一米空間內(nèi)的蒼蠅 若一只蒼蠅從位于另外一角處的門口飛入 并在房間內(nèi)盤旋 則蒼蠅被捕捉的概率是 解析屋子的體積為5 4 3 60立方米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 的可行域如圖所示 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 若 ABC的面積小于或等于5 所以點B的橫坐標x 3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以 ABC的面積小于或等于5的概率為 14 已知集合A 2 2 B 1 1 設(shè)M x y x A y B 在集合M內(nèi)隨機取出一個元素 x y 1 求以 x y 為坐標的點落在圓x2 y2 1內(nèi)的概率 解集合M內(nèi)的點形成的區(qū)域面積S 8 因圓x2 y2 1的面積S1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 形成的區(qū)域如圖中陰影部分 陰影部分面積S2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 15 甲 乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭 它們在一晝夜內(nèi)到達該碼頭的時刻是等可能的 如果甲船停泊時間為1h 乙船停泊時間為2h 求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 解設(shè)甲 乙兩艘船到達碼頭的時刻分別為x與y 記事件A為 兩船都不需要等待碼頭空出 則0 x 24 0 y 24 要使兩船都不需要等待碼頭空出 當且僅當甲比乙早到達1h以上或乙比甲早到達2h以上 即y x 1或x y 2 故所求事件構(gòu)成集合A x y y x 1或x y 2 x 0 24 y 0 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 A為圖中陰影部分 全部結(jié)果構(gòu)成集合 為邊長是24的正方形及其內(nèi)部 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回