高考數(shù)學一輪總復習 第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第10講 函數(shù)與方程課件 文.ppt

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第10講函數(shù)與方程 求方程解的個數(shù) 1 函數(shù)的零點 1 方程f x 0有實根 函數(shù)y f x 的圖象與x軸有 函數(shù)y f x 有零點 交點 2 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的 且有f a f b 0 那么函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上有零點 一 般把這一結論稱為零點存在性定理 2 二分法 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 m n 上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線 且f m f n 0 通過不斷地把函數(shù)y f x 的零點所在的區(qū)間一分為二 使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點 進而得到零點近似值的方法叫做二分法 1 如圖2 10 1所示的是函數(shù)f x 的圖象 它與x軸有4個不同的公共點 給出下列四個區(qū)間 不能用二分法求出函數(shù)f x 零點的區(qū)間是 圖2 10 1 A 2 1 1 C 4 1 5 B 1 9 2 3 D 5 6 1 B 2 利用計算器 列出自變量和函數(shù)值的對應值如下表 C 那么方程2x x2的一個根位于下列區(qū)間中的 A 0 6 1 0 B 1 4 1 8 C 1 8 2 2 D 2 6 3 0 解析 由f 0 6 1 516 0 36 0 f 1 0 2 0 1 0 0 排除A 由f 1 4 2 639 1 96 0 f 1 8 3 482 3 24 0 排除B 由f 1 8 3 482 3 24 0 f 2 2 4 595 4 84 0 可確定方程2x x2的一個根位于區(qū)間 1 8 2 2 上 C 3 方程2x x 4 0的解所在的區(qū)間為 A 1 0 B 0 1 C 1 2 D 2 3 解析 令f x 2x x 4 f 1 f 2 2 0 f x 在 1 2 內有零點 即方程2x x 4 0的解所在區(qū)間為 1 2 包含f x 的零點的區(qū)間是 A 0 1 C 2 4 B 1 2 D 4 C 考點1 函數(shù)零點的判定 例1 1 若a b c 則函數(shù)f x x a x b x b x c x c x a 的兩個零點分別位于區(qū)間 A a b 和 b c 內C b c 和 c 內 B a 和 a b 內D a 和 c 內 解析 f a a b a c 0 f b b c b a 0 f c c b c a 0 f a f b 0 f b f c 0 所以兩個零點分別位于區(qū)間 a b 和 b c 內 答案 A 圖D9 答案 2 3 2015年天津 已知函數(shù)f x 2 x x 2 x 2 2 x 2 函數(shù)g x 3 f 2 x 則函數(shù)y f x g x 的零點的個數(shù)為 A 2 B 3 C 4 D 5 答案 A 規(guī)律方法 判斷函數(shù)y f x 在某個區(qū)間上是否存在零點 常用以下三種方法 當對應方程易解時 可通過解方程 看方程是否有根落在給定區(qū)間上 如第 3 題 利用函數(shù)零點的存在性定理進行判斷 如第 1 題 通過函數(shù)圖象 觀察圖象給定區(qū)間上的交點來判斷 如第 2 題 考點2根據(jù)函數(shù)零點的存在情況 求參數(shù)的值 實數(shù)a的取值范圍是 A 1 3 B 1 2 C 0 3 D 0 2 答案 C 2 2015年湖南 若函數(shù)f x 2x 2 b有兩個零點 則實 數(shù)b的取值范圍是 解析 由函數(shù)f x 2x 2 b有兩個零點 可得 2x 2 b有兩個不等的根 從而可得函數(shù)y 2x 2 與函數(shù)y b的圖象有兩個交點 結合函數(shù)的圖象可得 0 b 2 故答案為 0 2 答案 0 2 互動探究 三個不同的實數(shù)根 則實數(shù)a的取值范圍是 A 1 3 B 0 3 C 0 2 D 0 1 解析 畫出函數(shù)f x 的圖象如圖D10 觀察圖象可知 若方程f x a 0有三個不同的實數(shù)根 則函數(shù)y f x 的圖象與直線y a有3個不同的交點 此時需滿足0 a 1 故選D 圖D10 答案 D 考點3 二分法的應用 例3 已知函數(shù)f x lnx 2x 6 1 求證 函數(shù)f x 在其定義域上是增函數(shù) 2 求證 函數(shù)f x 有且只有一個零點 3 求這個零點所在的一個區(qū)間 使這個區(qū)間的長度不超過 14 1 證明 函數(shù)f x 的定義域為 0 設x1 x2 則lnx1 lnx2 2x1 2x2 lnx1 2x1 6 lnx2 2x2 6 f x1 f x2 f x 在 0 上是增函數(shù) 2 證明 f 2 ln2 20 f 2 f 3 0 f x 在 2 3 上至少有一個零點 又由 1 知 f x 在 0 上是增函數(shù) 因此f x 0至多有一個根 從而函數(shù)f x 在 0 上有且只有一個零點 3 解 由 2 知 f x 的零點x0在 2 3 上 規(guī)律方法 1 二分法是求方程根的近似值的一種計算方 法 它只能用來求函數(shù)的變號零點 2 給定精度 用二分法求函數(shù)y f x 的零點近似值的步 驟如下 確定區(qū)間 m n 驗證f m f n 0 給定精度 求區(qū)間 m n 的中點x1 計算f x1 若f x1 0 則x1就是函數(shù)y f x 的零點 若f m f x1 0 則令n x1 此時零點x0 m x1 若f x1 f n 0 則令m x1 此時零點x0 x1 n 互動探究 2 若函數(shù)f x 的零點與g x 4x 2x 2的零點之差的絕對 值不超過0 25 則f x 可以是 A f x 4x 1 B f x x 1 2 C f x ex 1 D f x 答案 A 思想與方法 運用分類討論思想判斷方程根的分布 例題 已知函數(shù)f x ax2 x 1 3a a R 在區(qū)間 1 1 上有零點 求實數(shù)a的取值范圍 解 方法一 當a 0時 f x x 1 令f x 0 得x 1是區(qū)間 1 1 上的零點 當a 0時 函數(shù)f x 在區(qū)間 1 1 上有零點分三種情況 方程f x 0在區(qū)間 1 1 上有重根 3 a 1 x在區(qū)間 1 1 上有解 a 問題轉化為求函數(shù)y 方法二 當a 0時 f x x 1 令f x 0 得x 1 是區(qū)間 1 1 上的零點 當a 0時 f x ax2 x 1 3a在區(qū)間 1 1 上有零點 x2 1 xx2 3 在區(qū)間 1 1 上有 解 在區(qū)間 1 1 上的值域 設t 1 x 由x 1 1 得t 0 2 1 xx2 3 t1 t2 t1t2 4 t1t2 由00 所以g t 在t 0 2 上單調遞減 故g t g 2 4 規(guī)律方法 1 函數(shù)f x ax2 x 1 3a a R 在區(qū)間 1 1 上有零點 應該分類討論 討論a 0與a 0 討論有一個零點或有兩個零點 如果只有一個零點還要討論是否是重根 2 函數(shù)f x 的零點不是 點 它是一個數(shù) 是方程f x 0 的實數(shù)根 3 準確理解根的存在性定理 f x 在 a b 上連續(xù) f a f b 0 其中 是零點存在的一個充分條件 不是必要條件 并且滿足f a f b 0時 f x 在 a b 上至少有一個零點 不滿足f a f b 0時 f x 在 a b 上未必無零點 也可能有多個零點 1 全面認識深刻理解函數(shù)零點 函數(shù)的零點不是點 而是 數(shù) 1 從 數(shù) 的角度看 即是使f x 0的實數(shù)x 2 從 形 的角度看 即是函數(shù)f x 的圖象與x軸交點的 橫坐標 3 若函數(shù)f x 的圖象在x x0處與x軸相切 則零點x0通常 稱為不變號零點 4 若函數(shù)f x 的圖象在x x0處與x軸相交 則零點x0通常 稱為變號零點 2 判定函數(shù)零點的常用方法有 1 零點存在性定理 2 數(shù)形結合 3 解方程f x 0 3 研究方程f x g x 的解 實質上就是研究函數(shù)G x f x g x 的零點 4 轉化思想 方程解的個數(shù)問題可轉化為兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題 已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉化為函數(shù)的值域問題 5 使用根的存在性定理要注意以下三點 1 函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上連續(xù) 2 滿足f a f b 0 3 該定理只能求變號零點 對非變號零點則不適用 因此只是零點存在的一個充分條件 但不是必要條件