在線提供 :www.sciencedirect.com機(jī)構(gòu)與機(jī)械原理 39(2004)299-322機(jī) 床執(zhí) 行機(jī) 構(gòu)逆 轉(zhuǎn)運(yùn) 動(dòng)的 研究金大中，鄭升吉，桑杰 -薩爾瑪麻省理工學(xué)院機(jī)械工程系 ,劍橋大學(xué)文學(xué)碩士 02139,35-010,美國(guó)加州勞倫斯伯克利國(guó)家實(shí)驗(yàn)室工程部 ,CA94720，伯克利，美國(guó)本文收到于 2002年 8月 30日，修訂后的形式收到于 2003年 6月 16日 ,最終出版社于2003年 9月 17日采納 摘要當(dāng)機(jī)床中的運(yùn)動(dòng)副反轉(zhuǎn)時(shí)，在精度加工表面，機(jī)械設(shè)計(jì)和控制中被忽視了的非線性問題會(huì)明顯地反映出來 。 例如 ， 機(jī)床的摩擦特性在操作速度較低時(shí)會(huì)造成高度非線性誤差 ,要求復(fù)雜的補(bǔ)償。為此，我們提出了一個(gè)機(jī)床的逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆轉(zhuǎn)自由路徑的理論解決辦法 。 我們?cè)O(shè)想和比較串行 ， 并行 ， 混合機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副各種軌跡和多種模式逆轉(zhuǎn)的特點(diǎn)。逆轉(zhuǎn)特征對(duì)機(jī)床的設(shè)計(jì)和路徑規(guī)劃兩者都有影 響。2003愛思唯爾有限公司 版權(quán)所有。關(guān)鍵詞 :逆轉(zhuǎn) ;摩擦 ;機(jī)床 ;運(yùn)動(dòng)學(xué)1.引文當(dāng)機(jī)床中的運(yùn)動(dòng)副在運(yùn)動(dòng)方向上逆轉(zhuǎn)時(shí) ,發(fā)生的一些異?，F(xiàn)象必須受到重視以使機(jī)床能達(dá)到較高的精度 。 這篇文章論述機(jī)床機(jī)構(gòu)學(xué)中的反轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué) ， 主要集中于逆轉(zhuǎn) 、 逆轉(zhuǎn)自由路徑的理論和屬性 。 這些影響往往在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的初始階段被忽略 ， 我們的目標(biāo)是為預(yù)測(cè)逆轉(zhuǎn)的發(fā)生提出理論基礎(chǔ) 。 特別是 ， 我們說明了逆轉(zhuǎn)在加工表面和并行機(jī)床直線加工中是明顯的 ， 一般在大多數(shù)類型機(jī)床的多軸自由加工中很難避免。責(zé)任作者 .電話 :+1-617-253-1925傳真 :+1-617-253-7549.電子郵件地址 :sesarma@mit.edu(奧馬 .沙爾瑪 ).0094-114x/$---見前頁 2003愛思唯爾有限公司版權(quán)所有 .數(shù)位物件識(shí)別號(hào)： 10.1016/j.mechmachtheory.2003.09.002圖 1.一 個(gè)典 型的 運(yùn)動(dòng) 副中 的摩 擦特 性以 及它 對(duì)精 密度 的負(fù) 面影 響 .（ a)摩 擦和 速度 的關(guān) 系 (b)象 限故 障 (董 建華 審稿 [4]).這些復(fù)雜的情況與源自于他們會(huì)加劇軸承和驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)性能的非線性誤差的逆轉(zhuǎn)這個(gè)情況有聯(lián)系 。 一個(gè)經(jīng)典的與逆轉(zhuǎn)相關(guān)的例子就是絲杠的間隙 。 當(dāng)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)負(fù)載引起軸承的連結(jié)點(diǎn)發(fā)生瞬時(shí)沖擊而逆轉(zhuǎn)時(shí)間隙就會(huì)出現(xiàn)。在實(shí)踐中 ,間隙在精密機(jī)構(gòu)中可以通過防松的預(yù)緊力減小。 逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)副摩擦的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)之間相互轉(zhuǎn)換時(shí)，更基本的非線性誤差被放大 。 圖 1(a)顯示了潤(rùn)滑運(yùn)動(dòng)副的摩擦從低速到高速運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換時(shí)典型的狀態(tài) 。這種摩擦原理從靜態(tài)效果向更線性粘滯的效應(yīng)狀態(tài)變化 [2]。摩擦力的大小由于節(jié)點(diǎn)的零速狀況而提升和轉(zhuǎn)變 。 為線性粘滯摩擦模型而設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)單的線性控制策略 ,補(bǔ)償這種影響效果很差 ,可能會(huì)遭遇延誤 ,追蹤不符常規(guī)和加工精度損失 [3]。象限故障 ,見圖 1(b),都是典型的在在三軸銑床上的循環(huán)端銑時(shí)因摩擦誘導(dǎo)產(chǎn)生錯(cuò)誤的典型例子 [4]。在這種運(yùn)行機(jī)制下每次發(fā)生異常時(shí)，通過改進(jìn)控制器可以獲得更好的追蹤精度 。 然而 ， 實(shí)施這些策略需要更先進(jìn)的控制器 ， 和仔細(xì)的參數(shù)識(shí)別實(shí)驗(yàn) ， 兩者都必然更貴 。 因此 ， 設(shè)計(jì)師重點(diǎn)認(rèn)為它是避免臨界運(yùn)動(dòng)發(fā)生逆轉(zhuǎn)的最好的辦法。1.1.逆轉(zhuǎn)特性如上所述 ,這將是一種逆轉(zhuǎn)不會(huì)發(fā)生的理想機(jī)床設(shè)計(jì) ， 在這理想狀態(tài)下他們不會(huì)傷害機(jī)床的性能。對(duì)于笛卡兒坐標(biāo)系的機(jī)床 ,例如 ,當(dāng)機(jī)器執(zhí)行一個(gè)單向直線軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，逆轉(zhuǎn)不會(huì)發(fā)生。這是非常重要的 因?yàn)樽鳛橐粋€(gè)基準(zhǔn)和配合面直線在設(shè)計(jì)和制造中起著特殊的和基礎(chǔ)的作用 。 在笛卡兒三軸機(jī)中 ， 逆轉(zhuǎn)會(huì)發(fā)生但僅發(fā)生于運(yùn)動(dòng)方向明確可知的情況下 ， 比如加工一圓 ， 見圖 1.（ b） .從逆轉(zhuǎn)的角度看這構(gòu)成了 “ 良好的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) ” ， 所有的逆轉(zhuǎn)通過一種非常容易描述的方式發(fā)生 ，并且反轉(zhuǎn)特征與位置無關(guān)，配置獨(dú)立。 不幸的是 ,并不是所有的機(jī)器有這些理想的屬性 ， 并且在并行機(jī)器中逆轉(zhuǎn)尤其很難預(yù)測(cè) 。 并行機(jī)在它的工作空間規(guī)劃一個(gè)直線運(yùn)動(dòng)以避免遭遇逆轉(zhuǎn) 。 這種特性對(duì)于并行機(jī)的加工應(yīng)用可能是一個(gè)嚴(yán)重的障礙 。 串行笛卡爾機(jī)床在自由加工時(shí)也會(huì)發(fā)生逆轉(zhuǎn) 。 在加工一個(gè)空氣動(dòng)力學(xué)臨界表面時(shí) ,例如 ,一個(gè)彎曲的軌跡可能導(dǎo)致不良的誘導(dǎo)型逆轉(zhuǎn)的 帶鋼單向皺紋 。 理解這些問題很重要 ， 我們?cè)诒疚闹袑?duì)一些問題作了調(diào)查 ： 逆轉(zhuǎn)發(fā)生的路徑 ， 無關(guān)逆轉(zhuǎn)路徑的性質(zhì) ， 不管運(yùn)動(dòng)方向逆轉(zhuǎn)發(fā)生是必然的 ， 區(qū)域可達(dá)性的反轉(zhuǎn)自由推導(dǎo)等等 。 我們應(yīng)對(duì)辦法主要是基于給定機(jī)器的運(yùn)動(dòng)學(xué)理論 。 本文最大的貢獻(xiàn)在于準(zhǔn)確地發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)機(jī)械的描述 ， 逆轉(zhuǎn)及相關(guān)概念。 1.2.背景在機(jī)械設(shè)計(jì)中， 間隙 問題一直是一個(gè)古老的挑戰(zhàn)，在機(jī)械元素的群體中，已經(jīng)受到了大量的注意力 。 在機(jī)械元件中 ， 一個(gè)概念性和技術(shù)性的描述是可以供使用的 [1]。 有大量關(guān)于摩擦模型的文獻(xiàn)資料和一份完整的總結(jié) ， 在 [5]中 。 凱魯達(dá)斯 .德提出了一個(gè)精致的模型，抓住了庫(kù)倫早期成果中包含的在逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中必須被考慮的不同影響 ， 達(dá)利德 [7]， 他表明 ， 粘滑運(yùn)動(dòng)并不包含在庫(kù)侖和粘性模型 ，中 ， 拉賓諾維奇 [9]， 他表明 ,開始運(yùn)動(dòng)一直到出現(xiàn)一個(gè)摩擦力存在一個(gè)時(shí)間差 ,達(dá)爾 [8]，他進(jìn)一步整合了滯后效應(yīng)。然而，即使凱魯達(dá)斯 .德的 6參數(shù)模型也不能捕獲所有摩擦的微妙之處，例如依賴于時(shí)間導(dǎo)數(shù)作用力的摩擦力。此外 ,摩擦參數(shù)已被證明是工作區(qū)間內(nèi)高度地變化的 ,并伴隨著時(shí)間的推移改變 [10]。 然而 ，這個(gè)模型構(gòu)成的許多控制方法的基礎(chǔ)在過去的幾年里一直被提及到。 該領(lǐng)域的研究人員已經(jīng)提出了運(yùn)動(dòng)控制的一系列補(bǔ)償方法 ,以實(shí)現(xiàn)摩擦作用下運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)、高精度。不是本文強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)，我們只在這里做一個(gè)粗略的概述 。綜合摘要由 [11、 12]提供。根據(jù)摩擦的控制系統(tǒng)技術(shù)包括：估值和適配法 [13、14]， 魯棒補(bǔ)償方案 [15],重復(fù)控制 [4]、 多回路控制 [16],非線性補(bǔ)償 (類似于滑動(dòng)模態(tài) )[17],非線性 PID(改變?cè)鲆嫒Q于加工狀態(tài) )[18]和一大類脈沖編碼調(diào)制技術(shù)，均概述于 [12]。有大量的關(guān)于并行機(jī)器的文獻(xiàn)，以及幾十種采用平行結(jié)構(gòu)的銑床。引用于[19]。 假定并行機(jī)器勝過串行機(jī)器更的優(yōu)勢(shì)是負(fù)載可以分布更均勻 ， 因此 ， 可以通過使用更輕的結(jié)構(gòu)元件和更少更昂貴的執(zhí)行器來獲得一個(gè)更高的剛度 。 然而我們將說明 ,耦合運(yùn)動(dòng)學(xué)的并行機(jī)制會(huì)導(dǎo)致在他們的連接副中發(fā)生 “簡(jiǎn)單的的 ”和直的逆轉(zhuǎn)。圖 2我 們研 究的 機(jī)器 :(一 )串 行 (b)混 合 (c)并 行機(jī) 床此外 ,研究表明 ,一個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的錯(cuò)誤會(huì)傳播到所有的坐標(biāo)軸 [19],當(dāng)它是重要的保持平面或平直度時(shí)這可能會(huì)有爭(zhēng)議。此外 ,有文獻(xiàn)表明 ,在機(jī)床結(jié)構(gòu)中頻繁的執(zhí)行機(jī)構(gòu)逆轉(zhuǎn)可以激發(fā)更高的諧波分量 [21、 22]。 這增加了并行機(jī)器必要的結(jié)構(gòu)剛度 ， 甚至在某種程度上削弱了并行機(jī)構(gòu)首選的基礎(chǔ) 。 除此之處 ， 之前的研究似乎很少有涉及串聯(lián)或并聯(lián)機(jī)床的逆轉(zhuǎn)。1.3.大綱對(duì)于不同機(jī)床機(jī)構(gòu)的反轉(zhuǎn)性能建立一個(gè)完全公平的比較并不容易，因?yàn)樾阅苤饕蕾囉诳紤]的軌跡和正在執(zhí)行的加工任務(wù)。例如，機(jī)床不是被求切削平面 ，相反 ， 說 ， 加工球面 ， 一個(gè)并行機(jī)床的特定配置比笛卡爾系列更自然 。 不做關(guān)于機(jī)床考慮的加工任務(wù)的假設(shè)，我們將 定義一個(gè)任務(wù)空間的概念 ,它能夠捕捉任何任務(wù)表面的能力 ,我們會(huì)問在一個(gè)典型的路徑可以發(fā)生多少逆轉(zhuǎn) ， 以及使用更少的逆轉(zhuǎn)可以達(dá)到同樣的目的。 第 2節(jié)中 ,我們?cè)O(shè)置一個(gè)數(shù)學(xué)框架，它是這篇論文框架的基礎(chǔ)。在第 3節(jié) ,我們回答關(guān)于逆轉(zhuǎn)性能和開發(fā)方法的分析等最基本的問題 。 第 4部分中 ,我們介紹一些例子與三種類型的機(jī)工具 :串行 ,混合和并行機(jī)床，如圖 .2在第五部分我們得出結(jié)論 .2.結(jié)構(gòu)分析 在本節(jié)中 ,我們根據(jù)這篇論文的基礎(chǔ)制作了一個(gè)數(shù)學(xué)框架的。假設(shè)我們將調(diào)用一個(gè)已知的受限制的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)圖紙。這部分簡(jiǎn)單定義了這個(gè)術(shù)語 ,并證明這種假設(shè)的必要性。 描述切削工具的運(yùn)動(dòng) ， 我們?cè)谇邢鞴ぞ叩闹行木€上附上一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn) 。 三元組的笛卡兒坐標(biāo)的基準(zhǔn)點(diǎn)構(gòu)成我們稱為機(jī)床的工作空間 。 一般來說 ,一個(gè)切割工具 ,作為一個(gè)剛性的主體 ,已經(jīng) 6自由度 :三個(gè)自由度對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換的基準(zhǔn)點(diǎn)和另外三個(gè)對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)切削刀具。因?yàn)槲覀冋诳紤]銑床 ,因?yàn)榍懈罟ぞ呖梢员徽J(rèn)為是軸對(duì)稱，第六個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度它與切削工具中心線的自旋有關(guān) ,通常是不必要的和冗余的。兩個(gè)額外的坐標(biāo)在磨削的過程中足以描述定向五軸機(jī)床的 。 三個(gè)自由度的旋轉(zhuǎn)在其他應(yīng)用程序可能是必要的。 我們指的切削刀具的自由度數(shù)量限制了我們主觀上對(duì)于任務(wù)空間維度的感知 。 任務(wù)空間尺寸與機(jī)器參與加工任務(wù)的自由度不一定是相同的 。 例如 ,我們可以使用 6軸機(jī)器執(zhí)行五軸加工 ,附加的一個(gè)自由度是冗余 。 在三軸加工中 只有切換刀具是允許的和任務(wù)空間維度數(shù)是 3。 在路徑規(guī)劃階段 ,尺寸可以引入 “任務(wù)約束 。 ”進(jìn)一步減少。例如，在三軸粗加工中，從原料上一層一層去除材料是非常常見的 。 在這種情況下 ， 當(dāng)一一層材料被去掉時(shí) ， 任務(wù)約束是基準(zhǔn)點(diǎn)必須保持在一個(gè)平面上 ，每層加工的任務(wù)空間維度是 2.使用五軸加工完成了自由表面部分的加工 ， 刀頭與所需的表面接觸，任務(wù)空間維度的修整是減少到 4。當(dāng)規(guī)劃精加工的路徑時(shí)，設(shè)計(jì)表面上切削工具在每一點(diǎn)有沒有沖突由一個(gè)碰撞檢測(cè)預(yù)處理程序決定 ， 剩下的計(jì)劃任務(wù)可以在一個(gè)二維空間內(nèi)執(zhí)行。在這種情況下 ,任務(wù)空間維度是 2。一般認(rèn)為機(jī)床擁有 N個(gè)自由度和一個(gè)任務(wù)維度是 M〈 =N的加工方法 。 刀具的運(yùn)動(dòng)限制條件能夠被歷史的 M元組實(shí)數(shù)捕獲。在這種條件下，我們參考所有的國(guó)為任務(wù)表示受限制姿勢(shì)的 元組。機(jī)器中所有的執(zhí)行器位移的 N元組稱為驅(qū)動(dòng)空間 。我 們 假 設(shè) 一 個(gè) 機(jī) 床 的 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 和 通 過 機(jī) 械 條 件 確 定 光 滑 映 射 f從 條 件 的 任 務(wù)空間 到機(jī)床執(zhí)行機(jī)構(gòu)空間 引入的約束條件，我們稱為逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的限制映像 。 )根據(jù)我們的假設(shè)任何冗余必須用逐點(diǎn)的方式 （ 或者 “ 直線插補(bǔ)法 ” ）解決。我們假設(shè)任務(wù)空間 U是單連通的 ,通過選擇它避免了奇異點(diǎn) 。 映像 的范圍是 N維運(yùn)動(dòng)空間的 M維子空間 。 執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位移量 被認(rèn)為是機(jī)床構(gòu)形空間局部坐標(biāo)中的一個(gè)變量 。 該設(shè)置足夠滿足我們的目的 ， 甚至通過考慮機(jī)床位形空間中主動(dòng)和被動(dòng)連結(jié)位移獲得完整的概論 。 上述假設(shè)的嚴(yán)格聲明超出了我們當(dāng)前應(yīng)對(duì)辦法的范圍，更多的條款引用自 [23， 24]。在本文中 ，我們將說明如何設(shè)置前文描述的捕捉大多數(shù)機(jī)器反轉(zhuǎn)特征的方法。 3.逆轉(zhuǎn)分析 在本節(jié)中，我們提出幾個(gè)對(duì)于判斷機(jī)床反轉(zhuǎn)特征非常有用的概念。我們會(huì)部是否能完成沒有任何執(zhí)行機(jī)構(gòu)逆轉(zhuǎn)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的任務(wù)或者是否有條件保證自由反轉(zhuǎn)或確定的可逆路徑。我們還會(huì)問執(zhí)行機(jī)構(gòu)逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方向上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡 。 最后 ,我們分析加工表面或者去除表面的逆轉(zhuǎn)特征 。 我們?cè)诘谒墓?jié)中用了第一節(jié)概念的延伸來比較三種類型的機(jī)床。我們大部分的命題可以直觀地理解 ,我們省略一些證據(jù)但在主體文本中解釋了他們的原理。 3.1.逆轉(zhuǎn)情況在本節(jié)中 ,我們將展示各種方式來解讀逆轉(zhuǎn)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。3． 1． 1關(guān)于追蹤任務(wù)軌跡的逆轉(zhuǎn)情況機(jī)床的基本功能是能為它自身的效應(yīng)器追蹤給定的軌跡。我們認(rèn)為在任務(wù)空間內(nèi) ， 機(jī)床沿一段有規(guī)律的軌跡運(yùn)動(dòng) 。 如果對(duì)于任何 i值 ,當(dāng) t=t0時(shí) ， 局部極值 ， 我們認(rèn)定點(diǎn) u(t0)為逆轉(zhuǎn)點(diǎn) 。 如果沿著軌跡沒有逆轉(zhuǎn)點(diǎn)，我們稱該軌跡為自由逆轉(zhuǎn)。 對(duì)于執(zhí)行機(jī)構(gòu)在有規(guī)律的的軌跡上在 逆轉(zhuǎn)，下面的公式有重要的意義： 這種情況暗含了在任務(wù)區(qū)域內(nèi)沿有規(guī)律的軌跡找到逆轉(zhuǎn)點(diǎn)的一種簡(jiǎn)單方法。沿給定軌跡繪制和計(jì)算逆轉(zhuǎn)點(diǎn)是一種顯現(xiàn)和比較機(jī)床逆轉(zhuǎn)特征的方式。 3． 1． 2． 逆轉(zhuǎn)奇數(shù)點(diǎn)和強(qiáng)逆轉(zhuǎn)奇數(shù)點(diǎn)在工作區(qū)間 U中的點(diǎn) 處，如果有一個(gè)整數(shù) 使得我們約定點(diǎn) u作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的逆轉(zhuǎn)奇數(shù)點(diǎn)遵守， fk是逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué) f的最佳元素點(diǎn) ，如果逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué) f的最佳元素點(diǎn)的赫斯矩陣 定義在點(diǎn)：處，則執(zhí)行機(jī)構(gòu)的逆轉(zhuǎn)奇數(shù)點(diǎn)為強(qiáng)。如果相應(yīng)的赫斯矩陣為奇數(shù)，則逆轉(zhuǎn)奇數(shù)點(diǎn)會(huì)退化 。 退化的逆轉(zhuǎn)奇數(shù)點(diǎn)是非常少見的 ， 因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的輕微擾動(dòng)能消除它們。 在強(qiáng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)的逆轉(zhuǎn)奇數(shù)點(diǎn) ， 執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位移 fk是局部極大值或者極小值 。因此 ， 執(zhí)行機(jī)構(gòu)在強(qiáng)的逆轉(zhuǎn)奇數(shù)點(diǎn) ， 它的運(yùn)動(dòng)方向會(huì)發(fā)生逆轉(zhuǎn) ， 為此引出了下面的命題： 命題 1： 當(dāng)機(jī)床的基準(zhǔn)點(diǎn)經(jīng)過強(qiáng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)逆轉(zhuǎn)基準(zhǔn)點(diǎn)時(shí)，執(zhí)行機(jī)構(gòu)的逆轉(zhuǎn)不可避免。 準(zhǔn)基準(zhǔn)點(diǎn) （ 為了起強(qiáng)調(diào)作用 ， 我們認(rèn)定其為非強(qiáng)基準(zhǔn)點(diǎn) ） 也暗含了逆轉(zhuǎn)的高幾率 。 因?yàn)榻?jīng)過逆轉(zhuǎn)奇數(shù)點(diǎn)的軌跡必須滿足構(gòu)成自由逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的特殊情況 。 對(duì)于2維任務(wù)空間 ， 這尤其容易被理解 。 如果執(zhí)行機(jī)構(gòu)在 2維任務(wù)空間的非退化逆轉(zhuǎn)奇數(shù)點(diǎn)為強(qiáng)，則其逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的元素 fk在逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)有一個(gè)承載點(diǎn)。這暗含：命題 2： 在非退化 ， 2維任務(wù)空間的非強(qiáng)逆轉(zhuǎn)奇數(shù)點(diǎn) ， 如果它是自由逆轉(zhuǎn) ， 那么一個(gè)規(guī)則軌跡必須與 fk的功能分界線之一正切。通過摩爾斯輔助定理，這個(gè)實(shí)驗(yàn)很容易被建立。上文規(guī)定的條件是一個(gè)相當(dāng)特殊且很難滿足的條件，特別是在切除任務(wù)中，這個(gè)我們將在 3.3節(jié)中討論 。 因?yàn)樗某霈F(xiàn)不會(huì)依賴我們已經(jīng)選擇的特殊軌跡 ， 逆轉(zhuǎn)奇數(shù)點(diǎn)是一個(gè)比較權(quán)威的方式來顯現(xiàn)機(jī)床的逆轉(zhuǎn)特征。 3． 1． 3．任務(wù)空間的正切空間的自由逆轉(zhuǎn)方向在軌跡的正切向量上，我們能夠指定一個(gè)逆轉(zhuǎn)條件。在這一節(jié)，我們也能定義會(huì)用到的相關(guān)關(guān)系。 如果切削刀具移動(dòng)的軌跡服所給的任務(wù)約束 ， 執(zhí)行機(jī)構(gòu)的速率 和速率 在任務(wù)空間中具有以下的關(guān)系：上式中 C是受限制的逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué) f的雅可比行列式矩陣。 M元組 是任務(wù)空間正切空間的元素之一 。 正切空間在點(diǎn) 被 表示 。 正切空間是被認(rèn)定為正切束和 TU。任務(wù)空間的每一個(gè)點(diǎn)在每一個(gè)瞬態(tài)，每個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)有兩個(gè)選擇，或者增加或者減少位移 。 換言之 ， 或者 或者 。 特殊的 ， 如果一個(gè)軌跡是自由逆轉(zhuǎn) ，在它的整個(gè)步進(jìn)運(yùn)動(dòng)區(qū)間，除了 =0，兩個(gè)不等式僅有一個(gè)成立。換言之，每個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)沿著自由逆轉(zhuǎn)軌跡的位移必須單調(diào)的 。 所有執(zhí)行機(jī)構(gòu)的二進(jìn)制置換都可以用二進(jìn)制系統(tǒng)符號(hào) i和 d作為基本數(shù)字來編碼，這個(gè)符號(hào)代表了詞語 “ 增加 ” 和“ 減少 ” 。例中，在 5軸機(jī)床中，如果第一個(gè)和最后一個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)位移是增加，其它的位移是減小，我們用 idddi來表示這種情況，作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的一個(gè)排列，執(zhí)行機(jī)構(gòu)可能的排列數(shù)量是 2N， N是執(zhí)行機(jī)構(gòu)的數(shù)量。相反的，執(zhí)行機(jī)構(gòu)在相切空間 的給定點(diǎn) 的排列 P的 N次不等式。每個(gè)不同，由于圖（ 1）所給予的線性關(guān)系， 或者 ，都被認(rèn)為是正切空間的半空間 。 這樣的半空間交叉在正切空間形成了一種簡(jiǎn)單的連結(jié)圓錐體 。 我們認(rèn)定結(jié)果圓錐體為自由逆轉(zhuǎn)圓錐體的給定點(diǎn) ， 作為 的標(biāo)志 。 如果 ， 我們認(rèn)為是可以避免的，如果在正切空間 是一系列測(cè)量原點(diǎn)， 是退化的。如果圓錐體是可以避免消除的，因?yàn)?是一系列測(cè)量原點(diǎn)并且它是可以退化的。根據(jù)逆轉(zhuǎn)自由圓錐體是否可以消除，整體任務(wù)空間可以分割成兩個(gè)區(qū)間?？刂品峭嘶杂赡孓D(zhuǎn)圓錐體的任務(wù)間點(diǎn)集合是單調(diào)集合 ， 標(biāo)志性的 ， 作為 MP。 不能避免的自由逆轉(zhuǎn)圓錐體中的點(diǎn)集合被認(rèn)為是擴(kuò)展單調(diào)區(qū)，標(biāo)志性的，作為 ， 必須是單調(diào)區(qū)間 MP的一個(gè)超集。在實(shí)際情況中， 和 MP是 “ 幾乎一樣的 ” ，這意味著 \MP測(cè)量原點(diǎn)的一個(gè)區(qū)間。在 2維相切空間 ， 自由逆轉(zhuǎn)圓錐體被從相切空間照射出來的兩條線分界 ； 一條是右補(bǔ)償 ， 另一條被稱為左補(bǔ)償 ， 就是 “ 右 ” 和 “ 左 ” 的選擇 ， 實(shí)際上是實(shí)際中不存在的 。 通過規(guī)范單調(diào)區(qū)間中的右補(bǔ)償和左補(bǔ)償成為單元向量 ， 我們能在單調(diào)區(qū)間內(nèi)塑造相應(yīng)的單元向量域 。 他們被分別認(rèn)定為右和左向量域 ； 標(biāo)志性的有和 執(zhí)行機(jī)構(gòu)排列 P的補(bǔ)充排列通過不等式的一致性逆轉(zhuǎn)標(biāo)志和 -P被定義為已生成的排列。例如，如果 P=idddl，然后 -P=diiid.圖 3說時(shí)了在一個(gè)點(diǎn)自由逆轉(zhuǎn)圓錐體的例子。 命題 3：我們規(guī)定下面的直接推論：（ 1） 如果軌跡 是自由逆轉(zhuǎn) ， 為了執(zhí)行機(jī)構(gòu)的排列 ， 它的速率矢量位于自由逆轉(zhuǎn)圓錐體內(nèi)。換言之，應(yīng)該有一個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)排列 P以致于對(duì)于自由逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的所有的時(shí)間段內(nèi) 。圖 .3.使用 3坐標(biāo)機(jī)床，自由逆轉(zhuǎn)圓錐體內(nèi)精加工拋物線表面 和。在案例中，逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)映射 f是簡(jiǎn)單的：相應(yīng)的的雅可比行列式是 ， 在 的簡(jiǎn)化形式是 。 正式地， 。 (a)自由逆轉(zhuǎn)圓錐體和它的余量 (b)點(diǎn)上的自由逆轉(zhuǎn)圓錐體單元包含點(diǎn)上全部的正切空間。（ 2） 在點(diǎn) ， 和 在 中軸對(duì)稱。特殊的， ；和 是退化的。（ 3） 在 點(diǎn) 換 言 之 ， 點(diǎn) 的 切 線 空 間 被 點(diǎn) 的 自 由 逆 轉(zhuǎn) 圓 錐 體 覆 蓋 或 者平鋪。（ 4） 在擴(kuò)展單調(diào)區(qū)間 的邊境點(diǎn) u上，除了一些特殊獨(dú)立點(diǎn)，即逆轉(zhuǎn)奇數(shù)點(diǎn) ，相應(yīng)的逆轉(zhuǎn)圓錐體 是退化的。（ 5 ） 除了逆轉(zhuǎn)奇數(shù)點(diǎn)，每一個(gè) MP元素在矢量域 和左矢量域 都是連續(xù)的 。 矢量 域 是 連續(xù)的，在點(diǎn) 屬 于圓錐體 的 值，＠是一個(gè)連續(xù)的關(guān)于變化范圍在區(qū)間 [0， 1]R的 U的函數(shù)。（ 6 ） 和命 題 3（ 1） 是 在 自 由 逆 轉(zhuǎn) 圓 錐 體 中 對(duì) 自 由 逆 轉(zhuǎn) 條 件 的 概 括 。 如 果 軌 跡 是 自 由 逆轉(zhuǎn) ， 在它的整個(gè)步進(jìn)運(yùn)動(dòng)期間 ， 執(zhí)行機(jī)構(gòu)速度的標(biāo)志是確定的 ， 暗含了滿足確定條件執(zhí)行機(jī)構(gòu)排列的存在 。 換言之 ， 如果軌跡的相切矢量是瞬態(tài)圓錐體 ， 如果它后來運(yùn)動(dòng)到不同的圓錐體，假設(shè)圓錐體 在轉(zhuǎn)換期間，至少一個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)改變它的標(biāo)志速度 。 命題 3（ 2） 保留因?yàn)閷?duì)于任何 ， 暗含 。 在 圖3（ b） 中 給 予 了 解 釋 。 命 題 3（ 3） 是 前 面 闡 述 了 的 簡(jiǎn) 單 情 況 的 概 括 ： 在 任 務(wù) 空間任意瞬態(tài)的每個(gè)點(diǎn) ， 每個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)都有兩個(gè)選擇 ， 或者增加或者減少它的位移 ，即 或者 或 者 ， 沒有其他的情況。除了它的規(guī)則在逆轉(zhuǎn)奇數(shù)點(diǎn)外，對(duì)于每個(gè) K的傾斜度 fK的連續(xù)體，命題 3（ 4）和（ 5）是連續(xù)的。通過我們回想起 fk是平滑的 ， 擴(kuò)展單調(diào)區(qū)間的圓錐體 “ 消失 ” 。 直觀地說 ， 自由逆轉(zhuǎn)圓錐體不能突然 出 現(xiàn) 或 者 消 失 。 命 題 3（ 6） 與 命 題 3（ 2） 的 反 面 對(duì) 稱 ， 特 殊 地 的 陳 述 是 退化的 。通過圖 3說明的例子很容易被理解。3． 2．點(diǎn)到點(diǎn)任務(wù)的逆轉(zhuǎn)在任務(wù)空間給定的兩個(gè)結(jié)束點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)任務(wù)尋找發(fā)現(xiàn)一條滿足某些必然條件的兩個(gè)連結(jié)結(jié)束點(diǎn)點(diǎn)軌跡。我們能在執(zhí)行空間做下面的一般陳述： 命題 4.對(duì)于在執(zhí)行空間的兩個(gè)給定點(diǎn) ， 連結(jié)兩個(gè)點(diǎn)的直線部分是自由逆轉(zhuǎn)路徑 。特殊的 ， 如果執(zhí)行空間是凸面的 ， 沒有逆轉(zhuǎn) ， 在執(zhí)行空間中的任何兩個(gè)點(diǎn)能被連結(jié)。 這個(gè)領(lǐng)會(huì)非常明顯，因?yàn)樵趫?zhí)行空間內(nèi)任何直線都代表執(zhí)行機(jī)構(gòu)坐標(biāo)的一個(gè)單調(diào)變化。 然而，在任務(wù)空間，自由逆轉(zhuǎn)路徑的任何疑問都是不重要的。我們現(xiàn)在闡述這個(gè)問題。對(duì)于任務(wù)空間，我們普遍保證的至多是一個(gè)消極的聲明： 命題 5： 任務(wù)空間中任何周期性的路徑都必須有逆轉(zhuǎn)點(diǎn)。這并沒有回答我最初的問題 ： 任務(wù)空間中 ， 沒有任何逆轉(zhuǎn) ， 一對(duì)給定點(diǎn) （ u0,u1）能否通過任務(wù)空間中的軌跡連結(jié)在一起。 為了解決這個(gè)問題，我們構(gòu)建可獲得的從一個(gè)給點(diǎn) u0沒有逆轉(zhuǎn)的點(diǎn)的集合。結(jié)果集合被認(rèn)為是（自由逆轉(zhuǎn)）可獲得性點(diǎn)集合 u0和標(biāo)志性 Fu0。如果另外一個(gè)點(diǎn)屬于自由逆轉(zhuǎn)可獲得性集合 Fu0， 我們能得出點(diǎn) 和 u1能以自由方式連結(jié)。下面的命題也一樣有用：命題 6： 如果自由逆轉(zhuǎn)的軌跡可以連結(jié)兩個(gè)點(diǎn) ， 那么兩個(gè)點(diǎn)都屬于這個(gè)擴(kuò)展單調(diào)區(qū)間 通過自由逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的向量條件命題很容易被建立，命題 3（ 1）。繪圖自由逆轉(zhuǎn)的可行性設(shè)置也是機(jī)床逆轉(zhuǎn)特征可視化的一個(gè)好的方式 .在一個(gè)高維任務(wù)空間 ,找到一個(gè)點(diǎn)的自由逆轉(zhuǎn)的可達(dá)性集合是全新的的課題。然而，這個(gè)問題在一個(gè)二維任務(wù)空間可以用一種摸索的方式進(jìn)行有效地處理。下面 ， 我們將指出在一個(gè)二維的任務(wù)空間 ， 我們?nèi)绾物@現(xiàn)一個(gè)給定點(diǎn) 的自由逆轉(zhuǎn)的可達(dá)性合集合。 從 沿著軌跡 的 點(diǎn) 細(xì) 想點(diǎn)的集合是可以實(shí)現(xiàn)的，而且軌跡的速率保持于沿著軌跡的自由逆轉(zhuǎn)錐體 中 。 結(jié)果的集合被認(rèn)為是點(diǎn) u0的可達(dá)性的分枝，如 。命題 7.以下可達(dá)性分枝的屬性的直接描述：（ 1） 可達(dá)性分枝是連接路徑。（ 2）（ 3） 暗含 和（ 4）命題 7（ 1） 如下直接地從給定點(diǎn) u0的存在到可達(dá)性逆轉(zhuǎn)點(diǎn)的自由逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 。 命題 （ 2）是命題 6扼要重述。命題 7（ 3）陳述了兩條連續(xù)的自由逆轉(zhuǎn)軌跡，它能 夠 被 結(jié) 合 成 為 一 條 單 一 的 自 由 逆 轉(zhuǎn) 軌 跡 。 命 題 7（ 4） 陳 述 了 點(diǎn) 的 自 由 逆 轉(zhuǎn) 的可達(dá)性能夠被作為它分枝的集合簡(jiǎn)單地構(gòu)造起來 ， 它與命題 3（ 1） 和 （ 3） 最接近。 所以，發(fā)現(xiàn)可達(dá)性的集合的問題就被簡(jiǎn)化為了給定點(diǎn)可達(dá)性分枝，在二維任務(wù)空間 U中 ， 我們需要說明怎么樣獲得點(diǎn) u0的分枝 。 我們現(xiàn)在來分析這個(gè)簡(jiǎn)化方面的問題 。 如果起始點(diǎn) u0不屬于擴(kuò)展單調(diào)區(qū)間 ， 即 ， 我們就簡(jiǎn)單終 止 這 個(gè) 過 程 ， 因 為 和 是 集 合 的 連 結(jié) 路 徑 。 從 此 以 后 ， 我 們 僅 考 慮這一種情況。下面是發(fā)現(xiàn)可達(dá)性分枝過程的描述 。 我們將起點(diǎn) u0的適量域一體化 。 積分線我們用 LR來表示 ， 與點(diǎn) r的擴(kuò)展單調(diào)區(qū)間 的邊界相遇 。 用相同的方式 ， 我們定義左適量域的積分線和擴(kuò)展單調(diào)區(qū)間間的交叉點(diǎn) l.這個(gè)被在表 4（ a） 中有解釋 。我們將通過連結(jié)兩個(gè)結(jié)束點(diǎn)構(gòu)建可達(dá)性的分枝。 命題 8（ 1） 如果 r和 l不逆轉(zhuǎn)奇異點(diǎn) ， 錐 r和錐 l是退化的 ,因?yàn)樗麄冊(cè)跀U(kuò)展單調(diào)區(qū)間的邊界上 。 （ 2） 相應(yīng)錐 和 的方向分別與積分線 LR和 L平行 。 （ 3）該方向一定指向擴(kuò)展單調(diào)區(qū)間之外。 第 一 部 分 是 命 題 3(4)的 一 個(gè) 特 殊 情 況 。 由 于 在 r和 l自 由 逆 轉(zhuǎn) 錐 是 退 化 的和 非 空 集 ， 積 分 線 一 定 與 退 化 的 方 向 相 切 ， 從 而 證 明 了 第 二 部 分 。 如 果 r和 l和退化方向指向擴(kuò)展單調(diào)區(qū)間內(nèi)部 ， 則左右積分線都能延伸到點(diǎn) r和 l， 這就證明了第三部分?，F(xiàn)在我們回到我們的可達(dá)性分枝的構(gòu)建。我們沿著擴(kuò)展單調(diào)區(qū)間的邊界從 點(diǎn)r到左適量域行進(jìn)。行進(jìn)過程中，我們觀察沿著邊界的退化錐。在開始階段 ， 錐與擴(kuò)展單調(diào)區(qū)間的外面對(duì)齊 。 在行進(jìn)的一些瞬間 ， 有一次機(jī)會(huì)邊界上的錐的方向是 朝 向 擴(kuò) 展 單 調(diào) 區(qū) 域 內(nèi) 部 見 圖 4(b)。 如 果 是 這 樣 ， 在 這 一 點(diǎn) 上 我 們 將 沿 右 適 量域 積 分 線 行 進(jìn) ， 如 圖 4（ c） 所 示 。 這 被 稱 為 行 進(jìn) 的 一 個(gè) 過 渡 。 瞬 態(tài) 積 分 線 相 交于單調(diào)區(qū)間的邊界處 。 如果行進(jìn)期間 ， 一個(gè)置曲線的交點(diǎn)不出現(xiàn) ， 我們繼續(xù)沿著擴(kuò)展單調(diào)區(qū)間的邊界行進(jìn) 。 行進(jìn)一直會(huì)持續(xù)直到我們到達(dá)點(diǎn) L或者它形成一個(gè)置圖 4構(gòu) 建可 達(dá)性 分枝 （ a） 沿左 右適 量域 的集 合（ b） 沿邊 界線 行進(jìn) （ c） 沿右 適量 域行 進(jìn)曲線自交點(diǎn) 。 如果一條置曲線已經(jīng)形成 ， 我們標(biāo)記點(diǎn) r到 l作為一個(gè)失敗和執(zhí)行相同的使用左積分瞬態(tài)曲線的過程。如果兩個(gè)試驗(yàn)失敗 ,我們求助于一個(gè)非常強(qiáng)力 過 程 :我 們 從 起 始 點(diǎn) 各 種 各 樣 的 值 ＠ 求 適 量 域 的 積 分 。 適 量域 的積分線是關(guān)于自由逆轉(zhuǎn)命題 3（ 5） 必要條件 。 這種摸索性的行進(jìn)在大多數(shù)情況下是行之有效的和收斂的 。 然而 ， 自由奇點(diǎn)或者洞的存在阻礙了行進(jìn)過程的普遍性，它是通過一種蠻力過程作為支撐。 我們可以證明，上面的摸索性的行進(jìn)過程發(fā)現(xiàn)正確的可達(dá)性分枝很特殊但是也是一種普遍情況。 命題 9假設(shè)點(diǎn) r和 l,這是終點(diǎn)的前兩個(gè)積分線在行進(jìn)的過程 ,是在最外邊界環(huán)的組件的起點(diǎn)和 u0所屬的擴(kuò)展單調(diào)的區(qū)域。 B區(qū)域被兩條積分線分隔開， LL和 LR，一起分割連接兩個(gè)點(diǎn) r和 l， 從 r到 l順時(shí)針方向的擴(kuò)展單調(diào)區(qū)間 (見表 4)。 如果區(qū)域 B既不包含孔也不包含逆轉(zhuǎn)奇數(shù)點(diǎn) ， 如果行進(jìn)的過程非常地成功 ， 通過行進(jìn)的過程集合的構(gòu)建就是正確的可達(dá)性分枝。 在附錄一給出了證明 。 這個(gè)命題可以用來檢查通過行進(jìn)過程構(gòu)建的集合的有效性。一般情況下對(duì)于孤立的逆轉(zhuǎn)奇異點(diǎn)在區(qū)域 B的邊界上但并不在區(qū)域內(nèi)的情況是有可能的 。 如果從 r到 l的行進(jìn)成功 ， 我們會(huì)檢查構(gòu)建集合時(shí)逆轉(zhuǎn)奇數(shù)點(diǎn)的左射線是否指向區(qū)域 B之外。對(duì)于從 l到 r的行進(jìn)，我們檢查右射線。如果沒有變化的發(fā)生 ,我們檢查逆轉(zhuǎn)奇數(shù)點(diǎn)的自由逆轉(zhuǎn)錐的任何部分是否是指向區(qū)域之外。一但命題 9被理解了 ， 命題 9的擴(kuò)展的證明是非常容易實(shí)現(xiàn)的 。 設(shè)計(jì)一個(gè)行進(jìn)算法處理區(qū)域 B的中間區(qū)域的逆轉(zhuǎn)奇異點(diǎn)是一個(gè)懸而未決的問題。3.3.表面加工的逆轉(zhuǎn)精加工的目標(biāo)是加工一個(gè)二維流形 。 如果我們假設(shè)的切割工具的方向是預(yù)先確 定 的 ,則 對(duì) 于 精 加 工 過 程 ， 任 務(wù) 空 間 尺 寸 是 2。 我 們 能 捕 獲 任 務(wù) 空 間 的 適 量 域的加工路徑家族 。 在這種背景下 ， 我們認(rèn)為任務(wù)空間軌跡只有從給定向量域的流線中選擇 。 如果矢量域的每個(gè)簡(jiǎn)化形式是自由反轉(zhuǎn)軌跡 ， 矢量域就被認(rèn)為是自由反轉(zhuǎn)。 機(jī)床的工作區(qū)間表面能夠用參數(shù)的形式 r(u,v)來指定， r是表面 uv參數(shù)空間的常規(guī)映射，我們通常認(rèn)為是二維任務(wù)空間 U，到三維笛卡爾工作空間 W。我們 需 要 的 刀 具 的 刀 尖 部 分 受 加 工 表 面 和 預(yù) 選 設(shè) 定 好 的 方 向 的 限 制 。 實(shí) 施 這 些 限制，我們可以從加工表面的 uv參數(shù)空間到驅(qū)動(dòng)空間構(gòu)建一個(gè)映射，在 [22]中我們可以發(fā)現(xiàn)更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶幚砟Ｐ汀?在任務(wù)空間中的一個(gè)向量場(chǎng)能抓住一個(gè)流線家族 ， 可以用一個(gè)連續(xù)映射來指定。 現(xiàn)在，在任務(wù)空間 U中給定一個(gè)矢量域 ，任務(wù)空間中的執(zhí)行機(jī)構(gòu)的逆轉(zhuǎn)的候選點(diǎn)可以通過求解以下方程來確定： 在任務(wù)空間這就定義了曲線， [Cij]是眾所周知的反轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的雅可比行列式矩陣 。我們稱這些矢量域的逆轉(zhuǎn)線也是機(jī)床逆轉(zhuǎn)行為的形象化工具 。 在更高的維度任務(wù)空間 ,方程定義了一個(gè)超級(jí)表面。命題 1和 2解釋逆轉(zhuǎn)奇點(diǎn)意義重復(fù)進(jìn)行的任務(wù)。命題 10當(dāng)我們加工一個(gè)表面時(shí) ， 無論給加工表面分配什么樣的適量區(qū)域 ， 一量在任務(wù)空間中出現(xiàn)一個(gè)強(qiáng)的逆轉(zhuǎn)奇異點(diǎn) ， 執(zhí)行機(jī)構(gòu)的逆轉(zhuǎn)就無法避免 。 如果一個(gè)加 工 矢 量 域 的 流 線 型 經(jīng) 過 一 個(gè) 非 強(qiáng) 烈 逆 轉(zhuǎn) 奇 數(shù) 點(diǎn) ， 同 時(shí) 執(zhí) 行 機(jī) 構(gòu) 沒 有 任 何 的 反轉(zhuǎn) ， 流線一定與函數(shù) 的一條分界線相切 ； 這是一種非常特殊的條件 ， 并且很少令人滿意。 因此 ,一旦一個(gè)逆轉(zhuǎn)奇異點(diǎn)出現(xiàn)在任務(wù)空間，相應(yīng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)總是在逆轉(zhuǎn)奇異點(diǎn)反轉(zhuǎn) ； 繪制逆轉(zhuǎn)奇異點(diǎn)是呈現(xiàn)加工反轉(zhuǎn)特征的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方法 ， 因?yàn)樗⒉蝗Q于我們們選擇的向量場(chǎng)。 現(xiàn)在我們陳述一個(gè)相反的命題：命 題 1如 果 在 任 務(wù) 空 間 中 沒 有 逆 轉(zhuǎn) 奇 異 點(diǎn) 并 且 單 調(diào) 區(qū) 間 MP包 含 任 務(wù) 空 間 ， 我們就能用下面的矢量域在沒有任何反轉(zhuǎn)的情況下拂掠任務(wù)空間：這在命題 3中有被提到。這是因?yàn)槭噶坑蛑械氖噶烤拖衩} 3中提到的那樣，保持在自由逆轉(zhuǎn)的圓錐中 。這個(gè)問題的擴(kuò)展是用擴(kuò)展區(qū)域的最小值來彌補(bǔ)任務(wù)空間，當(dāng)我們離散化空間時(shí) ，本質(zhì)上是限制最小值集的彌補(bǔ)問題。 3.4冗余的評(píng)價(jià)對(duì)于冗余機(jī)械，至少概念上我們可以用類似的方式得到自由逆轉(zhuǎn)的可達(dá)性集合 。 在這里 ， 我們用一個(gè)例子來解釋原因 ， 因?yàn)槿哂嗍且粋€(gè)主觀的概念 ， 它的環(huán)境 非 常 重 要 。 通 常 會(huì) 考 慮 用 表 2（ c） 所 展 示 的 6軸 機(jī) 床 加 工 參 數(shù) 化 表 面 插 線 ，r(u,v)。 就像前面一樣 ， 我們假設(shè)切割工具的方向在表面上的每個(gè)點(diǎn)是預(yù)先確定的 。 我們把表面的 uv參數(shù)空間 [0， 1]2作為任務(wù)空間 U。 當(dāng)我們?cè)谌蝿?wù)空間中選擇一個(gè)點(diǎn) （ u,v)時(shí) ， 這個(gè)設(shè)置存在 5個(gè)自由度 ， 三個(gè)是平移另外兩個(gè)是切割工具的方向 。 在前面的討論中 ， 我們假設(shè)了額外的自由度 —— 旋轉(zhuǎn)的工具的旋轉(zhuǎn)軸線—— 是預(yù)先確定的 。 現(xiàn)在 ， 我們讓機(jī)器的移動(dòng)平臺(tái)自由旋轉(zhuǎn) 。 用 表示旋轉(zhuǎn)角度是非常恰當(dāng)?shù)亩x ， 并且選自于一個(gè)集合 ， 我們將考查三元組形成的空間 ，（ u,v,） ,作為擴(kuò)展任務(wù)空間和標(biāo)志性的作為 機(jī)床的逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)從擴(kuò)展任 務(wù) 空 間 到 驅(qū) 動(dòng) 空 間 被 限 制 為 一 個(gè) 映 射 。 一 個(gè) 平 滑 的 映 射r:U— L可 以 被 認(rèn) 為 是 一 個(gè) 冗 余 分 解 器 。 映 射 ， 過 去 被 稱 為限制運(yùn)動(dòng)學(xué)。我們定義自由逆的可達(dá)性集 ， 稱為 ， 擴(kuò)展任務(wù)空間中使用映射的起始 點(diǎn) （ u0,v0,） 就 像 擴(kuò) 展 任 務(wù) 空 間 是 前 面 定 義 的 任 務(wù) 空 間 一 樣 。 我 們 為 所 有可能的旋轉(zhuǎn)角構(gòu)建 ， ’ s， 并參考他們的并集 .自由逆轉(zhuǎn)的可達(dá)性集 ， 稱為 有一個(gè)自由參數(shù) 的任務(wù)空間 U是 到 uv擴(kuò)展任務(wù)空間 V中的 uv任務(wù)空間的簡(jiǎn)單投射 。 實(shí)際上 ， 這能被用于冗余運(yùn)動(dòng)學(xué)下的點(diǎn) 的自由逆轉(zhuǎn)的可達(dá)性集的定義。 其中， 和 。這個(gè)定義暗示了一種構(gòu)建自由逆轉(zhuǎn)可達(dá)性集的方式 ，甚至它對(duì)于高維空間太浪費(fèi)了?？偨Y(jié)的，命 題 12.自 由逆轉(zhuǎn)的可達(dá)性集，先前用 Fu表 示，一個(gè)受限制的逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) fr在 冗余運(yùn)動(dòng)下一定包含于自由逆轉(zhuǎn)的可達(dá)性集合之中，即。 證 據(jù) 直 接 來 自 于 定 義 。 如 果 任 務(wù) 空 間 U中 的 路 徑 在 受 限 制 的 逆 轉(zhuǎn)運(yùn) 動(dòng) fr下 是 自 由 逆 轉(zhuǎn) 運(yùn) 動(dòng) ， 在 擴(kuò) 展 任 務(wù) 空 間 V中 路 徑 在 冗 余 運(yùn) 動(dòng) 學(xué)中 是 自 由 逆 轉(zhuǎn) 運(yùn) 動(dòng) 。 路 徑 上 的 終 止 點(diǎn) 一 定 在 映 射 在 通 過 定 義 包 含 在中的 中。因此，通過選擇一個(gè) “ 好的 ” 冗余分解器而不是以任意的方式選擇它，可能在一個(gè)廣泛的區(qū)域內(nèi)避免執(zhí)行機(jī)構(gòu)逆轉(zhuǎn) 。 然而 ， 它還應(yīng)該提到使用冗余機(jī)床會(huì)增加基本的容易逆轉(zhuǎn)這種情況 ， 相比較于由于增加執(zhí)行機(jī)構(gòu)數(shù)量而產(chǎn)生的非冗余機(jī)床。? 甚至在這個(gè)例子中，我們必須在三維空間中構(gòu)建自由逆轉(zhuǎn)的可達(dá)性集合 ， 這需要大量的計(jì)算和拓?fù)鋸?fù)合體 。 構(gòu)建的一種有效方式的研究是我們未來工作的遞延資產(chǎn)。 4三種機(jī)床的可視化多 種 概 念 是 為 增 強(qiáng) 我 們 對(duì) 機(jī) 床 自 由 逆 轉(zhuǎn) 特 征 的 理 解 在 前 面 部 分 可 視 化 的 演化 。 在這一部分中 ， 我們將列舉表 1中的三種機(jī)床中的自由逆轉(zhuǎn)奇異點(diǎn) ， 自由逆轉(zhuǎn)線和可達(dá)性集合，我們深信它有助于幫助設(shè)計(jì)的高水平?jīng)Q定和機(jī)床的使用 。 此外，我們解釋前面部分用細(xì)節(jié)例子推演的概念。 4.1.機(jī)床和加工表面圖 5（ a） 列舉的三種機(jī)床的 “ 骨架 ” 是串行的 ， 混全的 ， 并行的 。 執(zhí)行機(jī)構(gòu)在相同的圖中都有編號(hào)。我們考查兩個(gè)平面，包括貝塞爾曲線張量積補(bǔ)丁 ;一個(gè)是 平 面 ， 另 一 個(gè) 是 彎 曲 的 表 面 ， 如 圖 5（ b） 所 示 。 表 面 的 實(shí) 際 大 小 比 例 是 針 對(duì)于各自的機(jī)床以便于表面能適應(yīng)設(shè)計(jì)的工作空間 。 對(duì)于串行機(jī)床 ， 表面是關(guān)于 x軸旋轉(zhuǎn)是以避免奇點(diǎn)的垂直姿勢(shì) 。 只要逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)是可以計(jì)算的 ， 平坦的表面被調(diào)整到一個(gè)相對(duì)較大的尺寸 ,這樣可以全方位地觀察。我們將考慮指定工具方向的兩個(gè)正常的表面和垂直的表面盡管表 5列舉了正常用的表面任務(wù) 。 通常我們認(rèn)為精加工過和的任務(wù)空間是二維的。逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)被以一個(gè)映射 給定 ，圖 5機(jī) 床和 加工 表面 （ a） 三種 機(jī)床 表面 的骨 架（ b） 切削 表面 ,N是 執(zhí)行 機(jī)構(gòu) 的數(shù) 量， u和 v是 定義 表面 的參 數(shù) 。 對(duì) 于并 行機(jī) 床 ， 冗 余是 用一 種方 式解 決的 ， 這 種方 式是 如圖 5（ ） 所 示 ，使 固定 在移 動(dòng)平 臺(tái)上 的直 線 ab與 xz平 面平 行。4.2.逆轉(zhuǎn)奇異點(diǎn)逆 轉(zhuǎn) 奇 異 點(diǎn) 能 通 過 同 時(shí) 求 和 計(jì) 算 值 求 得 。 在 圖 6（ a） 中 我 們 說 明 了 一 個(gè) 典 型 的 案 例 ;在 列 舉 的 任 務(wù) 空 間 中 ， 我 們 展 示 了 直 線，直線 和當(dāng)我們用表面的常規(guī)定向加工切削表時(shí)的機(jī)床逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的第四個(gè)部分的水平線。三個(gè)逆轉(zhuǎn)奇異點(diǎn)中的一個(gè)逆轉(zhuǎn)奇異點(diǎn)為強(qiáng) ， 見圖 .6(a).通 過 對(duì) 其 他 執(zhí) 行 機(jī) 構(gòu) 進(jìn) 行 重 復(fù) 相 同 的 過 程 ， 我 們 在 在 任 務(wù) 空 間 中 共 有30個(gè)逆轉(zhuǎn)奇異點(diǎn) ， 如圖 6(a).所示 。 圖 7顯示了我們正在考慮的切削表面的逆轉(zhuǎn)奇異點(diǎn)分布 。 有一個(gè)很普遍的趨勢(shì) ， 那就是逆轉(zhuǎn)奇點(diǎn)的增加是由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)械處理和表面切削的影響 。 特別是 ， 在常規(guī)表面加工中 ， 定位的 “ 波動(dòng) ” 主要有助于逆轉(zhuǎn)奇異點(diǎn)數(shù)量的增加。4.3沿指定軌跡的逆轉(zhuǎn)點(diǎn)。在圖 8中，我們展示了沿指定軌跡的逆轉(zhuǎn)點(diǎn)的數(shù)量。主循環(huán)和圖 8的類似曲線在工作空間中的表面上可以追蹤到 。 可以看出并行機(jī)床比混合機(jī)床存在更多的逆轉(zhuǎn)點(diǎn)。更多的逆轉(zhuǎn)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)于 “ 圖 8” 曲線，而不是循環(huán)曲線。對(duì)于平面，混合機(jī)床存在一個(gè)與這個(gè)系列機(jī)床很相似的一種逆轉(zhuǎn)模式 。 圖 7和圖 8之間的比較說明逆轉(zhuǎn)奇異點(diǎn)的數(shù)量的增加與逆轉(zhuǎn)點(diǎn)數(shù)量的增加有關(guān)。圖 6逆 轉(zhuǎn)奇 異點(diǎn) 的發(fā) 現(xiàn) （ a） 在 uv任 務(wù)空 間或 者參 數(shù)化 空間 中 4軸 連動(dòng) 機(jī)床 表面 常規(guī) 定向 的逆 轉(zhuǎn)奇 異點(diǎn) （ b） 所有 逆轉(zhuǎn) 奇異 點(diǎn)的 分布圖 7逆 轉(zhuǎn)奇 異點(diǎn) 的分 布4.4.加工任務(wù)的逆轉(zhuǎn)線圖 9展示的是在這個(gè)加工任務(wù)的例子中我們考慮的向量場(chǎng)的簡(jiǎn)化。有關(guān)執(zhí)行機(jī) 構(gòu) 的 逆 轉(zhuǎn) 線 可 以 用 方 程 （ 2） 定 義 。 在 圖 9（ b） 中 ， 我 們 展 示 了 在 uv參 數(shù) 空間中與并行機(jī)床第一執(zhí)行機(jī)構(gòu)有關(guān)的逆轉(zhuǎn)線 ， 在圖中用粗體線表示 ； 圓形標(biāo)記放兩 軸同 時(shí)反 轉(zhuǎn) 三 軸同 時(shí)反 轉(zhuǎn) 一 般的 工作 空間圖 8沿 給定 軌跡 上的 逆轉(zhuǎn) 點(diǎn)的 數(shù)量圖 9矢 量域 逆轉(zhuǎn) 線的 發(fā)現(xiàn) （ a） 適 量域 的流 線 （ b） uv參 數(shù)空 間執(zhí) 行機(jī) 構(gòu)的 逆轉(zhuǎn) 線 (c)表 面上所 有的 逆轉(zhuǎn) 線 置 于 逆 轉(zhuǎn) 奇 異 點(diǎn) ， 虛 線 是 逆 轉(zhuǎn) 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 中 的 每 一 元 素 的 水 平 線 。 這 是 可 以看出的 ， 經(jīng)過逆轉(zhuǎn)奇異點(diǎn)和水平線的逆轉(zhuǎn)線是與逆轉(zhuǎn)線每一點(diǎn)的流線相切 。 對(duì)于其他執(zhí)行機(jī)構(gòu)通過求解同一個(gè)方程，我們能設(shè)想一套完整的加工任務(wù)逆轉(zhuǎn)線 ， 如圖 9（ c）所示。在圖 10中 ， 我們展示了逆轉(zhuǎn)線的各種情況 ； 逆轉(zhuǎn)線很好的表示了機(jī)床逆轉(zhuǎn)行為的復(fù)雜性 。 像我們之前的比較一樣 ， 我們可以看到更多全并行逆轉(zhuǎn)機(jī)床逆轉(zhuǎn)線的復(fù)雜模式 。 然而 ， 在表面常規(guī)的切削面加工中 ， 這一缺點(diǎn)還不是很清楚 ； 在這種情況下 ， 三種機(jī)床都逆轉(zhuǎn)相當(dāng)復(fù)雜的模式 。 正如命題 5暗示的那樣 ， 對(duì)于執(zhí)行機(jī)構(gòu)逆轉(zhuǎn)，環(huán)形陳列加工路徑比大部分的平行路徑更容易。圖 10各 種情 況下 的逆 轉(zhuǎn)線在圖 10中，我們很少發(fā)現(xiàn)逆轉(zhuǎn)加工表面成功的案例。他們能通過命題 11被解 釋 。 例 如 ， 我 們 認(rèn) 為 并 行 機(jī) 床 的 自 由 逆 轉(zhuǎn) 加 ， 是 由 水 平 加 工 路 徑 構(gòu) 成 ， 如 圖10的右下角所示 。 圖 11展示了并行機(jī)床的單調(diào)區(qū)間中樣本點(diǎn)的數(shù)量以及其中的相應(yīng)的自由逆轉(zhuǎn)錐 。 我們發(fā)現(xiàn)了自由逆轉(zhuǎn)錐的顯示框的單調(diào)區(qū)間的所有水平線切線向量，如圖 11所示。因此，我們可以在沒有發(fā)生逆轉(zhuǎn)的情況下加工顯示框中的單調(diào)區(qū)間 。 如果工作空間如同單調(diào)區(qū)域中的顯示框的集合那樣 ， 如圖 11所示 ，水平線能在沒有逆轉(zhuǎn)的情況下橫穿工作空間。 4.5.自由反轉(zhuǎn)的可達(dá)性集我們考慮使用連軸機(jī)床進(jìn)行表面的常規(guī)切削加工 ， 如圖 5（ a） 所示 。 在圖 12（ a）中，我們列舉了單調(diào)區(qū)間中的自由逆轉(zhuǎn)錐和其中心相應(yīng)的可達(dá)性分枝，由相應(yīng)的加工過程構(gòu)成 。 重復(fù)相同的其他執(zhí)行機(jī)構(gòu)的排列 ， 我們可以構(gòu)建他們集合的可達(dá)性集 ， 如命題 7所陳述的那樣 ， 見圖 12（ b） 。 每一個(gè)分枝都被注明在圖中 。 相應(yīng)的可達(dá)性集合被展示于 12（ c） 中 。 特別適合使用并行加工工具加工平面的表面 ， 我們可以一只尺子和一個(gè)圓規(guī)構(gòu)建機(jī)床的自由逆轉(zhuǎn)的可達(dá)性 ， 見于 圖13。圖 1自 由逆 轉(zhuǎn)加 工圖 12可 達(dá)性 集合 的發(fā) 現(xiàn) （ a） 在 擴(kuò)展 單調(diào) 區(qū)間 和相 應(yīng)可 達(dá)性 分枝 中的 自由 逆轉(zhuǎn) 錐 （ b） 可 達(dá)性 分枝 集合 的構(gòu) 成如 同參 數(shù)空 間中 可達(dá) 性分 枝的 集合 （ c） 任務(wù) 空間 中的 可達(dá) 性集 合我們制作了圖 14中全部三種機(jī)床的可達(dá)性集合的表格 。 可以知道垂直的或者固定方向比表面常規(guī)方向會(huì)產(chǎn)生更寬的可達(dá)性集合 。 使用連軸機(jī)床 ， 我們能達(dá)到如同使用沒有逆轉(zhuǎn)的串行機(jī)床幾科一樣的寬度 。 另一方面 ， 可以看出并行機(jī)床可以到達(dá)工作區(qū)內(nèi)更小的區(qū)域。圖 13僅 使用 一只 尺子 和一 個(gè)圓 規(guī)構(gòu) 建并 行機(jī) 床可 達(dá)性 集合圖 14自 由逆 轉(zhuǎn)的 可達(dá) 性集 合5.結(jié)論 在本文中 ， 我們調(diào)查了機(jī)床運(yùn)動(dòng)副相對(duì)運(yùn)動(dòng)的逆轉(zhuǎn) 。 我們更新了相關(guān)的概念 ，它們分別是 ： 逆轉(zhuǎn)奇異點(diǎn) ， 沿指定軌跡的逆轉(zhuǎn)點(diǎn) ， 自由逆轉(zhuǎn)錐 ， 切削任務(wù)的逆轉(zhuǎn)線和自由逆轉(zhuǎn)可達(dá)性集全 。 然而 ， 我們使他們對(duì)各種機(jī)床各種定向模式和表面形象化。此外，我們簡(jiǎn)要討論了可視化的算法和相關(guān)性能的開發(fā)理念。 我們得出結(jié)論 ， 增加運(yùn)動(dòng)副逆轉(zhuǎn)逆轉(zhuǎn)靈敏度的因素在于運(yùn)動(dòng)副同時(shí)運(yùn)動(dòng)的 “ 曲率 ” ， 刀具定向的模式和表面的曲率以及軌跡 。 在很大程度上 ， 相比于串行和連軸機(jī)床 ， 并行機(jī)床擁有較弱的自逆能力 ， 特別是對(duì)于簡(jiǎn)單的表面 — 例如 ， 平面 —幾何形狀 。 對(duì)于 “ 復(fù)雜的 ” 情況 — 例如 ， 如果所有的軸都同時(shí)沿著切削表面移動(dòng)— 所有的三臺(tái)機(jī)床都顯示了很高的聯(lián)合逆轉(zhuǎn)靈敏度，優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)還不是很清楚 。我們對(duì)于未來研究的幾個(gè)主題很感興趣 ， 其中包括 ： （ 1） 考慮驅(qū)動(dòng)動(dòng)副的擴(kuò)展工作，（ 2）發(fā)現(xiàn)刀具的定向以便自由逆轉(zhuǎn)加工路徑存在的情況下能被注意到這個(gè)問題，（ 3）逆轉(zhuǎn)特征與必要的執(zhí)行機(jī)構(gòu)加速或者轉(zhuǎn)矩之間的關(guān)系，（ 4） 逆轉(zhuǎn)引起的不良影響大小的量化，（ 5）應(yīng)用我們的成果于特定機(jī)床的設(shè)計(jì)之上，使刀具的路徑規(guī)劃更精確，以及選擇最適合某個(gè)特定加工任務(wù)的機(jī)床。鳴謝 我們感謝美國(guó)宇航局和美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金會(huì)提供資金，合同 #DMI9912558.附錄 A命 題 9的 證明 我們將證明命題僅對(duì)于 r到 l的行進(jìn)這個(gè)種情況成立。另一個(gè)情況可以用相同的方式證明 。 除此之外 ， 我們?cè)谛羞M(jìn)過程中少于兩種轉(zhuǎn)換發(fā)生時(shí)會(huì)考慮這種情況。證明不止是一個(gè)轉(zhuǎn)換源自于一個(gè)轉(zhuǎn)換案例。 令 C為通過加工過程的構(gòu)建區(qū)域。案 例 一 ： 沒 有 轉(zhuǎn) 換 的 發(fā) 生 。 一 種 典 型 的 案 例 ， 見 于 圖 15（ a） .(*)因 為 行 進(jìn)過 程 成 立 ， 沒 有 轉(zhuǎn) 換 發(fā) 生 ， 退 化 錐 一 定 指 向 構(gòu) 建 錐 區(qū) 域 C之 外 。 取 任 一 一 點(diǎn) u.從 點(diǎn) u,我 們 使 “ 逆 轉(zhuǎn) ” 左 矢 量 區(qū) 域 成 為 一 個(gè) 整 體 ， 直 到 流 線 與 區(qū) 域 C的 邊 界 相交 。 一 個(gè) 典 型 的 逆 轉(zhuǎn) 左 矢 量 域 見 于 圖 15（ b） .流 線 只 有 通 過 右 邊 的 初 始 積 分 線LR才能退出區(qū)域 C， 因?yàn)槭噶坑蚺c L正切 ， 我們僅有沿著其余邊界部分的交集由于 (*)和區(qū)域中沒有奇數(shù)點(diǎn) 。 令 u1為退出點(diǎn) 。 因?yàn)?u1在初始右積分線上 ， u1在圖 15命 題 9的 證明 （ a） 案例 一： 沒有 過渡 （ b） 逆轉(zhuǎn) 左矢 量域 （ c） 案例 二： 一個(gè) 過渡沒 有 逆 轉(zhuǎn) 的 情 況 下 是 可 以 從 u0中 求 得 的 。 在 另 一 方 面 ， 沒 有 逆 轉(zhuǎn) 沿 著 構(gòu) 造 線 u是可以從 u1是求得的 。 因此我們用源自 u0的自由逆轉(zhuǎn)方式證明 C中的任何點(diǎn)都是可求的。換言之， C是可達(dá)性分枝的子集?，F(xiàn) 在 ， 我 們 證 明 是 分 枝 的 一 個(gè) 子 集 。 對(duì) 于 任 何 自 由 逆 軌 跡 L， 退 出 區(qū) 域 C起 始 于 點(diǎn) u0， 退 出 點(diǎn) 僅 被 允 許 位 于 擴(kuò) 展 單 調(diào) 區(qū) 域 的 邊 界 上 ， 因 為 在 初 始 積 分 線上的自由逆轉(zhuǎn)錐是指向區(qū)域 C之內(nèi)的 。 任何開放性的退出點(diǎn)的領(lǐng)域都包含一個(gè)任何有有規(guī)律的位于擴(kuò)展單調(diào)區(qū)域之處的軌跡延長(zhǎng)線上的點(diǎn) ， 因?yàn)橥顺鳇c(diǎn)位于擴(kuò)展單調(diào)區(qū)域的邊界上。因此，軌跡 L不能以逆轉(zhuǎn)的方式擴(kuò)展越過退出點(diǎn)。換言之 ，任何自由逆轉(zhuǎn)的軌跡都應(yīng)該位于區(qū)域 C之中。這證明了我們第二部分的證明。通過 和 ，我們的命題 是對(duì)案例一的證明。案 例 二 ： 過 渡 的 出 現(xiàn) 。 一 種 典 型 的 情 況 展 示 于 圖 15（ C） 。 構(gòu) 造 區(qū) 域 C的 邊界由 LR， L， 過渡曲線 LT和兩段擴(kuò)展單調(diào)區(qū)域邊界線構(gòu)成 ， 我們用 L1和 L2表示 。那些都被顯示于圖 15（ c） 中 。 在 L1和 L2上 ， 退化錐必須指向擴(kuò)展區(qū)域 C的外面 ， 僅在那兩條線上的自由逆轉(zhuǎn)錐指向擴(kuò)展單調(diào)區(qū)域的外面 。 L是沿著逆轉(zhuǎn)右矢量域僅有的部分 --允許退出。（ *） 和 （ **） 是 對(duì) 于 案 例 一 唯 一 的 對(duì) 擴(kuò) 展 我 們 的 證 明 的 額 外 必 要 性 。 對(duì) 于， 我們對(duì)案例一我們構(gòu)造逆轉(zhuǎn)右矢量域和遵循相同的論證 。 對(duì)于 我們也使用基于（ *）的相同論證。參考文獻(xiàn)[1]斯 洛 克 姆 《 精 密 機(jī) 械 設(shè) 計(jì) 》 ,上 海 譯 文 出 版 社 ,恩 格 爾 伍 德 克 里 夫 斯 ， 新 澤西 ,1992年。[2]美國(guó)南部，拉德克利夫，邁克爾，《魯棒非線性粘滑運(yùn)動(dòng)摩擦補(bǔ)償》美國(guó)工程師協(xié)會(huì)動(dòng)力系統(tǒng)，測(cè)量和控制期刊 113(1991)639– 645。[3]喬治 《非線性控制的應(yīng)用》普倫蒂斯霍爾出版社 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