從系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)ppt課件

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2 6從系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù) 陣 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程和系統(tǒng)傳遞函數(shù) 陣 是控制系統(tǒng)兩種經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)模型 動(dòng)態(tài)方程不但體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入輸出的關(guān)系 而且還清楚地表達(dá)了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量的關(guān)系 相比較 傳遞函數(shù)只體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系 我們已知道 從傳遞函數(shù)到動(dòng)態(tài)方程是個(gè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的問題 這是一個(gè)比較復(fù)雜的并且是非唯一的過程 但從動(dòng)態(tài)方程到傳遞函數(shù) 陣 卻是一個(gè)唯一的 比較簡單的過程 1 已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中x t 系統(tǒng)n維狀態(tài)向量 u t 系統(tǒng)r維輸入向量 y t 系統(tǒng)m維輸出向量 2 對(duì)上式兩端取拉氏變換 可得 設(shè)初始條件x 0 0 則有 傳遞函數(shù)陣 3 W S 為一個(gè)m r的傳遞函數(shù)陣 即 其中 wij s 為一標(biāo)量傳遞函數(shù) 它表示第j個(gè)系統(tǒng)輸入對(duì)第i個(gè)系統(tǒng)輸出的傳遞作用 4 對(duì)于單輸入單輸出 SISO 系統(tǒng) 按上式求出的W s 為系統(tǒng)的標(biāo)量傳遞函數(shù) 可表示為 當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)無零極點(diǎn)對(duì)消時(shí) 有 5 1 系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式等于傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式 2 傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是A的特征值 由于系統(tǒng)狀態(tài)變量的選擇不惟一 故建立的系統(tǒng)狀態(tài)表達(dá)式也不是惟一的 但是同一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣卻是惟一的 6 補(bǔ)例 已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為試求其傳遞函數(shù)陣 7 解 傳遞函數(shù)陣為 8 例2 14 求下列動(dòng)態(tài)方程的傳遞函數(shù) 解 9 在MATLAB中 用SS2TF語句可以直接求出W S A 110 0 10 00 2 B 2 1 1 C 462 D 0 NUM DEN ss2tf A B C D end 10 2 7離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 離散時(shí)間系統(tǒng)就是系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)只在某些離散時(shí)刻取值的系統(tǒng) 與離散時(shí)間系統(tǒng)相關(guān)的數(shù)學(xué)方法有差分方程 信號(hào)Z變換 以及系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 離散時(shí)間系統(tǒng)一般用差分方程表示其輸入和輸出信號(hào)的關(guān)系 11 設(shè)系統(tǒng)n階差分方程為 表示時(shí)刻 為采樣周期 分別為時(shí)刻的輸入 輸出 表征系統(tǒng)特征的常系數(shù) 系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為輸出信號(hào)的Z變換與輸入信號(hào)的Z變換之比 與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)傳遞函數(shù)在形式上相同 12 同連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)一樣 由離散時(shí)間系統(tǒng)差分方程或脈沖傳遞函數(shù)求取離散狀態(tài)空間表達(dá)式的過程叫做離散系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn) 離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程一般形式為 式中x k 系統(tǒng)的n維狀態(tài)向量 u k 系統(tǒng)的r維輸入向量 控制向量 y k 系統(tǒng)的m維輸出向量 G k n n線性離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣 H k n r線性離散系統(tǒng)的控制矩陣 C k m n線性離散系統(tǒng)的輸出矩陣 D k m r線性離散系統(tǒng)的直接傳輸矩陣 13 如果G k H k C k D k 均為常數(shù)矩陣 上式就變?yōu)榫€性定常離散系統(tǒng) 其狀態(tài)空間表達(dá)式為 14 方塊圖表示如圖 單位延遲環(huán)節(jié) 具有T秒的時(shí)間延遲 15 差分方程式化為狀態(tài)空間表達(dá)式1 差分方程的輸入函數(shù)為bu k 時(shí)設(shè)系統(tǒng)的差分方程為選取狀態(tài) 16 則高階差分方程可化為一階差分組 17 寫成向量方程形式 得 18 或其中 19 2 差分方程的輸入函數(shù)包含u k u k 1 時(shí)設(shè)系統(tǒng)差分方程為 20 21 可選擇如下一組狀態(tài)變量 22 或 23 例 已知離散系統(tǒng)的差分方程為 試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 解 選狀態(tài)變量 24 則狀態(tài)空間表達(dá)式 25 脈沖傳遞函數(shù)化為狀態(tài)空間表達(dá)式 線性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為它可仿照連續(xù)系統(tǒng)的部分分式法來建立離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 26 2 8MATLAB在狀態(tài)空間分析法中的應(yīng)用 27 一 系統(tǒng)的模型 1 傳遞函數(shù)模型 設(shè)單輸入單輸出 SISO 連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 G s 28 在MATLAB中 可用傳遞函數(shù)分子 分母多項(xiàng)式按s的降冪系數(shù)排列的行向量 即 來描述上式所示傳遞函數(shù)G s 的多項(xiàng)式模型 而由命令函數(shù)tf 則可建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型TF 其調(diào)用格式為 sys tf num den 其中 num den分別是傳遞函數(shù)分子 分母多項(xiàng)式系數(shù)行向量 且系數(shù)均按s的降冪排列 29 設(shè)單輸入單輸出離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 G z 在MATLAB中 對(duì)于離散系統(tǒng)同樣可用tf 命令建立其脈沖傳遞函數(shù)模型 調(diào)用格式為 num cm cm 1 c1 c0 den an an 1 a1 a0 sys tf num den Ts 其中 Ts為系統(tǒng)采樣周期 30 另外 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)還可表示成零極點(diǎn)形式 即 G s 在MATLAB中 可用傳遞函數(shù)的零點(diǎn)向量 極點(diǎn)向量及增益 即 描述傳遞函數(shù)G s 的零極點(diǎn)模型 而由命令函數(shù)zpk 則可建立零極點(diǎn)模型ZPK 其調(diào)用格式為 31 2 狀態(tài)空間模型 r維輸入 m維輸出的MIMO系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 式中 x y u分別為n 1 m 1 r 1的列向量 A B C D分別為n n n r m n m r的常數(shù)矩陣 32 在MATLAB中 只要按照矩陣輸入方式建立式系統(tǒng)相應(yīng)的系數(shù)矩陣 即 A a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann B b11 b12 b1r b21 b22 b2r bn1 bn2 bnr C c11 c12 b1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmm D d11 d12 d1r d21 d22 d2r dm1 bm2 bmr 即可描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 而由命令函數(shù)ss 則可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型SS 其調(diào)用格式為 33 對(duì)定常離散系統(tǒng) 在按常數(shù)矩陣輸入方式建立系數(shù)矩陣G H C D后 同樣調(diào)用 則可建立離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 其中 Ts為系統(tǒng)采樣周期 34 二 系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)換 1 狀態(tài)空間表達(dá)式向傳遞函數(shù)形式的轉(zhuǎn)換 MATLAB提供了模型轉(zhuǎn)換函數(shù) 可以完成系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換 利用ss2tf 函數(shù)可由系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式求其傳遞函數(shù) 陣 對(duì)SISO系統(tǒng) ss2tf 的調(diào)用格式為 num den ss2tf A B C D 執(zhí)行以上語句 可實(shí)現(xiàn)將描述為 A B C D 的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型中各系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型中分子 分母多項(xiàng)式系數(shù)行向量num den 35 對(duì)多輸入系統(tǒng) ss2tf 的調(diào)用格式為 num den ss2tf A B C D iu 其中 iu用于指定變換所使用的輸入量 iu默認(rèn)則為單輸入情況 36 與ss2tf 類似 應(yīng)用MATLAB函數(shù)ss2zp 可由系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式求其零極點(diǎn)模型的參數(shù) z p k 對(duì)SISO系統(tǒng) ss2zp 的調(diào)用格式為 z p k ss2zp A B C D 而對(duì)多輸入系統(tǒng) 其調(diào)用格式為 z p k ss2zp A B C D iu 37 2 傳遞函數(shù)到狀態(tài)空間表達(dá)式的變換 利用MATLAB函數(shù)tf2ss zp2ss 可分別由多項(xiàng)式形式 零極點(diǎn)形式的傳遞函數(shù)求其狀態(tài)空間模型中的各系數(shù)矩陣 其調(diào)用格式分別為 A B C D tf2ss num den A B C D zp2ss z p k 上面兩條語句分別由已知的 num den z p k 經(jīng)模型轉(zhuǎn)換返回狀態(tài)空間表達(dá)式中各系數(shù)矩陣 A B C D 38 三 系統(tǒng)的非奇異變換與標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式 1 系統(tǒng)的非奇異變換 MATLAB中函數(shù)ss2ss 可實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的非奇異變換 其調(diào)用格式為 GT ss2ss G T 其中G GT分別為變換前 后系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 T為非奇異變換陣 或?yàn)?At Bt Ct Dt ss2ss A B C D T 其中 A B C D At Bt Ct Dt 分別為變換前 后系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的系數(shù)陣 T為非奇異變換陣 39 2 標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的實(shí)現(xiàn) MATLAB提供了標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的實(shí)現(xiàn)函數(shù)canon 其調(diào)用格式為 G1 canon sys type 40 若系統(tǒng)模型sys為對(duì)應(yīng)狀態(tài)向量x的狀態(tài)空間模型 可應(yīng)用函數(shù)canon 將其變換為在新的狀態(tài)向量下的標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式 其調(diào)用格式為 G1 P canon sys type 其中 sys為原系統(tǒng)狀態(tài)空間模型 P是返回的非奇異變換陣 滿足 關(guān)系 或?yàn)?At Bt Ct Dt P canon A B C D type 其中 A B C D 為對(duì)應(yīng)x的原系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的系數(shù)陣 At Bt Ct Dt 則為對(duì)應(yīng)新狀態(tài)向量 仍滿足 的標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間模型的系數(shù)陣 41 以上函數(shù)canon 調(diào)用中的字符串type確定標(biāo)準(zhǔn)型類型 它可以是模態(tài) modal 標(biāo)準(zhǔn)型 也可以是伴隨 companion 標(biāo)準(zhǔn)型形式 42 本章總結(jié)1 介紹了有關(guān)狀態(tài)空間描述的基本概念 狀態(tài)變量 狀態(tài)矢量 狀態(tài)空間 狀態(tài)方程 輸出方程 狀態(tài)空間表達(dá)式 2 介紹了狀態(tài)空間表達(dá)式建立的多種方法 由系統(tǒng)的物理或化學(xué)機(jī)理出發(fā)推導(dǎo)狀態(tài)空間表達(dá)式 由控制系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系求出狀態(tài)空間表達(dá)式 由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式 由傳遞函數(shù)求狀態(tài)空間表達(dá)式 由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖導(dǎo)出狀態(tài)空間表達(dá)式 43 3 系統(tǒng)狀態(tài)方程的線性變換 基本知識(shí)及概念 狀態(tài)方程的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式 對(duì)角式 約當(dāng)式 將狀態(tài)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式的方法4 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 差分方程的輸入函數(shù)中不包含差分的情況 差分方程的輸入函數(shù)中包含差分的情況 44