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第二章 推理與證明
章末檢測卷
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．證明：<1＋＋＋＋…＋
1)，當n＝2時，中間式子等于( )
A．1 B．1＋
C．1＋＋ D．1＋＋＋
解析：n＝2時中間式子的最后一項為，所以中間子式為1＋＋＋.
答案：D
2．用反證法證明命題：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一個能被3整除”時，假設應為( )
A．a(chǎn)，b都能被3整除
B．a(chǎn)，b都不能被3整除
C．a(chǎn)，b不都能被3整除
D．a(chǎn)不能被3整除
解析：反證法證明命題時，應假設命題的反面成立．“a，b中至少有一個能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故應假設a，b都不能被3整除．
答案：B
3．下列推理正確的是( )
A．把a(b＋c)與loga(x＋y)類比，則有：loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)與sin(x＋y)類比，則有：sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把(ab)n與(x＋y)n類比，則有：(x＋y)n＝xn＋yn
D．把(a＋b)＋c與(xy)z類比，則有：(xy)z＝x(yz)
解析：A中類比的結果應為loga(xy)＝logax＋logay，B中如x＝y(tǒng)＝時不成立，C中如x＝y(tǒng)＝1時不成立，D中對于任意實數(shù)分配律成立．
答案：D
4．若a>0，b>0，則有( )
A.>2b－a B.<2b－a
C.≥2b－a D.≤2b－a
解析：∵－(2b－a)＝＝≥0，∴≥2b－a.
答案：C
5．證明命題：“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函數(shù)”．現(xiàn)給出的證法如下：因為f(x)＝ex＋，所以f′(x)＝ex－.因為x>0，所以ex>1,0<<1.所以ex－>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，使用的證明方法是( )
A．綜合法 B．分析法
C．反證法 D．以上都不是
解析：這是從已知條件出發(fā)利用已知的定理證得結論的，是綜合法，故選A.
答案：A
6．下面是一段“三段論”推理過程：若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導且單調(diào)遞增，則在(a，b)內(nèi)，f′(x)>0恒成立．因為f(x)＝x3在(－1,1)內(nèi)可導且單調(diào)遞增，所以在(－1,1)內(nèi)，f′(x)＝3x2>0恒成立．以上推理中( )
A．大前提錯誤 B．小前提錯誤
C．結論正確 D．推理形式錯誤
解析：f(x)在(a，b)內(nèi)可導且單調(diào)遞增，則在(a，b)內(nèi)，f′(x)≥0恒成立，故大前提錯誤．故選A.
答案：A
7．用數(shù)學歸納法證明“5n－2n能被3整除”的第二步中，當n＝k＋1時，為了使用假設，應將5k＋1－2k＋1變形為( )
A．(5k－2k)＋45k－2k
B．5(5k－2k)＋32k
C．(5－2)(5k－2k)
D．2(5k－2k)－35k
解析：5k＋1－2k＋1＝5k5－2k2＝5k5－2k5＋2k5－2k2＝5(5k－2k)＋32k.
答案：B
8．將平面向量的數(shù)量積運算與實數(shù)的乘法運算相類比，易得下列結論：
①ab＝ba；
②(ab)c＝a(bc)；
③a(b＋c)＝ab＋ac；
④由ab＝ac(a≠0)可得b＝c，
則正確的結論有( )
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
解析：平面向量的數(shù)量積的運算滿足交換律和分配律，不滿足結合律，故①③正確，②錯誤；由ab＝ac(a≠0)得a(b－c)＝0，從而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④錯誤．
答案：B
9．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：記an＋bn＝f(n)，則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
答案：C
10．數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝1－，則a2 017等于( )
A. B．－1
C. 2 D．3
解析：∵a1＝，an＋1＝1－，
∴a2＝1－＝－1，
a3＝1－＝2，
a4＝1－＝，
a5＝1－＝－1，
a6＝1－＝2，
∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)
∴a2 017＝a1＋3672＝a1＝.
答案：A
11．已知a＋b＋c＝0，則ab＋bc＋ca的值( )
A．大于0 B．小于0
C．不小于0 D．不大于0
解析：因為(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝0，
又因為a2＋b2＋c2≥0.所以2(ab＋bc＋ac)≤0.故選D.
答案：D
12．如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為(n≥2)，每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，則第7行第4個數(shù)(從左往右數(shù))為( )
A. B.
C. D.
解析：由“第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為”可知，第7行第1個數(shù)為，由“每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和”可知，第7行第2個數(shù)為－＝.同理易知，第7行第3個數(shù)為－＝，第7行第4個數(shù)為－＝.故選A.
答案：A
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)
13．已知x，y∈R，且x＋y>2，則x，y中至少有一個大于1，在用反證法證明時，假設應為________．
解析：“至少有一個”的反面為“一個也沒有”即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．
答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)
14．觀察下列不等式
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
…
照此規(guī)律，第五個不等式為________________________________________________________________________．
解析：先觀察左邊，第一個不等式為2項相加，第二個不等式為3項相加，第三個不等式為4項相加，則第五個不等式應為6項相加，右邊分子為分母的2倍減1，分母即為所對應項數(shù)，故應填1＋＋＋＋＋<.
答案：1＋＋＋＋＋<
15．若三角形的周長為L，面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則有r＝，類比此結論，在四面體中，設其表面積為S，體積為V，內(nèi)切球半徑為R，則有________．
解析：三角形可分解為三個以內(nèi)切圓圓心為頂點的三角形，于是有Lr＝S，即r＝，四面體可分解為四個以四面體各面為底面，內(nèi)切球球心為頂點的三棱錐．于是SR＝V，即R＝.
答案：R＝
16．用數(shù)學歸納法證明某不等式時，其左邊＝1－＋－＋…＋－，則從“n＝k到n＝k＋1”應將左邊加上________．
解析：f(k)＝1－＋－＋…＋－，f(k＋1)＝1－＋－＋…＋－＋－，
∴f(k＋1)－f(k)
＝－.
答案：－
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(10分)把下面在平面內(nèi)成立的結論類比地推廣到空間，并判斷類比的結論是否成立．
(1)如果一條直線和兩條平行線中的一條相交，則必和另一條相交；
(2)如果兩條直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行．
解析：(1)類比為：如果一個平面和兩個平行平面中的一個相交，則必和另一個相交．
結論是正確的，證明如下：設α∥β，且γ∩α＝a，則必有γ∩β＝b，若γ與β不相交，則必有γ∥β.
又α∥β，∴α∥γ，與γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.
(2)類比為：如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面互相平行，結論是錯誤的，這兩個平面也可能相交．
18．(12分)已知a>0，b>0，用分析法證明：≥.
證明：因為a>0，b>0，
要證≥，
只要證，(a＋b)2≥4ab，
只要證(a＋b)2－4ab≥0，
即證a2－2ab＋b2≥0，
而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，
故≥成立．
19．(12分)已知a1＋a2＋a3＋a4>100，求證a1，a2，a3，a4中至少有一個數(shù)大于25.
解析：假設a1，a2，a3，a4均不大于25，
即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，
則a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，
這與已知a1＋a2＋a3＋a4>100矛盾，故假設錯誤．
所以a1，a2，a3，a4中至少有一個數(shù)大于25.
20．(12分)△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C與a，b，c都成等差數(shù)列，求證△ABC為正三角形．
證明：因為A，B，C成等差數(shù)列，
所以2B＝A＋C，①
又A＋B＋C＝π，②
由①②得B＝.③
又a，b，c成等差數(shù)列，
所以b＝，④
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，⑤
將③④代入⑤得
2＝a2＋c2－2ac.
化簡得a2－2ac＋c2＝0，
即(a－c)2＝0，所以a＝c，⑥
由④⑥得a＝b＝c，
所以△ABC為正三角形．
21．(12分)某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)．
(1)sin213＋cos217－sin13cos17.
(2)sin215＋cos215－sin15cos15.
(3)sin218＋cos212－sin18cos12.
(4)sin2(－18)＋cos248－sin(－18)cos48.
(5)sin2(－25)＋cos255－sin(－25)cos55.
①試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；
②根據(jù)①的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結論．
解析：①選擇(2)式計算如下sin215＋cos215－sin15cos15＝1－sin30＝.
②三角恒等式為
sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α)
＝.
證明如下：sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α)＝sin2α＋(cos30cosα＋sin30sinα)2－sinα(cos30cosα＋sin30sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
22．(12分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足an＝，且a1＝.
(1)求a2，a3；
(2)猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明．
解析：(1)a2＝＝，又a1＝，
則a2＝，類似地，求得a3＝.
(2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，猜想an＝.
用數(shù)學歸納法證明如下：
①當n＝1時，由(1)可知猜想成立；
②假設當n＝k(k∈N*且k≥2)時猜想成立，
即ak＝＝.
則當n＝k＋1時，ak＋1＝，
∴Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)＝，
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，
∴ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－，
∴k(2k＋3)ak＋1＝，
∴ak＋1＝
＝.
∴由n＝k＋1時猜想也成立．
由①②可知，猜想對任何n∈N*都成立．
∴{an}的通項公式為an＝.
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