2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù) 1 變化的快慢與變化率學(xué)案 北師大版選修1 -1.doc

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1 變化的快慢與變化率 平均變化率 某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如下： x(min) 0 10 20 30 40 50 60 y(℃) 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.8 問題1：試比較時間x從0 min到20 min和從20 min到30 min體溫變化情況，哪段時間體溫變化較快？ 提示：從20 min到30 min變化快． 問題2：如何刻畫體溫變化的快慢？ 提示：用平均變化率． 問題3：平均變化率一定為正值嗎？ 提示：不一定．可正，可負(fù)，可為零． 平均變化率 (1)定義：對一般的函數(shù)y＝f(x)來說，當(dāng)自變量x從x1變?yōu)閤2時，函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2)，它的平均變化率為. 其中自變量的變化x2－x1稱作自變量的改變量，記作Δx，函數(shù)值的變化f(x2)－f(x1)稱作函數(shù)值的改變量，記作Δy.這樣，函數(shù)的平均變化率就可以表示為函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，即＝. (2)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢. 瞬時變化率 王先生于近日接到了一份交通違規(guī)處罰單，原因是上月某周日在一限速70 km/h的路段超速行駛．王先生正上初中的兒子說：“一定是交警叔叔搞錯了，那段路正好長60 km，我們用了一個小時，您當(dāng)時還問我這段路我們的平均速度呢！” 問題1：限速70 km/h是指的平均速度不超過70 km/h嗎？　 提示：不是，是指瞬時速度． 問題2：瞬時速度與平均速度有何區(qū)別？ 提示：瞬時速度刻畫的是物體在某一時刻運動的快慢；平均速度刻畫的是物體在一段時間內(nèi)運動的快慢． 問題3：王先生在該路段平均速度為60 km/h，是否可能超速行駛？ 提示：有可能． 瞬時變化率 (1)定義：對于一般的函數(shù)y＝f(x)，在自變量x從x0變到x1的過程中，設(shè)Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，則函數(shù)的平均變化率是＝＝.而當(dāng)Δx趨于0時，平均變化率就趨于函數(shù)在x0點的瞬時變化率． (2)作用：刻畫函數(shù)在一點處變化的快慢． 1.＝為平均變化率，其中Δx可正、可負(fù)，不能為零． 2．瞬時變化率的實質(zhì)是當(dāng)平均變化率中自變量的改變量趨于0時的值． 求平均變化率 [例1]　求函數(shù)y＝x3在x0到x0＋Δx之間的平均變化率，并計算當(dāng)x0＝1，Δx＝時平均變化率的值． [思路點撥]　直接利用定義求平均變化率，先求出表達式，再代入數(shù)據(jù)，就可以求出相應(yīng)平均變化率的值． [精解詳析]　Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝(x0＋Δx)3－x ＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3， ∴函數(shù)y＝x3在x0到x0＋Δx之間的平均變化率為： ＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2. 當(dāng)x0＝1，Δx＝時， 平均變化率的值為312＋31＋()2＝. [一點通]　 求平均變化率的步驟是： (1)先計算函數(shù)值的改變量Δy＝f(x1)－f(x0)； (2)再計算自變量的改變量Δx＝x1－x0； (3)求平均變化率＝. 1．在平均變化率的定義中，自變量的增量Δx滿足(　　) A．Δx＞0　　　　　　　　　 B．Δx＜0 C．Δx≠0 D．Δx＝0 答案：C 2．一物體的運動方程是s＝3＋t2，則在一小段時間[2,2.1]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為(　　) A．0.41　　　　 B．3　　　　 C．4　　　　 D．4.1 解析：＝＝4.1. 答案：D 3．求函數(shù)y＝f(x)＝－2x2＋5在區(qū)間[2,2＋Δx]內(nèi)的平均變化率． 解：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2) ＝－2(2＋Δx)2＋5－(－222＋5) ＝－8Δx－2(Δx)2， ∴＝－8－2Δx. 即平均變化率為－8－2Δx. 求瞬時變化率 [例2]　以初速度v0(v0>0)豎直上拋的物體，t s時的高度s與t的函數(shù)關(guān)系為s＝v0t－gt2，求物體在時刻t0處的瞬時速度． [思路點撥]　本題可先求物體在t0到t0＋Δt之間的平均速度，然后求當(dāng)Δt趨于0時的瞬時速度． [精解詳析]　∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2， ∴＝v0－gt0－gΔt. 當(dāng)Δt趨于0時，趨于v0－gt0，故物體在時刻t0處的瞬時速度為v0－gt0. [一點通]　 求函數(shù)y＝f(x)在x0處的瞬時變化率，可以先求函數(shù)y＝f(x)在x0到x0＋Δx處的平均變化率，再求當(dāng)Δx趨于0時平均變化率的值，即為函數(shù)y＝f(x)在x0處的瞬時變化率． 4．一個物體的運動方程為s＝1－t，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在3秒末的瞬時速度是(　　) A．1米/秒 B．－1米/秒 C．2米/秒 D．－2米/秒 解析：由＝＝＝－1，得物體在3秒末的瞬時速度是－1米/秒． 答案：B 5．求函數(shù)f(x)＝x2－3在x＝1處的瞬時變化率． 解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2－3]－(12－3)＝(Δx)2＋2Δx－2＋2＝(Δx)2＋2Δx， ∴＝＝Δx＋2. 當(dāng)Δx趨于0時，趨于2. 所以函數(shù)y＝x2－3在x＝1時的瞬時變化率為2. 1．平均變化率刻畫的是函數(shù)值在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上變化的快慢． 2．瞬時變化率刻畫的是函數(shù)值在某時刻變化的快慢． 3．Δx趨于0時平均變化率就趨近于函數(shù)在某點處的瞬時變化率． 1．在曲線y＝x2＋1上取一點(1,2)及鄰近一點(1＋Δx，2＋Δy)，則＝(　　) A．Δx＋　　　　　　　　 B．Δx－－2 C．Δx＋2 D．2＋Δx－ 解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx， ∴＝Δx＋2. 答案：C 2．某質(zhì)點的運動規(guī)律為s＝t2＋3，則在時間段(3,3＋Δt)內(nèi)的平均速度等于(　　) A．6＋Δt B．6＋Δt＋ C．3＋Δt D．9＋Δt 解析：＝＝ ＝＝6＋Δt. 答案：A 3．一塊木頭沿某一斜面自由下滑，測得下滑的水平距離s與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式為s＝t2，則t＝2時，此木頭在水平方向的瞬時速度為(　　) A．2 B．1 C. D. 解析：因為Δs＝(2＋Δt)2－22＝Δt＋(Δt)2，所以＝＋Δt，當(dāng)Δt趨于0時，＋Δt趨于，因此t＝2時，木塊在水平方向瞬時速度為. 答案：C 4．水以恒速(即單位時間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中，按順序與各容器對應(yīng)的水的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系圖像相對應(yīng)的一項是(　　) A．①②③④ B．②①③④ C．②①④③ D．②④①③ 解析：以第二個容器為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以恒速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快，反映在圖像上，①符合上述變化情況．而第三個容器在開始時高度增加快，后來時高度增加慢，圖像④適合上述變化情況．故應(yīng)選C. 答案：C 5．函數(shù)f(x)＝ln x＋1從e到e2的平均變化率為________． 解析：Δy＝f(e2)－f(e)＝(ln e2＋1)－(ln e＋1)＝1， Δx＝e2－e， ∴＝. 答案： 6．質(zhì)點的運動方程是s(t)＝，則質(zhì)點在t＝2時的速度為________． 解析：＝＝ ＝－，當(dāng)Δt趨于0時，＝－. 答案：－ 7．設(shè)某跳水運動員跳水時，相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系為h(t)＝－5t2＋6t＋10. (1)求該運動員從時間t＝1到時間t＝3的平均速度； (2)求該運動員在時間t＝1處的瞬時速度． 解：(1)由h(t)＝－5t2＋6t＋10，得該運動員從時間t＝1到時間t＝3的平均速度： ＝＝－14. 故該運動員從時間t＝1到時間t＝3的平均速度為－14 m/s； (2)∵＝ ＝ ＝ ＝－5Δt－4， ∴當(dāng)Δt趨于0時，趨于－4， 即該運動員在時間t＝1處的瞬時速度為－4 m/s. 8．若一物體運動方程如下：(位移：m，時間：s) s＝ 求：(1)物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度； (2)物體的初速度v0； (3)物體在t＝1時的瞬時速度． 解：(1)∵物體在t∈[3,5]內(nèi)的時間變化量為Δt＝5－3＝2，物體在t∈[3,5]內(nèi)的位移變化量為 Δs＝352＋2－(332＋2)＝3(52－32)＝48， ∴物體在t∈[3,5]上的平均速度為＝＝24(m/s)． (2)求物休的初速度v0即求物體在t＝0的瞬時速度． .∵物體在t＝0附近的平均變化率為 ＝ ＝＝3Δt－18， ∴當(dāng)Δt趨于0時，趨于－18， 即物體的初速度為－18 m/s. (3)物體在t＝1時瞬時速度即為函數(shù)在t＝1處的瞬時變化率． ∵物體在t＝1附近的平均變化率為 ＝ ＝＝3Δt－12. ∴當(dāng)Δt趨于0時，趨于－12， 即物體在t＝1時的瞬時速度為－12 m/s.