2018-2019版高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 習題課 離散型隨機變量的均值學案 新人教A版選修2-3.doc
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習題課 離散型隨機變量的均值 學習目標 1.進一步熟練掌握均值公式及性質.2.能利用隨機變量的均值解決實際生活中的有關問題． 類型一 放回與不放回問題的均值 例1 在10件產品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽樣時，抽取次品數(shù)ξ的均值； (2)放回抽樣時，抽取次品數(shù)η的均值． 考點 二項分布的計算及應用 題點 二項分布與超幾何分布的識別 解 (1)方法一 P(ξ＝0)＝＝； P(ξ＝1)＝＝； P(ξ＝2)＝＝. ∴隨機變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P E(ξ)＝0＋1＋2＝. 方法二 由題意知P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2)， ∴隨機變量ξ服從超幾何分布，n＝3，M＝2，N＝10， ∴E(ξ)＝＝＝. (2)由題意知1次取到次品的概率為＝， 隨機變量η服從二項分布η～B， ∴E(η)＝3＝. 反思與感悟 不放回抽樣服從超幾何分布，放回抽樣服從二項分布，求均值可利用公式代入計算． 跟蹤訓練1 甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有m個球，乙袋中共有2m個球，從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為，從乙袋中摸出1個球為紅球的概率為P2. (1)若m＝10，求甲袋中紅球的個數(shù)； (2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個紅球的概率是，求P2的值； (3)設P2＝，若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次．設ξ表示摸出紅球的總次數(shù)，求ξ的分布列和均值． 考點 常見的幾種均值 題點 相互獨立事件的均值 解 (1)設甲袋中紅球的個數(shù)為x， 依題意得x＝10＝4. (2)由已知，得＝，解得P2＝. (3)ξ的所有可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＋C＝， P(ξ＝2)＝C＋2＝， P(ξ＝3)＝2＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝. 類型二 與排列、組合有關的分布列的均值 例2 如圖所示，從A1(1,0,0)，A2(2，0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1 (0，0,1)，C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點，將這3個點及原點O兩兩相連構成一個“立體”，記該“立體”的體積為隨機變量V(如果選取的3個點與原點在同一個平面內，此時“立體”的體積V＝0)． (1)求V＝0的概率； (2)求均值E(V)． 考點 常見的幾種均值 題點 與排列、組合有關的隨機變量的均值 解 (1)從6個點中隨機選取3個點總共有C＝20(種)取法，選取的3個點與原點在同一個平面內的取法有CC＝12(種)， 因此V＝0的概率為P(V＝0)＝＝. (2)V的所有可能取值為0，，，，， 則P(V＝0)＝，P＝＝， P＝＝， P＝＝， P＝＝. 因此V的分布列為 V 0 P 所以E(V)＝0＋＋＋＋＝. 反思與感悟 解此類題的關鍵是搞清離散型隨機變量X取每個值時所對應的隨機事件，然后利用排列、組合知識求出X取每個值時的概率，利用均值的公式便可得到． 跟蹤訓練2 某位同學記住了10個數(shù)學公式中的m(m≤10)個，從這10個公式中隨機抽取3個，若他記住2個的概率為. (1)求m的值； (2)分別求他記住的數(shù)學公式的個數(shù)X與沒記住的數(shù)學公式的個數(shù)Y的均值E(X)與E(Y)，比較E(X)與E(Y)的關系，并加以說明． 考點 超幾何分布的均值 題點 超幾何分布的均值 解 (1)P(X＝2)＝＝， 即m(m－1)(10－m)＝120，且m≥2. 所以m的值為6. (2)由原問題知，E(X)＝0＋1＋2＋3＝， 沒記住的數(shù)學公式有10－6＝4個，故Y的可能取值為0,1，2,3. P(Y＝0)＝＝， P(Y＝1)＝＝， P(Y＝2)＝＝， P(Y＝3)＝＝， 所以Y的分布列為 Y 0 1 2 3 P E(Y)＝0＋1＋2＋3＝， 由E(X)＝，E(Y)＝得出 ①E(X)>E(Y)．說明記住公式個數(shù)的均值大于沒記住公式個數(shù)的均值． ②E(X)＋E(Y)＝3.說明記住和沒記住的均值之和等于隨機抽取公式的個數(shù)． 類型三 與互斥、獨立事件有關的分布列的均值 例3 某學生需依次進行身體體能和外語兩個項目的訓練及考核．每個項目只有一次補考機會，補考不及格者不能進入下一個項目的訓練(即淘汰)，若該學生身體體能考核合格的概率是，外語考核合格的概率是，假設每一次考核是否合格互不影響． 假設該生不放棄每一次考核的機會．用ξ表示其參加補考的次數(shù)，求隨機變量ξ的均值． 考點 常見的幾種均值 題點 相互獨立事件的均值 解 ξ的可能取值為0,1,2. 設該學生第一次，第二次身體體能考核合格分別為事件A1，A2，第一次，第二次外語考核合格分別為事件B1，B2， 則P(ξ＝0)＝P(A1B1)＝＝， P(ξ＝2)＝P(1A21 B2)＋P(1A21 2) ＝＋＝. 根據(jù)分布列的性質，可知P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P E(ξ)＝0＋1＋2＝. 反思與感悟 若隨機變量取某一值的概率較為復雜或不好求時，可以利用分布列的性質求其概率． 跟蹤訓練3 甲、乙兩人進行圍棋比賽，每局比賽甲勝的概率為，乙勝的概率為，沒有和棋，采用五局三勝制，規(guī)定某人先勝三局則比賽結束，求比賽局數(shù)X的均值． 考點 常見的幾種均值 題點 相互獨立事件的均值 解 由題意，得X的所有可能取值是3,4,5. 則P(X＝3)＝C3＋C3＝， P(X＝4)＝C2＋C2＝， P(X＝5)＝C22＋C22＝. 所以X的分布列為 X 3 4 5 P E(X)＝3＋4＋5＝. 類型四 均值問題的實際應用 例4 某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)． (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值； (3)以購買易損零件所需費用的均值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應選用哪個？ 考點 離散型隨機變量的均值的性質 題點 均值在實際中的應用 解 (1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，1臺機器在三年內需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2，0.4,0.2,0.2，且X的可能取值為16,17,18,19,20,21,22，從而 P(X＝16)＝0.20.2＝0.04； P(X＝17)＝20.20.4＝0.16； P(X＝18)＝20.20.2＋0.40.4＝0.24； P(X＝19)＝20.20.2＋20.40.2＝0.24； P(X＝20)＝20.20.4＋0.20.2＝0.2； P(X＝21)＝20.20.2＝0.08； P(X＝22)＝0.20.2＝0.04. 所以X的分布列為 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值為19. (3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)． 當n＝19時， E(Y)＝192000.68＋(19200＋500)0.2＋(19200＋2500)0.08＋(19200＋3500)0.04＝4 040. 當n＝20時， E(Y)＝202000.88＋(20200＋500)0.08＋(20200＋2500)0.04＝4 080. 可知當n＝19時所需費用的均值小于當n＝20時所需費用的均值，故應選n＝19. 反思與感悟 解答概率模型的三個步驟 (1)審題，確定實際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些． (2)確定隨機變量的分布列，計算隨機變量的均值． (3)對照實際意義，回答概率、均值等所表示的結論． 跟蹤訓練4 某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為 ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元．η表示經(jīng)銷一件該商品的利潤． (1)求事件A“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)； (2)求η的分布列及均值E(η)． 考點 離散型隨機變量的均值的性質 題點 均值在實際中的應用 解 (1)由A表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”知，表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”． P()＝(1－0.4)3＝0.216， P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784. (2)η的可能取值為200,250,300. P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4， P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2， 因此η的分布列為 η 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 E(η)＝2000.4＋2500.4＋3000.2＝240(元)． 1．若隨機變量X的分布列如下表所示，則E(X)等于( ) X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x A. B. C. D. 考點 離散型隨機變量的均值的概念與計算 題點 離散型隨機變量均值的計算 答案 C 解析 因為2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝18x＝1，所以x＝，因此E(X)＝02x＋13x＋27x＋32x＋43x＋5x＝40x＝40＝. 2．某一供電網(wǎng)絡有n個用電單位，每個單位在一天中用電的機會是p，則供電網(wǎng)絡中一天平均用電的單位個數(shù)是( ) A．np(1－p) B．np C．n D．p(1－p) 考點 二項分布、兩點分布的均值 題點 二項分布的均值 答案 B 解析 用電單位X～B(n，p)，∴E(X)＝np. 3．口袋中有編號分別為1,2,3的三個大小和形狀相同的小球，從中任取2個，則取出的球的最大編號X的均值為( ) A. B. C．2 D. 考點 超幾何分布的均值 題點 超幾何分布的均值 答案 D 解析 X可能取值為2,3.P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以E(X)＝2＋3＝＋2＝.故選D. 4．某學校高一年級男生人數(shù)占該年級學生人數(shù)的40%.在一次考試中，男、女生平均分數(shù)是75,80，則這次考試該年級學生平均分數(shù)為________． 考點 離散型隨機變量的均值的概念與計算 題點 離散型隨機變量均值的計算 答案 78 解析 平均成績?yōu)?5＋80＝78. 5．某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到該銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但可以確認該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試．若密碼正確，則結束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定． (1)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率； (2)設當天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X，求X的分布列和均值． 考點 常見的幾種均值 題點 相互獨立事件的均值 解 (1)設“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，則P(A)＝＝. (2)依題意，得X所有可能的取值是1,2,3，又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝1＝.所以X的分布列為 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1＋2＋3＝. 1．實際問題中的均值問題 均值在實際中有著廣泛的應用，如體育比賽的安排和成績預測，消費預測，工程方案的預測，產品合格率的預測，投資收益等，都可以通過隨機變量的均值來進行估計． 2．概率模型的解答步驟 (1)審題，確定實際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些． (2)確定隨機變量的分布列，計算隨機變量的均值． (3)對照實際意義，回答概率、均值等所表示的結論． 一、選擇題 1．已知X～B，Y～B，且E(X)＝15，則E(Y)等于( ) A．5 B．10 C．15 D．20 考點 二項分布、兩點分布的均值 題點 二項分布的均值 答案 B 解析 E(X)＝n＝15，∴n＝30，∴E(Y)＝30＝10. 2．甲、乙兩臺自動車床生產同種標準的零件，X表示甲車床生產1 000件產品中的次品數(shù)，Y表示乙車床生產1 000件產品中的次品數(shù)，經(jīng)過一段時間的考察，X，Y的分布列分別是： X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 Y 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 據(jù)此判定( ) A．甲比乙質量好 B．乙比甲質量好 C．甲與乙質量一樣 D．無法判定 考點 離散型隨機變量的均值的性質 題點 均值在實際中的應用 答案 A 解析 E(X)＝00.7＋10.1＋20.1＋30.1＝0.6，E(Y)＝00.5＋10.3＋20.2＋30＝0.7. 顯然E(X)
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