(通用版)2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級(jí) 重點(diǎn)增分 專題十 直線與圓講義 理(普通生含解析).doc
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重點(diǎn)增分專題十 直線與圓 [全國(guó)卷3年考情分析] 年份 全國(guó)卷Ⅰ 全國(guó)卷Ⅱ 全國(guó)卷Ⅲ 2018 直線方程、圓的方程、點(diǎn)到直線的距離T6 2017 圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離、雙曲線的幾何性質(zhì)T15 圓的弦長(zhǎng)問題、雙曲線的幾何性質(zhì)T9 直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離、橢圓的幾何性質(zhì)T10 直線與圓的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系T20 2016 圓的方程、點(diǎn)到直線的距離T4 點(diǎn)到直線的距離、弦長(zhǎng)問題T16 (1)圓的方程近幾年成為高考全國(guó)課標(biāo)卷命題的熱點(diǎn),需重點(diǎn)關(guān)注.此類試題難度中等偏下,多以選擇題或填空題形式考查. (2)直線與圓的方程偶爾單獨(dú)命題,單獨(dú)命題時(shí)有一定的深度,有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在壓軸題的位置,難度較大,對(duì)直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上. 保分考點(diǎn)練后講評(píng) 1.已知直線l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0與直線l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,則k的值是( ) A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 解析:選C 當(dāng)k=4時(shí),直線l1的斜率不存在,直線l2的斜率存在,所以兩直線不平行;當(dāng)k≠4時(shí),兩直線平行的一個(gè)必要條件是=k-3,解得k=3或k=5,但必須滿足≠(截距不等)才是充要條件,經(jīng)檢驗(yàn)知滿足這個(gè)條件. 2.[兩直線垂直]已知直線mx+4y-2=0與2x-5y+n=0互相垂直,垂足為P(1,p),則m-n+p的值是( ) A.24 B.20 C.0 D.-4 解析:選B ∵直線mx+4y-2=0與2x-5y+n=0互相垂直, ∴=-1,∴m=10. 直線mx+4y-2=0,即5x+2y-1=0, 將垂足(1,p)代入,得5+2p-1=0,∴p=-2. 把P(1,-2)代入2x-5y+n=0,得n=-12, ∴m-n+p=20,故選B. 3.坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)關(guān)于直線x-2y+2=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是( ) A. B. C. D. 解析:選A 直線x-2y+2=0的斜率k=,設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)關(guān)于直線x-2y+2=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(x0,y0),依題意可得解得即所求點(diǎn)的坐標(biāo)是. 4.已知直線l過直線l1:x-2y+3=0與直線l2:2x+3y-8=0的交點(diǎn),且點(diǎn)P(0,4)到直線l的距離為2,則直線l的方程為_________________. 解析:由得所以直線l1與l2的交點(diǎn)為(1,2).顯然直線x=1不符合,即所求直線的斜率存在,設(shè)所求直線的方程為y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,因?yàn)镻(0,4)到直線l的距離為2,所以=2,所以k=0或k=.所以直線l的方程為y=2或4x-3y+2=0. 答案:y=2或4x-3y+2=0 [解題方略] 1.兩直線的位置關(guān)系問題的解題策略 求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問題時(shí),主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件,即斜率相等且縱截距不相等或斜率互為負(fù)倒數(shù).若出現(xiàn)斜率不存在的情況,可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究或直接用直線的一般式方程判斷. 2.軸對(duì)稱問題的兩種類型及求解方法 點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱 若兩點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0對(duì)稱,則線段P1P2的中點(diǎn)在對(duì)稱軸l上,而且連接P1,P2的直線垂直于對(duì)稱軸l.由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2) 直線關(guān)于直線的對(duì)稱 有兩種情況,一是已知直線與對(duì)稱軸相交;二是已知直線與對(duì)稱軸平行.一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來(lái)解決 保分考點(diǎn)練后講評(píng) [大穩(wěn)定] 1.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A.(-∞,-2) B. C.(-2,0) D. 解析:選D 若方程表示圓,則a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,化簡(jiǎn)得3a2+4a-4<0,解得-20),由題意知=,解得a=2,所以r= =3,故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=9. 答案:(x-2)2+y2=9 [解題方略] 求圓的方程的2種方法 幾何法 通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系,從而求得圓的基本量和方程 代數(shù)法 用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù),從而求得圓的方程 [小創(chuàng)新] 1.已知圓M:x2+y2-2x+a=0,若AB為圓M的任意一條直徑,且=-6(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則圓M的半徑為( ) A. B. C. D.2 解析:選C 圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1-a(a<1),圓心M(1,0),則|OM|=1,圓的半徑r=,因?yàn)锳B為圓M的任意一條直徑,所以=-,且||=||=r,則=(+)(+)=(-)(+)=2-2=1-r2=-6,所以r2=7,得r=,所以圓的半徑為,故選C. 2.向圓(x-2)2+(y-)2=4內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn),則該點(diǎn)落在x軸下方的概率為________. 解析:如圖,連接CA,CB,依題意,圓心C到x軸的距離為,所以弦AB的長(zhǎng)為2.又圓的半徑為2,所以弓形ADB的面積為π2-2=π-,所以向圓(x-2)2+(y-)2=4內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn),則該點(diǎn)落在x軸下方的概率P==-. 答案:- 增分考點(diǎn)廣度拓展 [分點(diǎn)研究] 題型一 圓的切線問題 [例1] (1)(2019屆高三蘇州高三調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知過點(diǎn)M(1,1)的直線l與圓(x+1)2+(y-2)2=5相切,且與直線ax+y-1=0垂直,則實(shí)數(shù)a=________. (2)設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)為直線3x+4y=25上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作圓x2+y2=2的兩條切線,切點(diǎn)為B,C,則四邊形OBMC面積的最小值為________. [解析] (1)由題意得,直線l的斜率存在,設(shè)過點(diǎn)M(1,1)的直線l的方程為y-1=k(x-1),即kx-y+1-k=0.因?yàn)橹本€l與圓(x+1)2+(y-2)2=5相切,所以圓心(-1,2)到直線l的距離d==,整理得k2-4k+4=0,解得k=2.又直線l與直線ax+y-1=0垂直,所以-2a=-1,解得a=. (2)圓心O到直線3x+4y=25的距離d==5, 則|OM|≥d=5, 所以切線長(zhǎng)|MB|=≥ =, 所以S四邊形OBMC=2S△OBM≥2=. [答案] (1) (2) [變式1] 本例(2)變?yōu)椋哼^點(diǎn)A(1,3),作圓x2+y2=2的兩條切線,切點(diǎn)為B,C,則四邊形OBAC的面積為________. 解析:由相切可得S四邊形OBAC=2S△OBA, 因?yàn)椤鱋AB為直角三角形,且|OA|=,|OB|=, 所以|AB|=2, 即S△OBA=2=2, 所以S四邊形OBAC=2S△OBA=4. 答案:4 [變式2] 本例(2)變?yōu)椋涸O(shè)點(diǎn)M(x0,y0)為直線3x+4y=25上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作圓x2+y2=2的兩條切線l1,l2,則l1與l2的最大夾角的正切值是________. 解析:設(shè)一個(gè)切點(diǎn)為B,圓心O到直線3x+4y=25的距離為d==5, 則tan∠OMB=≤, 所以tan 2∠OAB= =≤. 故所求最大夾角的正切值為. 答案: [解題方略] 直線與圓相切問題的解題策略 直線與圓相切時(shí)利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直,圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式,所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式.過圓外一點(diǎn)求解切線段長(zhǎng)的問題,可先求出圓心到圓外點(diǎn)的距離,再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算. 題型二 圓的弦長(zhǎng)問題 [例2] 已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),B(0,2),且圓心C在直線y=x上,又直線l:y=kx+1與圓C相交于P,Q兩點(diǎn). (1)求圓C的方程; (2)過點(diǎn)(0,1)作直線l1與l垂直,且直線l1與圓C交于M,N兩點(diǎn),求四邊形PMQN面積的最大值. [解] (1)設(shè)圓心C(a,a),半徑為r,因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),B(0,2),所以|AC|=|BC|=r, 即= =r, 解得a=0,r=2, 故所求圓C的方程為x2+y2=4. (2)設(shè)圓心C到直線l,l1的距離分別為d,d1,四邊形PMQN的面積為S. 因?yàn)橹本€l,l1都經(jīng)過點(diǎn)(0,1),且l1⊥l, 根據(jù)勾股定理,有d+d2=1. 又|PQ|=2,|MN|=2, 所以S=|PQ||MN|, 即S=22 =2 =2≤2 =2=7, 當(dāng)且僅當(dāng)d1=d時(shí),等號(hào)成立, 所以四邊形PMQN面積的最大值為7. [解題方略] 求解圓的弦長(zhǎng)的3種方法 關(guān)系法 根據(jù)半徑,弦心距,弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形,構(gòu)成三者間的關(guān)系r2=d2+(其中l(wèi)為弦長(zhǎng),r為圓的半徑,d為圓心到直線的距離) 公式法 根據(jù)公式l=|x1-x2|求解(其中l(wèi)為弦長(zhǎng),x1,x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo),k為直線的斜率) 距離法 聯(lián)立直線與圓的方程,解方程組求出兩交點(diǎn)坐標(biāo),用兩點(diǎn)間距離公式求解 [多練強(qiáng)化] 1.(2018全國(guó)卷Ⅰ)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=________. 解析:由x2+y2+2y-3=0,得x2+(y+1)2=4. ∴圓心C(0,-1),半徑r=2.圓心C(0,-1)到直線x-y+1=0的距離d==, ∴|AB|=2=2=2. 答案:2 2.已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點(diǎn),若|MN|=,則直線l的方程為________. 解析:直線l的方程為y=kx+1,圓心C(2,3)到直線l的距離d==, 由R2=d2+2,得1=+, 解得k=2或, 故所求直線l的方程為y=2x+1或y=x+1. 答案:y=2x+1或y=x+1 3.已知從圓C:(x+1)2+(y-2)2=2外一點(diǎn)P(x1,y1)向該圓引一條切線,切點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且有|PM|=|PO|,則當(dāng)|PM|取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________. 解析:如圖所示,連接CM,CP.由題意知圓心C(-1,2),半徑r=.因?yàn)閨PM|=|PO|,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x+y+2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|的值最小,只需|PO|的值最小即可.當(dāng)PO垂直于直線2x-4y+3=0時(shí),即PO所在直線的方程為2x+y=0時(shí),|PM|的值最小,此時(shí)點(diǎn)P為兩直線的交點(diǎn),則解得 故當(dāng)|PM|取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 答案: 數(shù)學(xué)建模——直線與圓最值問題的求解 [典例] 已知圓O:x2+y2=9,過點(diǎn)C(2,1)的直線l與圓O交于P,Q兩點(diǎn),則當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),直線l的方程為( ) A.x-y-3=0或7x-y-15=0 B.x+y+3=0或7x+y-15=0 C.x+y-3=0或7x-y+15=0 D.x+y-3=0或7x+y-15=0 [解析] 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),l的方程為x=2,則P(2,),Q(2,-),所以S△OPQ=22=2,當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y-1=k(x-2),則圓心到直線l的距離d=,所以|PQ|=2,S△OPQ=|PQ|d=2d= ≤=,當(dāng)且僅當(dāng)9-d2=d2,即d2=時(shí),S△OPQ取得最大值,因?yàn)?<,所以S△OPQ的最大值為,此時(shí)=,解得k=-1或k=-7,此時(shí)直線l的方程為x+y-3=0或7x+y-15=0,故選D. [答案] D [素養(yǎng)通路] 本題考查了直線與圓的最值問題,結(jié)合題目的條件,設(shè)元、列式、建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用基本不等式模型解決相關(guān)的最值問題.考查了數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng). A組——“6+3+3”考點(diǎn)落實(shí)練 一、選擇題 1.“ab=4”是“直線2x+ay-1=0與直線bx+2y-2=0平行”的( ) A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選C 因?yàn)閮芍本€平行,所以斜率相等,即-=-,可得ab=4,又當(dāng)a=1,b=4時(shí),滿足ab=4,但是兩直線重合,故選C. 2.已知直線l1過點(diǎn)(-2,0)且傾斜角為30,直線l2過點(diǎn)(2,0)且與直線l1垂直,則直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A.(3,) B.(2,) C.(1,) D. 解析:選C 直線l1的斜率k1=tan 30=,因?yàn)橹本€l2與直線l1垂直,所以直線l2的斜率k2=-=-,所以直線l1的方程為y=(x+2),直線l2的方程為y=-(x-2),聯(lián)立解得即直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,). 3.已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長(zhǎng)度是2,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是( ) A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離 解析:選B 圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)可化為x2+(y-a)2=a2,由題意,M(0,a)到直線x+y=0的距離d=,所以a2=+2,解得a=2.所以圓M:x2+(y-2)2=4,所以兩圓的圓心距為,半徑和為3,半徑差為1,故兩圓相交. 4.(2018全國(guó)卷Ⅲ)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是( ) A.[2,6] B.[4,8] C.[,3] D.[2,3] 解析:選A 設(shè)圓(x-2)2+y2=2的圓心為C,半徑為r,點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離為d, 則圓心C(2,0),r=, 所以圓心C到直線x+y+2=0的距離為=2, 可得dmax=2+r=3,dmin=2-r=. 由已知條件可得|AB|=2, 所以△ABP面積的最大值為|AB|dmax=6, △ABP面積的最小值為|AB|dmin=2. 綜上,△ABP面積的取值范圍是[2,6]. 5.已知圓O:x2+y2=4上到直線l:x+y=a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ) A.(-3,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.(-2,2) D.[-3,3 ] 解析:選A 由圓的方程可知圓心為(0,0),半徑為2.因?yàn)閳AO上到直線l的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè),所以圓心到直線l的距離d- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問題本站不予受理。
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