2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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第二章 概率 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.進(jìn)一步理解隨機(jī)變量及其概率分布的概念，了解概率分布對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.3.了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ图岸?xiàng)分布，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.4.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題． 1．事件概率的求法 (1)條件概率的求法 ①利用定義分別求出P(B)和P(AB)，解得P(A|B)＝. ②借助古典概型公式，先求事件B包含的基本事件數(shù)n，再在事件B發(fā)生的條件下求事件A包含的基本事件數(shù)m，得P(A|B)＝. (2)相互獨(dú)立事件的概率 若事件A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B)． (3)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生k次的概率為 Pn(k)＝Cpkqn－k，k＝0,1,2，…，n，q＝1－p. 2．隨機(jī)變量的分布列 (1)求離散型隨機(jī)變量的概率分布的步驟 ①明確隨機(jī)變量X取哪些值； ②計(jì)算隨機(jī)變量X取每一個(gè)值時(shí)的概率； ③將結(jié)果用二維表格形式給出．計(jì)算概率時(shí)注意結(jié)合排列與組合知識(shí)． (2)兩種常見的分布列 ①超幾何分布 若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝r)＝，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，則稱X服從超幾何分布． ②二項(xiàng)分布 若隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，則稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)． 3．離散型隨機(jī)變量的均值與方差 (1)若離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下表： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 則E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，令μ＝E(X)， 則V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn. (2)當(dāng)X～H(n，M，N)時(shí)， E(X)＝，V(X)＝. (3)當(dāng)X～B(n，p)時(shí)，E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)． 類型一　條件概率的求法 例1　口袋中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，現(xiàn)從中隨機(jī)不放回地連續(xù)抽取兩次，每次抽取1個(gè)，則： (1)第一次取出的是紅球的概率是多少？ (2)第一次和第二次都取出的是紅球的概率是多少？ (3)在第一次取出紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率是多少？ 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　條件概率是學(xué)習(xí)相互獨(dú)立事件的前提和基礎(chǔ)，計(jì)算條件概率時(shí)，必須搞清要求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率．一般地，計(jì)算條件概率常有兩種方法 (1)P(B|A)＝.(2)P(B|A)＝. 在古典概型下，n(AB)指事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的基本事件個(gè)數(shù)；n(A)是指事件A發(fā)生的基本事件個(gè)數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練1　擲兩顆均勻的骰子，已知第一顆骰子擲出6點(diǎn)，問“擲出點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”的概率． 　 　 　 　 類型二　互斥、對(duì)立、獨(dú)立事件的概率 例2　某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立． (1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率； (2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元．求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的概率分布和均值． 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　在求解此類問題中，主要運(yùn)用對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率公式 (1)P(A)＝1－P()． (2)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B)． (3)若事件A，B是互斥事件，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． 跟蹤訓(xùn)練2　紅隊(duì)隊(duì)員甲，乙，丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A，B，C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A、乙對(duì)B、丙對(duì)C各一盤．已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立． (1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率； (2)用ξ表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求P(ξ≤1)． 　 　 　 　 　 類型三　離散型隨機(jī)變量的概率分布、均值和方差 例3　一次同時(shí)投擲兩枚相同的正方體骰子(骰子質(zhì)地均勻，且各面分別刻有1,2,2,3,3,3六個(gè)數(shù)字)， (1)設(shè)隨機(jī)變量η表示一次擲得的點(diǎn)數(shù)和，求η的概率分布； (2)若連續(xù)投擲10次，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示一次擲得的點(diǎn)數(shù)和大于5的次數(shù)，求E(ξ)，V(ξ)． 　 　 　 　 　 反思與感悟　求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的步驟 跟蹤訓(xùn)練3　甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束，除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是，假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立． (1)分別求甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率； (2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分，對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利方得2分，對(duì)方得1分，求乙隊(duì)得分X的概率分布及均值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 類型四　概率的實(shí)際應(yīng)用 例4　某電視臺(tái)“挑戰(zhàn)主持人”節(jié)目的挑戰(zhàn)者闖第一關(guān)需要回答三個(gè)問題，其中前兩個(gè)問題回答正確各得10分，回答不正確得0分，第三個(gè)問題回答正確得20分，回答不正確得－10分．如果一個(gè)挑戰(zhàn)者回答前兩個(gè)問題正確的概率都是0.8，回答第三個(gè)問題正確的概率為0.6，且各題回答正確與否相互之間沒有影響． (1)求這位挑戰(zhàn)者回答這三個(gè)問題的總得分ξ的概率分布和均值； (2)求這位挑戰(zhàn)者總得分不為負(fù)分(即ξ≥0)的概率． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　解需要分類討論的問題的實(shí)質(zhì)是：整體問題轉(zhuǎn)化為部分問題來(lái)解決．轉(zhuǎn)化成部分問題后增加了題設(shè)條件，易于解題，這也是解決需要分類討論問題的總的指導(dǎo)思想． 跟蹤訓(xùn)練4　某地有A，B，C，D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū)，B肯定是受A感染，對(duì)于C，因?yàn)殡y以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是.在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個(gè)隨機(jī)變量．寫出X的概率分布． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1．拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若已知出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過4，則出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率為________． 2．在5道題中有3道理科題和2道文科題．事件A為“取到的2道題中至少有一道理科題”，事件B為“取到的2道題中一題為理科題，另一題為文科題”，則P(B|A)＝________. 3．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝C()k()n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，則V(ξ)的值為________． 4．設(shè)X為隨機(jī)變量，X～B(n，)，若X的方差為V(X)＝，則P(X＝2)＝________. 5．盒子中有5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)球，求取出白球的均值和方差． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1．條件概率的兩個(gè)求解策略 (1)定義法：計(jì)算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝求解． (2)縮小樣本空間法：利用P(B|A)＝求解． 其中(2)常用于古典概型的概率計(jì)算問題． 2．求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率需注意的三個(gè)問題 (1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判斷事件是否相互獨(dú)立的充要條件，也是解答相互獨(dú)立事件概率問題的唯一工具． (2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率問題，務(wù)必分清事件間的相互關(guān)系． (3)公式“P(A∪B)＝1－P( )”常應(yīng)用于求相互獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率． 3．求解實(shí)際問題的均值與方差的解題思路：先要將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，然后求出隨機(jī)變量的概率分布，同時(shí)要注意運(yùn)用兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值與方差的線性性質(zhì)． 答案精析 題型探究 例1　解　記事件A：第一次取出的球是紅球；事件B：第二次取出的球是紅球． (1)從口袋中隨機(jī)不放回地連續(xù)抽取兩次，每次抽取1個(gè)，所有基本事件共65個(gè)；第一次取出的球是紅球，第二次是其余5個(gè)球中的任一個(gè)，符合條件的事件有45個(gè)， 所以P(A)＝＝. (2)從口袋中隨機(jī)不放回地連續(xù)抽取兩次，每次抽取1個(gè)，所有基本事件共65個(gè)；第一次和第二次都取出的球是紅球，相當(dāng)于取兩個(gè)球，都是紅球，符合條件的事件有43個(gè)，所以P(AB)＝＝. (3)利用條件概率的計(jì)算公式， 可得P(B|A)＝＝＝. 跟蹤訓(xùn)練1　解　設(shè)“擲出點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”為事件A，“第一顆骰子擲出6點(diǎn)”為事件B. 方法一　P(A|B)＝＝＝. 方法二　“第一顆骰子擲出6點(diǎn)”的情況有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6種，∴n(B)＝6. “擲出點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”且“第一顆骰子擲出6點(diǎn)”的情況有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共3種，即n(AB)＝3. ∴P(A|B)＝＝＝. 例2　解　記E＝{甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功}，F(xiàn)＝{乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功}．由題設(shè)知 P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E與F，E與，與F，與都相互獨(dú)立． (1)記H＝{至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功}，則＝ ， 于是P()＝P()P()＝ ＝， 故所求的概率為P(H)＝1－P()＝1－＝. (2)設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X萬(wàn)元，則X的可能取值為0,100,120,220. 因?yàn)镻(X＝0)＝P( )＝ ＝， P(X＝100)＝P( F)＝＝ ＝， P(X＝120)＝P(E )＝＝， P(X＝220)＝P(E F)＝＝ ＝， 故所求的概率分布如下表： X 0 100 120 220 P E(X)＝0＋100＋120＋220＝140. 跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)設(shè)“甲勝A”為事件D，“乙勝B”為事件E，“丙勝C”為事件F，則，，分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件．因?yàn)镻(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.由對(duì)立事件的概率公式知，P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5. 紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有DE，DF，EF，DEF. 由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)＝0.60.50.5＋0.60.50.5＋0.40.50.5＋0.60.50.5＝0.55. (2)由題意知，ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝P( )＝0.40.50.5 ＝0.1， P(ξ＝1)＝P( F)＋P(E)＋ P(D )＝0.40.50.5＋0.40.50.5＋0.60.50.5＝0.35， 所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1) ＝0.45. 例3　解　(1)由已知，隨機(jī)變量η的取值為2,3,4,5,6.設(shè)擲一個(gè)正方體骰子所得點(diǎn)數(shù)為η0， P(η0＝1)＝，P(η0＝2)＝， P(η0＝3)＝， 所以P(η＝2)＝＝， P(η＝3)＝2＝， P(η＝4)＝2＋＝， P(η＝5)＝2＝， P(η＝6)＝＝. 故η的概率分布為 η 2 3 4 5 6 P (2)由已知，滿足條件的一次投擲的點(diǎn)數(shù)和取值為6，設(shè)某次發(fā)生的概率為p，由(1)知，p＝. 因?yàn)殡S機(jī)變量ξ～B， 所以E(ξ)＝np＝10＝， V(ξ)＝np(1－p)＝10＝. 跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)記“甲隊(duì)以3∶0勝利”為事件A1，“甲隊(duì)以3∶1勝利”為事件A2，“甲隊(duì)以3∶2勝利”為事件A3，由題意知各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立， 故P(A1)＝()3＝， P(A2)＝C()2(1－)＝， P(A3)＝C()2(1－)2＝. 所以，甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率分別是，，. (2)設(shè)“乙隊(duì)以3∶2勝利”為事件A4， 由題意知各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立， 所以P(A4)＝C(1－)2()2(1－)＝. 由題意知，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3， 根據(jù)事件的互斥性，得 P(X＝0)＝P(A1∪A2) ＝P(A1)＋P(A2)＝， P(X＝1)＝P(A3)＝， P(X＝2)＝P(A4)＝， P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝. 故X的概率分布為 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 例4　解　(1)三個(gè)問題均答錯(cuò)，得0＋0＋(－10)＝－10(分)． 三個(gè)問題均答對(duì)，得10＋10＋20＝40(分)． 三個(gè)問題一對(duì)兩錯(cuò)，包括兩種情況： ①前兩個(gè)問題一對(duì)一錯(cuò)，第三個(gè)問題錯(cuò)， 得10＋0＋(－10)＝0(分)； ②前兩個(gè)問題錯(cuò)，第三個(gè)問題對(duì)，得0＋0＋20＝20(分)． 三個(gè)問題兩對(duì)一錯(cuò)，也包括兩種情況： ①前兩個(gè)問題對(duì)，第三個(gè)問題錯(cuò)， 得10＋10＋(－10)＝10(分)； ②第三個(gè)問題對(duì)，前兩個(gè)問題一對(duì)一錯(cuò)， 得20＋10＋0＝30(分)． 故ξ的可能取值為－10,0,10,20,30,40. P(ξ＝－10)＝0.20.20.4＝0.016， P(ξ＝0)＝C0.20.80.4＝0.128， P(ξ＝10)＝0.80.80.4＝0.256， P(ξ＝20)＝0.20.20.6＝0.024， P(ξ＝30)＝C0.80.20.6 ＝0.192， P(ξ＝40)＝0.80.80.6＝0.384. 所以ξ的概率分布為 ξ －10 0 10 20 30 40 P 0.016 0.128 0.256 0.024 0.192 0.384 所以E(ξ)＝－100.016＋00.128＋100.256＋200.024＋300.192＋400.384＝24. (2)這位挑戰(zhàn)者總得分不為負(fù)分的概率為 P(ξ≥0)＝1－P(ξ<0)＝1－0.016 ＝0.984. 跟蹤訓(xùn)練4　解　(1)A直接感染一個(gè)人有2種情況：分別是A－B－C－D和A－B－，概率是＋＝； (2)A直接感染二個(gè)人有3種情況：分別是A－，A—，A—，概率是＋＋＝； (3)A直接感染三個(gè)人只有一種情況：ABDC，概率是＝. ∴隨機(jī)變量X的概率分布是 X 1 2 3 P 當(dāng)堂訓(xùn)練 1.　2.　3.8　4. 5．解　取出的白球個(gè)數(shù)ξ可能取值為0,1,2. ξ＝0時(shí)表示取出的兩個(gè)球都為黑球， 即P(ξ＝0)＝＝. ξ＝1表示取出的兩個(gè)球中一個(gè)黑球，一個(gè)白球， 即P(ξ＝1)＝＝. ξ＝2表示取出的兩個(gè)球均為白球， 即P(ξ＝2)＝＝. 于是E(ξ)＝0＋1＋2 ＝1.2， V(ξ)＝(0－1.2)2＋(1－1.2)2＋(2－1.2)2＝0.36.