2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 選考系列 4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程課時作業(yè).doc

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4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 課時作業(yè) A組——基礎(chǔ)對點練 1．(2018沈陽市模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，直線l：(t為參數(shù))． (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程，直線l的普通方程； (2)設(shè)直線l與曲線C交于M，N兩點，點P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實數(shù)a的值． 解析：(1)由ρsin2θ＝2acos θ(a＞0)兩邊同乘以ρ得，曲線C：y2＝2ax，由直線l：(t為參數(shù))，消去t，得直線l：x－y＋2＝0. (2)將代入y2＝2ax得， t2－2at＋8a＝0， 由Δ＞0得a＞4，設(shè)M(－2＋t1，t1)，N(－2＋t2，t2)，則t1＋t2＝2a，t1t2＝8a， ∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列， ∴|t1－t2|2＝|t1t2|， ∴(2a)2－48a＝8a， ∴a＝5. 2．(2018長沙市模擬)平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是＋ρ2sin2θ＝1. (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)求直線l與曲線C相交所得的弦AB的長． 解析：(1)因為x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程是＋y2＝1. (2)將代入＋y2＝1得， t2＋t－1＝0， Δ＝()2－4(－1)＝16>0. 設(shè)方程的兩根是t1，t2，則t1＋t2＝－，t1t2＝－， 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝＝. 3．(2018太原市模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin θ. (1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程； (2)已知曲線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α(0<α<π，ρ∈R)，點A是曲線C3與C1的交點，點B是曲線C3與C2的交點，且A，B均異于原點O，且|AB|＝4，求實數(shù)α的值． 解析：(1)由消去參數(shù)φ，可得C1的普通方程為(x－2)2＋y2＝4. ∵ρ＝4sin θ，∴ρ2＝4ρsin θ， 由得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為 x2＋(y－2)2＝4. (2)由(1)得曲線C1：(x－2)2＋y2＝4，其極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ， 由題意設(shè)A(ρ1，α)，B(ρ2，α)， 則|AB|＝|ρ1－ρ2|＝4|sin α－cos α|＝4|sin(α－)|＝4， ∴sin(α－)＝1， ∴α－＝＋kπ(k∈Z)， ∵0<α<π，∴α＝. 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ＋)＝. (1)求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程； (2)設(shè)點P為曲線C上任意一點，求點P到直線l的距離的最大值． 解析：(1)因為直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ＋)＝， 所以ρ(cos θ－sin θ)＝， 即x－y－2＝0. 曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去α，可得＋＝1. (2)設(shè)點P(3cos α，sin α)為曲線C上任意一點，則點P到直線l的距離 d＝＝， 故當(dāng)cos(α＋)＝－1時，d取得最大值，為. B組——能力提升練 1．(2018南昌市模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程； (2)若曲線C向左平移一個單位長度，再經(jīng)過伸縮變換得到曲線C′，設(shè)M(x，y)為曲線C′上任意一點，求－xy－y2的最小值，并求相應(yīng)點M的直角坐標(biāo)． 解析：(1)由(θ為參數(shù))，得曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1，得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. (2)曲線C：(x－1)2＋y2＝1，向左平移一個單位長度再經(jīng)過伸縮變換得到曲線C′的直角坐標(biāo)方程為＋y2＝1，設(shè)M(2cos α，sin α)，則－xy－y2＝cos2α－2sin αcos α－sin2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos(2α＋)，當(dāng)α＝kπ＋時，－xy－y2的最小值為－2， 此時點M的坐標(biāo)為(1，)或(－1，－)． 2．(2018太原模擬)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，且曲線C的左焦點F在直線l上． (1)若直線l與曲線C交于A，B兩點，求|FA||FB|的值； (2)求曲線C的內(nèi)接矩形的周長的最大值． 解析：(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋＝1，左焦點F(－2，0)代入直線AB的參數(shù)方程，得m＝－2，直線AB的參數(shù)方程是(t為參數(shù))代入橢圓方程得t2－2t－2＝0，所以t1t2＝－2，所以|FA||FB|＝2. (2)橢圓＋＝1的參數(shù)方程為根據(jù)橢圓和矩形的對稱性可設(shè)橢圓C的內(nèi)接矩形的頂點為(2cos θ，2sin θ)，(－2cos θ，2sin θ)，(2cos θ，－2sin θ)，(－2cos θ，－2sin θ)，所以橢圓C的內(nèi)接矩形的周長為8cos θ＋8sin θ＝16sin， 當(dāng)θ＋＝時，即θ＝時橢圓C的內(nèi)接矩形的周長取得最大值16. 3．(2018石家莊模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝a(a＞0)，Q為l上一點，以O(shè)Q為邊作等邊三角形OPQ，且O，P，Q三點按逆時針方向排列． (1)當(dāng)點Q在l上運動時，求點P運動軌跡的直角坐標(biāo)方程； (2)若曲線C：x2＋y2＝a2，經(jīng)過伸縮變換得到曲線C′，試判斷點P的軌跡與曲線C′是否有交點，如果有，請求出交點的直角坐標(biāo)，沒有則說明理由． 解析：(1)設(shè)點P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)， 則由題意可得點Q的極坐標(biāo)為(ρ，θ＋)， 再由點Q的直角坐標(biāo)中的橫坐標(biāo)等于 a，a＞0， 可得ρcos (θ＋)＝a， 可得ρcos θ－ ρsin θ＝a，化為直角坐標(biāo)方程為x－y＝a. 故當(dāng)點Q在l上運動時，點P的直角坐標(biāo)方程為x－y－2a＝0. (2)曲線C：x2＋y2＝a2， 即代入，得＋y′2＝a2， 即＋y2＝a2. 聯(lián)立，得消去x，得7y2＋4ay＝0，解得y1＝0，y2＝－a， 所以點P的軌跡與曲線C′有交點，交點的直角坐標(biāo)分別為(a，－a)，(2a,0)．