2018版高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 習題課 二項式定理的應用學案 蘇教版選修2-3.doc

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習題課 二項式定理的應用 學習目標　1.能熟練地掌握二項式定理的展開式及有關概念.2.會用二項式定理解決與二項式有關的簡單問題． 1．二項式定理及其相關概念 二項式定理 公式(a＋b)n＝__________________________________，稱為二項式定理 二項式系數(shù)通項 Tr＋1＝____________________ 二項式定理的特例 (1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋Cxn 2.二項式系數(shù)的四個性質(楊輝三角的規(guī)律) (1)對稱性：________________； (2)性質：C＝________＋________； (3)二項式系數(shù)的最大值：當n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值，即________最大；當n是奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最大值，即____________最大； (4)二項式系數(shù)之和________________________________________________________， 所用方法是________． 類型一　二項式定理的靈活應用 例1　(1)在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m，n)，則f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________. (2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a＝________. 反思與感悟　兩個二項式乘積的展開式中特定項問題 (1)分別對每個二項展開式進行分析，發(fā)現(xiàn)它們各自項的特點． (2)找到構成展開式中特定項的組成部分． (3)分別求解再相乘，求和即得． 跟蹤訓練1　(x＋)(2x－)5的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式的常數(shù)項為________． 例2　5的展開式中的常數(shù)項是________． 反思與感悟　三項或三項以上的展開問題，應根據(jù)式子的特點，轉化為二項式來解決，轉化的方法通常為配方法，因式分解，項與項結合，項與項結合時，要注意合理性和簡捷性． 跟蹤訓練2　求(x2＋3x－4)4的展開式中x的系數(shù)． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 類型二　二項式系數(shù)的綜合應用 例3　已知(＋2x)n. (1)若展開式中第五項、第六項、第七項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)； (2)若展開式中前三項的二項式系數(shù)之和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　解決此類問題，首先要分辨二次項系數(shù)與二項展開式的項的系數(shù)，其次理解記憶其有關性質，最后對解決此類問題的方法作下總結，尤其是有關排列組合的計算問題加以細心． 跟蹤訓練3　已知n展開式中二項式系數(shù)之和比(2x＋xlg x)2n展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和少112， 第二個展開式中二項式系數(shù)最大的項的值為1 120，求x. 　 　 　 　 　 　 　 　 1．在x(1＋x)6的展開式中，含x3項的系數(shù)為________． 2.3的展開式中常數(shù)項為________． 3．(x－y)4的展開式中x3y3的系數(shù)為________． 4．已知5的展開式中含x的項的系數(shù)為30，則a＝________. 5．若(x－m)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，其中a5＝56，則a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝________. 1．兩個二項展開式乘積的展開式中特定項問題 (1)分別對每個二項展開式進行分析，發(fā)現(xiàn)它們各自項的特點． (2)找到構成展開式中特定項的組成部分． (3)分別求解再相乘，求和即得． 2．三項或三項以上的展開問題 應根據(jù)式子的特點，轉化為二項式來解決(有些題目也可轉化為計數(shù)問題解決)，轉化的方法通常為配方、因式分解、項與項結合，項與項結合時要注意合理性和簡捷性． 3．求二項展開式中各項系數(shù)的和差的方法是賦值代入． 4．確定二項展開式中的最大或最小項的方法是利用二項式系數(shù)的性質． 答案精析 知識梳理 1．Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn　C(r＝0,1，…，n)　Can－rbr(r＝0,1，…n) 2．(1)C＝C　(2)C　C (3)Cn　Cn或Cn (4)C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n 賦值法 題型探究 例1　(1)120　(2)－1 解析　(1)f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3) ＝CC＋CC＋CC＋CC＝120. (2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5. ∴x2的系數(shù)為C＋aC， 則10＋5a＝5，解得a＝－1. 跟蹤訓練1　40 解析　令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2， ∴a＝1， 故(x＋)(2x－)5的展開式中常數(shù)項即為(2x－)5的展開式中與x的系數(shù)之和． (2x－)5的展開式的通項為 Tr＋1＝C25－rx5－2r(－1)r， 令5－2r＝1，得r＝2， ∴展開式中x的系數(shù)為C25－2(－1)2＝80， 令5－2r＝－1，得r＝3， ∴展開式中的系數(shù)為C25－3(－1)3＝－40， ∴(x＋)(2x－)5的展開式中常數(shù)項為80－40＝40. 例2　 解析　方法一　原式＝5， ∴展開式的通項為＝() (r1＝0,1,2，…，5)． 當r1＝5時，T6＝()5＝4， 當0≤r1<5時，的展開式的通項公式為 (r2＝0,1,2，…，5－r1)． 令5－r1－2r2＝0即r1＋2r2＝5. ∵0≤r1<5且r1∈Z，∴或 ∴常數(shù)項為4＋CC2＋CC()3 ＝4＋＋20＝. 方法二　原式＝5＝[(x＋)2]5 ＝(x＋)10. 求原式的展開式中的常數(shù)項，轉化為求(x＋)10的展開式中含x5項的系數(shù)，即C()5. ∴所求的常數(shù)項為＝. 跟蹤訓練2　解　方法一　(x2＋3x－4)4＝[(x2＋3x)－4]4＝C(x2＋3x)4－C(x2＋3x)34＋C(x2＋3x)242－C(x2＋3x)43＋C44， 顯然，上式中只有第四項中含x的項，所以展開式中含x的項的系數(shù)是－C343＝－768. 方法二　(x2＋3x－4)4＝[(x－1)(x＋4)]4＝(x－1)4(x＋4)4＝(Cx4－Cx3＋Cx2－Cx＋C)(Cx4＋Cx34＋Cx242＋Cx43＋C44)，所以展開式中含x的項的系數(shù)是－C44＋C43＝－768. 例3　解　(1)由已知得2C＝C＋C， 即n2－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14. 當n＝7時展開式中二項式系數(shù)最大的項是第四項和第五項， ∵T4＝C()4(2x)3＝x3， T5＝C()3(2x)4＝70x4， ∴第四項的系數(shù)是，第五項的系數(shù)是70. 當n＝14時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是第八項，它的系數(shù)為C()727＝3 432. (2)由C＋C＋C＝79， 即n2＋n－156＝0. 得n＝－13(舍去)或n＝12. 設Tr＋1項的系數(shù)最大， ∵(＋2x)12＝()12(1＋4x)12， 由 解得9.4≤r≤10.4. ∵0≤r≤12，r∈N*，∴r＝10. ∴展開式中系數(shù)最大的項是第11項， 即T11＝()12C410x10 ＝16 896x10. 跟蹤訓練3　解　依題意得2n－22n－1＝－112， 整理得(2n－16)(2n＋14)＝0，解得n＝4， 所以第二個展開式中二項式系數(shù)最大的項是第五項． 依題意得C(2x)4(xlg x)4＝1 120， 化簡得x4(1＋lg x)＝1， 所以x＝1或4(1＋lg x)＝0， 故所求x的值為1或. 當堂訓練 1．15　2.20　3.6　4.－6　5.128