2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題18 等差數(shù)列 理.doc

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專題18 等差數(shù)列 一、 考綱要求： 1.理解等差數(shù)列的概念. 2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式. 3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題. 4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系． 二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn)： 1.(解決等差數(shù)列運(yùn)算問題的思想方法 (1)方程思想：等差數(shù)列的基本量為首項(xiàng)a1和公差d，通常利用已知條件及通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式列方程(組)求解，等差數(shù)列中包含a1，d，n，an，Sn五個(gè)量，可“知三求二”. (2)整體思想：當(dāng)所給條件只有一個(gè)時(shí)，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯(lián)系，整體代換即可求解. (3)利用性質(zhì)：運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程. 2. 等差數(shù)列的四種判斷方法 (1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.可用來判定與證明. (2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列.可用來判定與證明. (3)通項(xiàng)公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. (4)前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. 三、高考考題題例分析： 例1.（2018課標(biāo)卷I） 記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若3S3=S2+S4，a1=2，則a5=（　?。? A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 【答案】B 【解析】：∵Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，3S3=S2+S4，a1=2， ∴=a1+a1+d+4a1+d， 把a(bǔ)1=2，代入得d=﹣3 ∴a5=2+4（﹣3）=﹣10． 故選：B． 例2.（2018課標(biāo)卷II）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1=﹣7，S3=﹣15． （1）求{an}的通項(xiàng)公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 【答案】（1）an=2n﹣9；（2）﹣16． 例3.（2018北京卷）設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則{an}的通項(xiàng)公式為　 【答案】an=6n﹣3． 【解析】：∵{an}是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36， ∴， 解得a1=3，d=6， ∴an=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）6=6n﹣3． ∴{an}的通項(xiàng)公式為an=6n﹣3． 故答案為：an=6n﹣3． 例4.（2018上海卷）記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3=0，a6+a7=14，則S7=　?。? 【答案】14 【解析】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3=0，a6+a7=14， ∴， 解得a1=﹣4，d=2， ∴S7=7a1+=﹣28+42=14． 故答案為：14． 例5.(2017課標(biāo)I)記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 例6.(2017浙江)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則“d>0”是“S4 + S6>2S5”的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】：由，可知當(dāng)，則 ，即，反之，，所以為充要條件，選C． 例7.(2016高考新課標(biāo)1)已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27,,則（） （A）100 （B）99 （C）98 （D）97 【答案】C 【解析】：由已知,所以故選C. 例8.(2017天津)已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，,，. （Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【答案】 （1）..（2）. 【解析】：根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式列方程求出等差數(shù)列首項(xiàng)和公差及等比數(shù)列的公比，寫出等差數(shù)列和等比孰劣的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和，要求計(jì)算要準(zhǔn)確. （II）解：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為， 由，，有， 故， ， 上述兩式相減，得 得. 所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為. 例9.(2016高考新課標(biāo)II)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求數(shù)列的前1 000項(xiàng)和． 【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893. 試題解析：（Ⅰ）設(shè)的公差為，據(jù)已知有，解得 所以的通項(xiàng)公式為 （Ⅱ）因?yàn)? 所以數(shù)列的前項(xiàng)和為 等差數(shù)列練習(xí) 一、選擇題 1．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝6，a3＝0，則公差d等于 (　　) A．－1　　　　　　　 B．1 C．2 D．－2 【答案】D　 【解析】:依題意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故選D． 2．在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6等于 (　　) A．－1 B．0 C．1 D．6 【答案】B　 【解析】:由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a6＝2a4－a2＝22－4＝0，選B． 3．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a7＝－8，a2＝2，則數(shù)列{an}的公差d等于 (　　) A．－1　　　　　　　 B．－2 C．－3 D．－4 【答案】C　 4．已知等差數(shù)列{an}中，a1＝11，a5＝－1，則{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值是 (　　) A．15 B．20 C．26 D．30 【答案】C　 【解析】:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則d＝(a5－a1)＝－3，所以an＝11－3(n－1)＝14－3n，令an＝14－3n≥0，解得n≤，所以Sn的最大值為S4＝411＋(－3)＝26，故選C． 5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，則m＝ (　　) A．9 B．10 C．11 D．15 【答案】B 【解析】:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意解得 ∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10. 6.《張邱建算經(jīng)》卷上第22題為：今有女善織，日益功疾(注：從第2天起每天比前一天多織相同量的布)，第1天織5尺布，現(xiàn)在一月(按30天計(jì))，共織390尺布，則第2天織布的尺數(shù)為 (　　) A． B． C． D． 【答案】　A　 【解析】:由條件知該女子每天織布的尺數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an}，且a1＝5，S30＝390，設(shè)公差為d，則305＋d＝390，解得d＝，則a2＝a1＋d＝，故選A． 7.在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，則該數(shù)列的通項(xiàng)為 (　　) A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ 【答案】A　 8.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝ (　　) A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A　 【解析】:a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝＝5a3＝5. 9.等差數(shù)列{an}中，a1＋a3＋a5＝39，a5＋a7＋a9＝27，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)的和S9等于(　　) A．66 B．99 C．144 D．297 【答案】B 【解析】:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知a1＋a3＋a5＝3a3＝39，可得a3＝13.由a5＋a7＋a9＝3a7＝27，可得a7＝9，故S9＝＝＝99，故選B． 10.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝，則＝ (　　) A．1 B．－1 C．2 D． 【答案】A　 【解析】:＝＝＝＝1. 11．等差數(shù)列{an}中，a2＝8，前6項(xiàng)的和S6＝66，設(shè)bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，則Tn＝ (　　) A．1－ B．1－ C．－ D．－ 【答案】D　 12．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為(　　) A．bn＝n－1 B．bn＝2n－1 C．bn＝n＋1 D．bn＝2n＋1 【答案】B　 【解析】:設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0)，＝k，因?yàn)閎1＝1，則n＋n(n－1)d＝k， 即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d， 整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0. 因?yàn)閷θ我獾恼麛?shù)n上式均成立， 所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0， 解得d＝2，k＝， 所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1. 二、填空題 13．在等差數(shù)列{an}中，公差d＝，前100項(xiàng)的和S100＝45，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________. 【答案】10　 14．《九章算術(shù)》是我國第一部數(shù)學(xué)專著，下面有源自其中的一個(gè)問題：“今有金箠(chu)，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問金箠重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長5尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問金箠重多少斤？”根據(jù)上面的已知條件，若金箠由粗到細(xì)的重量是均勻變化的，則答案是________． 【答案】15斤　 【解析】:由題意可知金箠由粗到細(xì)各尺的重量成等差數(shù)列，且a1＝4，a5＝2，則S5＝＝15，故金箠重15斤． 15．在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為________. 【答案】　 【解析】:由題意，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn有最大值，可得即解得－1＜d＜－. 16．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則正整數(shù)m的值為________． 【答案】5　 【解析】:因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3， 所以am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，數(shù)列的公差d＝1，am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，即2a1＋2m－1＝5， 所以a1＝3－m. 由Sm＝(3－m)m＋1＝0， 解得正整數(shù)m的值為5. 三、解答題 17．在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk＝－35，求k的值． 【答案】(1)an＝1＋(n－1)(－2)＝3－2n；(2) k＝7. 18.已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)． ①求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． ②求數(shù)列{an}中的通項(xiàng)公式an. 【解析】①證明：因?yàn)閍n＝2－(n≥2，n∈N*)， bn＝. 所以n≥2時(shí)，bn－bn－1＝－ ＝－＝－＝1. 又b1＝＝－， 所以數(shù)列{bn}是以－為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列． ②由(1)知，bn＝n－， 則an＝1＋＝1＋. 19．已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a,4,3a，前n項(xiàng)和為Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值； (2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn＝，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和Tn. 【答案】(1) a＝2，k＝10. (2) Tn＝ (2)證明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)， 則bn＝＝n＋1， 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1， 即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列， 所以Tn＝＝. 20．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù). (1)證明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由． 【解析】　(1)證明：由題設(shè)知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)由題設(shè)知a1＝1，a1a2＝λS1－1， 可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1. 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3； {a2n}是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2， 因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 21．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝(an＋1)2，且an>0. (1)求a1，a2； (2)求{an}的通項(xiàng)公式； (3)令bn＝20－an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的最大值． 【答案】1); 2); 3)n=10,為最大 【解析】:1)由a1=S1?a1=1,a2=S2-S1?a2=3; 2)bn=21-2n,Tn最大?bn≥0,bn+1<0 ?n=10,∴Tn=T10=100為最大。 22.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 【答案】（1）；（2）． （2）由得， ∴ ．