(通用版)2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題跟蹤檢測(十七)概率、隨機變量及其分布列 理(重點生含解析).doc
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專題跟蹤檢測(十七) 概率、隨機變量及其分布列 一、全練保分考法——保大分 1.(2018全國卷Ⅱ)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是( ) A. B. C. D. 解析:選C 不超過30的所有素數(shù)為2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個,隨機選取兩個不同的數(shù),共有C=45種情況,而和為30的有7+23,11+19,13+17這3種情況,∴所求概率為=.故選C. 2.(2018武漢調(diào)研)將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次,得到的點數(shù)依次記為a和b,則方程ax2+bx+1=0有實數(shù)解的概率是( ) A. B. C. D. 解析:選C 投擲骰子兩次,所得的點數(shù)a和b滿足的關(guān)系為∴a和b的組合有36種,若方程ax2+bx+1=0有實數(shù)解,則Δ=b2-4a≥0,∴b2≥4a. 當(dāng)b=1時,沒有a符合條件;當(dāng)b=2時,a可取1;當(dāng)b=3時,a可取1,2;當(dāng)b=4時,a可取1,2,3,4;當(dāng)b=5時,a可取1,2,3,4,5,6;當(dāng)b=6時,a可取1,2,3,4,5,6. 滿足條件的組合有19種,則方程ax2+bx+1=0有實數(shù)解的概率P=. 3.(2018合肥質(zhì)檢)已知某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的質(zhì)量X(單位:克)服從正態(tài)分布N(100,4).現(xiàn)從該產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機抽取10 000件產(chǎn)品,其中質(zhì)量在[98,104]內(nèi)的產(chǎn)品估計有( ) 附:若X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954 5. A.3 413件 B.4 772件 C.6 826件 D.8 186件 解析:選D 由題意知μ=100,σ=2,則P(98<X<104)=[P(μ-σ<X<μ+σ)+P(μ-2σ<X<μ+2σ)]≈0.818 6,所以質(zhì)量在[98,104]內(nèi)的產(chǎn)品估計有10 0000.818 6=8 186件. 4.(2019屆高三洛陽聯(lián)考)如圖,圓O:x2+y2=π2內(nèi)的正弦曲線y=sin x與x軸圍成的區(qū)域記為M(圖中陰影部分),隨機往圓O內(nèi)投一個點A,則點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是( ) A. B. C. D. 解析:選B 由題意知圓O的面積為π3,正弦曲線y=sin x,x∈[-π,π]與x軸圍成的區(qū)域記為M,根據(jù)圖形的對稱性得區(qū)域M的面積S=2sin xdx=-2cos x=4,由幾何概型的概率計算公式可得,隨機往圓O內(nèi)投一個點A,則點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率P=,故選B. 5.(2018濰坊模擬)某籃球隊對隊員進(jìn)行考核,規(guī)則是:①每人進(jìn)行3個輪次的投籃;②每個輪次每人投籃2次,若至少投中1次,則本輪通過,否則不通過.已知隊員甲投籃1次投中的概率為,如果甲各次投籃投中與否互不影響,那么甲3個輪次通過的次數(shù)X的期望是( ) A.3 B. C.2 D. 解析:選B 每個輪次甲不能通過的概率為=,通過的概率為1-=,因為甲3個輪次通過的次數(shù)X服從二項分布B,所以X的數(shù)學(xué)期望為3=. 6.(2018濰坊模擬)如圖,六邊形ABCDEF是一個正六邊形,若在正六邊形內(nèi)任取一點,則該點恰好在圖中陰影部分的概率是( ) A. B. C. D. 解析:選C 設(shè)正六邊形的中心為點O,BD與AC交于點G,BC=1,則BG=CG,∠BGC=120,在△BCG中,由余弦定理得1=BG2+BG2-2BG2cos 120,得BG=,所以S△BCG=BGBGsin 120==,因為S六邊形ABCDEF=S△BOC6=11sin 606=,所以該點恰好在圖中陰影部分的概率是1-=. 7.(2018福州模擬)某商店隨機將三幅分別印有福州三寶(脫胎漆器、角梳、油紙傘)的宣傳畫并排貼在同一面墻上,則角梳與油紙傘的宣傳畫相鄰的概率是________. 解析:記脫胎漆器、角梳、油紙傘的宣傳畫分別為a,b,c,則并排貼的情況有abc,acb,bac,bca,cab,cba,共6種,其中b,c相鄰的情況有abc,acb,bca,cba,共4種,故由古典概型的概率計算公式,得所求概率P==. 答案: 8.(2018唐山模擬)向圓(x-2)2+(y-)2=4內(nèi)隨機投擲一點,則該點落在x軸下方的概率為________. 解析:如圖,連接CA,CB,依題意,圓心C到x軸的距離為,所以弦AB的長為2.又圓的半徑為2,所以弓形ADB的面積為π2-2=π-,所以向圓(x-2)2+(y-)2=4內(nèi)隨機投擲一點,則該點落在x軸下方的概率P=-. 答案:- 9.從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽取兩張,將其中一張放到驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔,則兩張都是假鈔的概率是________. 解析:設(shè)事件A為“抽到的兩張都是假鈔”,事件B為“抽到的兩張至少有一張假鈔”,則所求的概率為P(A|B), 因為P(AB)=P(A)==, P(B)==, 所以P(A|B)===. 答案: 10.(2018唐山模擬)某籃球隊在某賽季已結(jié)束的8場比賽中,隊員甲得分統(tǒng)計的莖葉圖如圖. (1)根據(jù)這8場比賽,估計甲每場比賽中得分的均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ; (2)假設(shè)甲在每場比賽的得分服從正態(tài)分布N(μ,σ2),且各場比賽間相互沒有影響,依此估計甲在82場比賽中得分在26分以上的平均場數(shù). 參考數(shù)據(jù): ≈5.66,≈5.68,≈5.70. 正態(tài)總體N(μ,σ2)在區(qū)間(μ-2σ,μ+2σ)內(nèi)取值的概率約為0.954. 解:(1)μ=(7+8+10+15+17+19+21+23)=15,σ2=[(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25. 所以σ≈5.68. 所以估計甲每場比賽中得分的均值μ為15,標(biāo)準(zhǔn)差σ為5.68. (2)由(1)得甲在每場比賽中得分在26分以上的概率 P(X≥26)≈[1-P(μ-2σ<X<μ+2σ)]≈(1-0.954)=0.023, 設(shè)在82場比賽中,甲得分在26分以上的次數(shù)為Y,則Y~B(82,0.023).Y的均值E(Y)=820.023=1.886. 由此估計甲在82場比賽中得分在26分以上的平均場數(shù)為1.886. 11.某化妝品公司從國外進(jìn)口美容型和療效型兩種化妝品,分別經(jīng)過本公司的兩條生產(chǎn)線分裝后進(jìn)行銷售,兩種化妝品的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量都是100克/瓶,誤差不超過5克/瓶即視為合格產(chǎn)品,否則視為不合格產(chǎn)品.現(xiàn)隨機抽取兩種產(chǎn)品各60瓶進(jìn)行檢測,檢測結(jié)果統(tǒng)計如下: 質(zhì)量/克 [90,95) [95,100) [100,105) [105,110] 美容型化妝品/瓶 5 22 23 10 療效型化妝品/瓶 5 21 19 15 (1)根據(jù)上述檢測結(jié)果,若從這兩種化妝品中各任取一瓶,以頻率作為概率,分別計算這兩瓶化妝品為合格產(chǎn)品的概率; (2)對于一瓶美容型化妝品,若是合格產(chǎn)品,則可獲得的利潤為a(單位:百元),若不是合格產(chǎn)品,則虧損a2(單位:百元);對于一瓶療效型化妝品,若是合格產(chǎn)品,則可獲得的利潤為a(單位:百元),若不是合格產(chǎn)品,則虧損2a2(單位:百元).那么當(dāng)a為何值時,該公司各銷售一瓶這兩種化妝品所獲得的利潤最大? 解:(1)由表可知,任取一瓶美容型化妝品,其為合格產(chǎn)品的概率為=; 任取一瓶療效型化妝品,其為合格產(chǎn)品的概率為=. (2)記X為任意一瓶美容型化妝品和一瓶療效型化妝品所獲得的利潤之和,則X的所有可能取值為a,a-2a2,a-a2,-3a2, 則P==, P(X=a-2a2)==, P==, P(X=-3a2)==, 所以隨機變量X的分布列為 X a a-2a2 a-a2 -3a2 P 所以E(X)=a+(a-2a2)++(-3a2)=-a2+a=-(a-2)2+, 所以當(dāng)a=2時,E(X)取得最大值, 即當(dāng)a為2時,該公司各銷售一瓶這兩種化妝品所獲得的利潤最大. 12.(2019屆高三貴陽模擬)從A地到B地共有兩條路徑L1和L2,經(jīng)過這兩條路徑所用的時間互不影響,且經(jīng)過L1和L2所用時間的頻率分布直方圖分別如圖(1)和(2).現(xiàn)甲選擇L1或L2在40分鐘內(nèi)從A地到B地,乙選擇L1或L2在50分鐘內(nèi)從A地到B地. (1)求圖(1)中a的值;并回答,為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到B地,甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑? (2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到B地的人數(shù),針對(1)中的選擇方案,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解:(1)由圖(1)可得(0.01+0.023+a)10=1, 解得a=0.03, 用Ai表示甲選擇Li(i=1,2)在40分鐘內(nèi)從A地到B地,用Bi表示乙選擇Li(i=1,2)在50分鐘內(nèi)從A地到B地,則P(A1)=(0.01+0.02+0.03)10=0.6,P(A2)=(0.01+0.04)10=0.5, 因為P(A1)>P(A2),所以甲應(yīng)選擇L1. 又P(B1)=(0.01+0.02+0.03+0.02)10=0.8, P(B2)=(0.01+0.04+0.04)10=0.9, 因為P(B2)>P(B1),所以乙應(yīng)選擇L2. (2)用M,N分別表示針對(1)的選擇方案,甲、乙兩人在各自允許的時間內(nèi)趕到B地,由(1)知P(M)=0.6,P(N)=0.9,X的可能取值為0,1,2. 由題意知,M,N相互獨立, ∴P(X=0)=0.40.1=0.04, P(X=1)=0.40.9+0.60.1=0.42, P(X=2)=0.60.9=0.54, ∴X的分布列為 X 0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 ∴E(X)=00.04+10.42+20.54=1.5. 13.(2018全國卷Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗,再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(00; 當(dāng)p∈(0.1,1)時,f′(p)<0. 所以f(p)的最大值點為p0=0.1. (2)由(1)知,p=0.1. ①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知Y~B(180,0.1),X=202+25Y,即X=40+25Y.所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490. ②若對余下的產(chǎn)品作檢驗,則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費用為400元.由于EX>400,故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗. 二、加練大題考法——少失分 1.(2018鄭州質(zhì)檢)為了減少霧霾,還城市一片藍(lán)天,某市政府于12月4日到12月31日在主城區(qū)實行車輛限號出行政策,鼓勵民眾不開車低碳出行.市政府為了了解民眾低碳出行的情況,統(tǒng)計了該市甲、乙兩個單位各200名員工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人數(shù),畫出莖葉圖如圖所示, (1)若甲單位數(shù)據(jù)的平均數(shù)是122,求x的值; (2)現(xiàn)從圖中的數(shù)據(jù)中任取4天的數(shù)據(jù)(甲、乙兩個單位中各取2天),記抽取的4天中甲、乙兩個單位員工低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)分別為ξ1,ξ2,令η=ξ1+ξ2,求η的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解:(1)由題意知,[105+107+113+115+119+126+(120+x)+132+134+141]=122,解得x=8. (2)由題得ξ1的所有可能取值為0,1,2,ξ2的所有可能取值為0,1,2,因為η=ξ1+ξ2,所以隨機變量η的所有可能取值為0,1,2,3,4. 因為甲單位低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)為3,乙單位低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)為4, 所以P(η=0)==, P(η=1)==, P(η=2)==, P(η=3)==, P(η=4)==. 所以η的分布列為 η 0 1 2 3 4 P 所以E(η)=0+1+2+3+4=. 2.(2018福州模擬)某學(xué)校八年級共有學(xué)生400人,現(xiàn)對該校八年級學(xué)生隨機抽取50名進(jìn)行實踐操作能力測試,實踐操作能力測試結(jié)果分為四個等級水平,一、二等級水平的學(xué)生實踐操作能力較弱,三、四等級水平的學(xué)生實踐操作能力較強,測試結(jié)果統(tǒng)計如下表: 等級 水平一 水平二 水平三 水平四 男生/名 4 8 12 6 女生/名 6 8 4 2 (1)根據(jù)表中統(tǒng)計的數(shù)據(jù)填寫下面22列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生實踐操作能力強弱與性別有關(guān)? 實踐操作能力較弱 實踐操作能力較強 總計 男生/名 女生/名 總計 (2)現(xiàn)從測試結(jié)果為水平一的學(xué)生中隨機抽取4名進(jìn)行學(xué)習(xí)能力測試,記抽到水平一的男生的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望. 下面的臨界值表供參考: P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 參考公式:K2=, 其中n=a+b+c+d. 解:(1)補充22列聯(lián)表如下: 實踐操作能力較弱 實踐操作能力較強 總計 男生/名 12 18 30 女生/名 14 6 20 總計 26 24 50 ∴K2=≈4.327>3.841. ∴有95%的把握認(rèn)為學(xué)生實踐操作能力強弱與性別有關(guān). (2)ξ的可能取值為0,1,2,3,4. P(ξ=0)==,P(ξ=1)==, P(ξ=2)==,P(ξ=3)==, P(ξ=4)==. ∴ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P ∴E(ξ)=0+1+2+3+4=. 3.(2018開封模擬)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級,等級系數(shù)X依次為1,2,…,8,其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A,X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B,已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價為6元/件;乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價為4元/件.假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn). (1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下表所示: X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)=6,求a,b的值; (2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2,從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件,相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本,數(shù)據(jù)如下: 用這個樣本的頻率分布估計總體分布,將頻率視為概率,求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望; (3)在(1),(2)的條件下,若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn),判斷哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性?并說明理由. 注:①產(chǎn)品的“性價比”=產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望/產(chǎn)品的零售價; ②“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性. 解:(1)∵E(X1)=6,∴50.4+6a+7b+80.1=6, 即6a+7b=3.2.① 又0.4+a+b+0.1=1,即a+b=0.5.② 聯(lián)立①②解得a=0.3,b=0.2. (2)由已知,用這個樣本的頻率分布估計總體分布,將頻率視為概率,可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下: X2 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 ∴E(X2)=30.3+40.2+50.2+60.1+70.1+80.1=4.8, 即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望等于4.8. (3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性,理由如下: ∵甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6,價格為6元/件, ∴其性價比為=1, ∵乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8,價格為4元/件, ∴其性價比為=1.2, 又1.2>1,∴乙廠的產(chǎn)品更具可購買性. 4.(2019屆高三洛陽聯(lián)考)隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展,基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應(yīng)運而生.某市場研究人員為了了解共享單車運營公司M的經(jīng)營狀況,對該公司6個月內(nèi)的市場占有率進(jìn)行了統(tǒng)計,并繪制了相應(yīng)的折線圖. (1)由折線圖可以看出,可用線性回歸模型擬合月度市場占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系.求y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測M公司2019年2月份(即x=8時)的市場占有率; (2)為進(jìn)一步擴大市場,公司擬再采購一批單車.現(xiàn)有采購成本分別為1 000元/輛和1 200元/輛的A,B兩款車型可供選擇,按規(guī)定每輛單車最多使用4年,但由于多種原因(如騎行頻率等)會導(dǎo)致車輛使用年限各不相同.考慮到公司運營的經(jīng)濟效益,該公司決定先對兩款車型的單車各100輛進(jìn)行科學(xué)模擬測試,得到兩款單車使用年限頻數(shù)表如下: 使用年限 車型 1年 2年 3年 4年 總計 A 20 35 35 10 100 B 10 30 40 20 100 經(jīng)測算,平均每輛單車每年可以帶來收入500元.不考慮除采購成本之外的其他成本,假設(shè)每輛單車的使用年限都是整數(shù),且以頻率作為每輛單車使用年限的概率.如果你是M公司的負(fù)責(zé)人,以每輛單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù),你會選擇采購哪款車型? 參考公式:回歸直線方程為=x+, 其中=,=-. 解:(1)由數(shù)據(jù)計算可得==3.5, ==16. iyi=111+213+316+415+520+621=371, =12+22+32+42+52+62=91, ∴==2,=16-23.5=9. ∴月度市場占有率y與月份代碼x之間的線性回歸方程為=2x+9. 當(dāng)x=8時,=28+9=25. 故M公司2019年2月份的市場占有率預(yù)計為25%. (2)由頻率估計概率,每輛A款車可使用1年,2年,3年和4年的概率分別為0.2,0.35,0.35和0.1, ∴每輛A款車產(chǎn)生利潤的期望值為 E(X)=(500-1 000)0.2+(1 000-1 000)0.35+(1 500-1 000)0.35+(2 000-1 000)0.1=175(元). 由頻率估計概率,每輛B款車可使用1年,2年,3年和4年的概率分別為0.1,0.3,0.4和0.2, ∴每輛B款車產(chǎn)生利潤的期望值為 E(Y)=(500-1 200)0.1+(1 000-1 200)0.3+(1 500-1 200)0.4+(2 000-1 200)0.2=150(元). ∴E(X)>E(Y),∴應(yīng)該采購A款單車.
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