2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：4-1-1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.doc

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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：4-1-1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 （1課時） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 1.使學(xué)生掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,能根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓的圓心、半徑,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生能用解析法研究幾何問題的能力,滲透數(shù)形結(jié)合思想,注意培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力. 2.會用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí),形成代數(shù)方法處理幾何問題的能力,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣,培養(yǎng)學(xué)生分析、概括的思維能力. 3.理解掌握圓的切線的求法.包括已知切點(diǎn)求切線,從圓外一點(diǎn)引切線,已知切線斜率求切線等.把握運(yùn)動變化原則,培養(yǎng)學(xué)生樹立相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點(diǎn),欣賞和體驗(yàn)圓的對稱性,感受數(shù)學(xué)美. 教學(xué)重、 難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程特點(diǎn)的明確. 教學(xué)難點(diǎn):會根據(jù)不同的已知條件,利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 同學(xué)們,我們知道直線可以用一個方程表示,那么,圓可以用一個方程表示嗎？圓的方程怎樣來求呢?這就是本堂課的主要內(nèi)容,教師板書本節(jié)課題:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 ①已知兩點(diǎn)A(2,-5),B(6,9),如何求它們之間的距離?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它們之間的距離? ②具有什么性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡稱為圓？ ③圖1中哪個點(diǎn)是定點(diǎn)？哪個點(diǎn)是動點(diǎn)？動點(diǎn)具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點(diǎn)？ 圖1 ④我們知道,在平面直角坐標(biāo)系中,確定一條直線的條件是兩點(diǎn)或一點(diǎn)和傾斜角,那么,決定圓的條件是什么? ⑤如果已知圓心坐標(biāo)為C(a,b),圓的半徑為r,我們?nèi)绾螌懗鰣A的方程? ⑥圓的方程形式有什么特點(diǎn)？當(dāng)圓心在原點(diǎn)時,圓的方程是什么？ 討論結(jié)果：①根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式,得 |AB|=, |CD|=. ②平面內(nèi)與一定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡稱為圓,定點(diǎn)是圓心,定長是半徑(教師在黑板上畫一個圓). ③圓心C是定點(diǎn),圓周上的點(diǎn)M是動點(diǎn),它們到圓心距離等于定長|MC|=r,圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小. ④確定圓的條件是圓心和半徑,只要圓心和半徑確定了,那么圓的位置和大小就確定了. ⑤確定圓的基本條件是圓心和半徑,設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為C(a,b),半徑為r(其中a、b、r都是常數(shù),r＞0).設(shè)M(x,y)為這個圓上任意一點(diǎn),那么點(diǎn)M滿足的條件是(引導(dǎo)學(xué)生自己列出)P={M||MA|=r},由兩點(diǎn)間的距離公式讓學(xué)生寫出點(diǎn)M適合的條件=r.① 將上式兩邊平方得(x-a)2+(y-b)2=r2. 化簡可得(x-a)2+(y-b)2=r2.② 若點(diǎn)M(x,y)在圓上,由上述討論可知,點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程②,反之若點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程②,這就說明點(diǎn)M與圓心C的距離為r,即點(diǎn)M在圓心為C的圓上.方程②就是圓心為C(a,b),半徑長為r的圓的方程,我們把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. ⑥這是二元二次方程,展開后沒有xy項(xiàng),括號內(nèi)變數(shù)x,y的系數(shù)都是1.點(diǎn)(a,b)、r分別表示圓心的坐標(biāo)和圓的半徑.當(dāng)圓心在原點(diǎn)即C(0,0)時,方程為x2+y2=r2. 提出問題 ①根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程說明確定圓的方程的條件是什么? ②確定圓的方程的方法和步驟是什么? ③坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與圓有什么位置關(guān)系?如何判斷? 討論結(jié)果：①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2=r2中,有三個參數(shù)a、b、r,只要求出a、b、r且r＞0,這時圓的方程就被確定,因此確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需三個獨(dú)立條件,其中圓心是圓的定位條件,半徑是圓的定形條件. ②確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法,即列出關(guān)于a、b、r的方程組,求a、b、r或直接求出圓心(a,b)和半徑r,一般步驟為： 1根據(jù)題意,設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2=r2； 2根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a、b、r的方程組； 3解方程組,求出a、b、r的值,并把它們代入所設(shè)的方程中去,就得到所求圓的方程. ③點(diǎn)M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的關(guān)系的判斷方法： 當(dāng)點(diǎn)M(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 當(dāng)點(diǎn)M(x0,y0)不在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,點(diǎn)M的坐標(biāo)不滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 用點(diǎn)到圓心的距離和半徑的大小來說明應(yīng)為: 1點(diǎn)到圓心的距離大于半徑,點(diǎn)在圓外(x0-a)2+(y0-b)2＞r2,點(diǎn)在圓外; 2點(diǎn)到圓心的距離等于半徑,點(diǎn)在圓上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,點(diǎn)在圓上; 3點(diǎn)到圓心的距離小于半徑,點(diǎn)在圓內(nèi)(x0-a)2+(y0-b)2＜r2,點(diǎn)在圓內(nèi). 應(yīng)用示例 例1 寫出下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)圓心在原點(diǎn),半徑是3； ⑵圓心在點(diǎn)C(3,4),半徑是; (3)經(jīng)過點(diǎn)P(5,1),圓心在點(diǎn)C(8,-3)； (4)圓心在點(diǎn)C(1,3),并且和直線3x-4y-7=0相切. 解:(1)由于圓心在原點(diǎn),半徑是3,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-0)2+(y-0)2=32,即x2+y2=9. (2)由于圓心在點(diǎn)C(3,4),半徑是5,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5. (3)方法一:圓的半徑r=|CP|==5,因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3)2=25. 方法二:設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3)2=r2,因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3)2=25. 這里方法一是直接法,方法二是間接法,它需要確定有關(guān)參數(shù)來確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,兩種方法都可,要視問題的方便而定. (4)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-3)2=r2,由圓心到直線的距離等于圓的半徑,所以r=.因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-3)2=. 點(diǎn)評：要求能夠用圓心坐標(biāo)、半徑長熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 例2 寫出圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的方程,并判斷點(diǎn)M1(5,-7),M2(-,-1)是否在這個圓上. 解:圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (x-2)2+(y+3)2=25, 把點(diǎn)M1(5,-7),M2(-,,-1)分別代入方程(x-2)2+(y+3)2=25, 則M1的坐標(biāo)滿足方程,M1在圓上.M2的坐標(biāo)不滿足方程,M2不在圓上. 點(diǎn)評:本題要求首先根據(jù)坐標(biāo)與半徑大小寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后給一個點(diǎn),判斷該點(diǎn)與圓的關(guān)系,這里體現(xiàn)了坐標(biāo)法的思想,根據(jù)圓的坐標(biāo)及半徑寫方程——從幾何到代數(shù)；根據(jù)坐標(biāo)滿足方程來看在不在圓上——從代數(shù)到幾何. 例3 △ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程. 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可用待定系數(shù)法確定a、b、r三個參數(shù).另外可利用直線AB與AC的交點(diǎn)確定圓心,從而得半徑,圓的方程可求,師生總結(jié)、歸納、提煉方法. 解法一:設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因?yàn)锳(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圓上, 它們的坐標(biāo)都滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是 解此方程組得所以△ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25. 解法二:線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(6,-1),斜率為-2,所以線段AB的垂直平分線的方程為y+1=(x-6). ① 同理線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3.5,-3.5),斜率為3,所以線段AC的垂直平分線的方程為y+3.5=3(x-3.5). ② 解由①②組成的方程組得x=2,y=-3,所以圓心坐標(biāo)為(2,-3),半徑r==5,所以△ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25. 點(diǎn)評:△ABC外接圓的圓心是△ABC的外心,它是△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn),它到三頂點(diǎn)的距離相等,就是圓的半徑,利用這些幾何知識,可豐富解題思路. . 變式訓(xùn)練 一圓過原點(diǎn)O和點(diǎn)P(1,3),圓心在直線y=x+2上,求此圓的方程. 解法一：因?yàn)閳A心在直線y=x+2上,所以設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a+2). 則圓的方程為(x-a)2+(y-a-2)2=r2. 因?yàn)辄c(diǎn)O(0,0)和P(1,3)在圓上, 所以解得 所以所求的圓的方程為(x+)2+(y-)2=. 解法二：由題意：圓的弦OP的斜率為3,中點(diǎn)坐標(biāo)為(,), 所以弦OP的垂直平分線方程為y-=-(x-),即x+3y-5=0. 因?yàn)閳A心在直線y=x+2上,且圓心在弦OP的垂直平分線上, 所以由解得,即圓心坐標(biāo)為C(-,). 又因?yàn)閳A的半徑r=|OC|=, 所以所求的圓的方程為(x+)2+(y-)2=. 點(diǎn)評:(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中有a、b、r三個量,要求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即要求a、b、r三個量,有時可用待定系數(shù)法. (2)要重視平面幾何中的有關(guān)知識在解題中的運(yùn)用. 例3 求下列圓的方程: (1)圓心在直線y=-2x上且與直線y=1-x相切于點(diǎn)(2,-1). (2)圓心在點(diǎn)(2,-1),且截直線y=x-1所得弦長為22. 解:(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-2a),由題意知圓與直線y=1-x相切于點(diǎn)(2,-1),所以,解得a=1.所以所求圓心坐標(biāo)為(1,-2),半徑r==.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+2) 2=2. (2)設(shè)圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=r2(r＞0),由題意知圓心到直線y=x-1的距離為d==.又直線y=x-1被圓截得弦長為2,所以由弦長公式得r2-d2=2,即r=2.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+1)2=4. 點(diǎn)評:本題的兩個題目所給條件均與圓心和半徑有關(guān),故都利用了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解,此外平面幾何的性質(zhì)的應(yīng)用,使得解法簡便了許多,所以類似問題一定要注意圓的相關(guān)幾何性質(zhì)的應(yīng)用,從確定圓的圓心和半徑入手來解決. 知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí)1、2. 拓展提升 1.求圓心在直線y=2x上且與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圓的方程. 活動:學(xué)生思考交流,教師提示引導(dǎo),求圓的方程,無非就是確定圓的圓心和半徑,師生共同探討解題方法. 解:首先兩平行線的距離d==2,所以半徑為r==1. 方法一：設(shè)與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距離相等的直線方程為3x+4y+k=0,由平行線間的距離公式d=,得,即k=-2,所以直線方程為3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0與y=2x組成的方程組得,因此圓心坐標(biāo)為(,).又半徑為r=1,所以所求圓的方程為(x-)2+(y-)2=1. 方法二：解方程組因此圓心坐標(biāo)為(,).又半徑r=1,所以所求圓的方程為(x-)2+(y-)2=1. 點(diǎn)評:要充分考慮各幾何元素間的位置關(guān)系,把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來處理. 課堂小結(jié) ①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. ②點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法. ③根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法. ④利用圓的平面幾何的知識構(gòu)建方程. ⑤直徑端點(diǎn)是A(x1,y1)、B(x2,y2)的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 作業(yè) 1.復(fù)習(xí)初中有關(guān)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系,圓與圓的位置關(guān)系有關(guān)內(nèi)容. 2.預(yù)習(xí)有關(guān)圓的切線方程的求法. 3.課本習(xí)題4.1 A組第2、3題. 板書設(shè)計(jì) 4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1、 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 例1 2、 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2 3、 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 變式 教學(xué)反思 圓是學(xué)生比較熟悉的曲線,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程既是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)也是難點(diǎn),為此先讓學(xué)生熟悉圓心、半徑與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之間的關(guān)系,逐步理解三個參數(shù)的重要性,自然形成待定系數(shù)法的解題思路,在突出重點(diǎn)的同時突破了難點(diǎn).利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程由淺入深的解決問題,并通過圓的方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用,增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.另外,為了培養(yǎng)學(xué)生的理性思維,在例題中,設(shè)計(jì)了由特殊到一般的學(xué)習(xí)思路,培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力.在問題的設(shè)計(jì)中,我用一題多解的探究,縱向挖掘知識深度,橫向加強(qiáng)知識間的聯(lián)系,培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神,并且使學(xué)生的有效思維量加大,隨時對所學(xué)知識和方法產(chǎn)生有意注意,能力與知識的形成相伴而行,不但突出了重點(diǎn),更使難點(diǎn)的突破水到渠成.