2019屆高考數(shù)學一輪復習 第七章 不等式 推理與證明 課時跟蹤訓練38 合情推理與演繹推理 文.doc
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課時跟蹤訓練(三十八) 合情推理與演繹推理 [基礎鞏固] 一、選擇題 1.觀察下面關于循環(huán)小數(shù)化分數(shù)的等式:0.==,0. ==,0. =,0.000 ==,據(jù)此推測循環(huán)小數(shù)0.2可化成分數(shù)( ) A. B. C. D. [解析] 0.2=0.2+0.10.=+=. 選D. [答案] D 2.已知數(shù)列{an}為,,,,,,,,,,…,依它的前10項的規(guī)律,則a99+a100的值為( ) A. B. C. D. [解析] 由給出的數(shù)列{an}的前10項得出規(guī)律,此數(shù)列中,分子與分母的和等于2的有1項,等于3的有2項,等于4的有3項,…,等于n的有n-1項,且分母由1逐漸增大到n-1,分子由n-1逐漸減小到1(n≥2),當n=14時即分子與分母的和為14時,數(shù)列到91項,當n=15即分子與分母的和為15時,數(shù)列到104項,所以a99與a100是分子與分母和為15中的第8項與第9項,分別為,,∴a99+a100=+=,選A. [答案] A 3.觀察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,則52018的末四位數(shù)字為( ) A.3125 B.5625 C.0625 D.8125 [解析] ∵55=3125,56=15625,57=78125, 58=390625,59=1953125,…,∴最后四位應為每四個循環(huán),2018=4504+2,∴52018最后四位應為5625. [答案] B 4.(2017安徽合肥一中模擬)《聊齋志異》中有這樣一首詩:“挑水砍柴不堪苦,請歸但求穿墻術.得訣自詡無所阻,額上墳起終不悟.”在這里,我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術”:2=,3=,4=,5=,…,則按照以上規(guī)律,若9=具有“穿墻術”,則n=( ) A.25 B.48 C.63 D.80 [解析] 由2=,3=,4=,5=,…, 可得若9=具有“穿墻術”,則n=92-1=80,故選D. [答案] D 5.(2017湖北宜昌一中、龍泉中學聯(lián)考)老師帶甲、乙、丙、丁四名學生去參加自主招生考試,考試結(jié)束后老師向四名學生了解考試情況,四名學生回答如下:甲說:“我們四人都沒考好”;乙說:“我們四人中有人考得好”;丙說:“乙和丁至少有一人沒考好”;丁說:“我沒考好”.結(jié)果,四名學生中有兩人說對了,則四名學生中說對了的兩人是( ) A.甲 丙 B.乙 丁 C.丙 丁 D.乙 丙 [解析] 如果甲對,則丙、丁都對,與題意不符,故甲錯,乙對;如果丙錯,則丁錯,因此只能是丙對,丁錯,故選D. [答案] D 6.如圖所示,面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i=1,2,3,4),此四邊形內(nèi)任一點P到第i條邊的距離記為hi(i=1,2,3,4),若====k,則1h1+2h2+3h3+4h4=.類比以上性質(zhì),體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為Si(i=1,2,3,4),此三棱錐內(nèi)任一點Q到第i個面的距離記為Hi(i=1,2,3,4),若====k,則H1+2H2+3H3+4H4值為( ) A. B. C. D. [解析] ∵V=S1H1+S2H2+S3H3+S4H4 =(kH1+2kH2+3kH3+4kH4) ∴H1+2H2+3H3+4H4=. [答案] B 二、填空題 7.半徑為x(x>0)的圓的面積函數(shù)f(x)的導數(shù)等于該圓的周長的函數(shù).對于半徑為R(R>0)的球,類似的結(jié)論為________. [解析] 因為半徑為x(x>0)的圓的面積函數(shù)f(x)=πx2,所以f′(x) =2πx. 類似地,半徑為R(R>0)的球的體積函數(shù)V(R)=πR3,所以V′(R)=4πR2. 故對于半徑為R(R>0)的球,類似的結(jié)論為半徑為R(R>0)的球的體積函數(shù)V(R)的導數(shù)等于該球的表面積的函數(shù). [答案] 半徑為R(R>0)的球的體積函數(shù)V(R)的導數(shù)等于該球的表面積的函數(shù) 8.(2017河北卓越聯(lián)盟月考)在平面內(nèi),三角形的面積為S,周長為C,則它的內(nèi)切圓的半徑r=.在空間中,三棱錐的體積為V,表面積為S,利用類比推理的方法,可得三棱錐的內(nèi)切球(球面與三棱錐的各個面均相切)的半徑R=________. [解析] 若三棱錐表面積為S,體積為V,則其內(nèi)切球半徑R=.理由如下: 設三棱錐的四個面的面積分別為S1,S2,S3,S4, 由于內(nèi)切球的球心到各面的距離等于內(nèi)切球的半徑, 所以V=S1R+S2R+S3R+S4R=SR, 所以內(nèi)切球的半徑R=. [答案] 9.某種平面分形圖如圖所示,一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段,長度均為1,兩兩夾角為120;二級分形圖是在一級分段形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的線段,且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120,…,依此規(guī)律得到n級分形圖. n級分形圖中共有________條線段. [解析] 分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線段,由題圖知,一級分形圖有3=(32-3)條線段,二級分形圖有9=(322-3)條線段,三級分形圖中有21=(323-3)條線段,按此規(guī)律n級分形圖中的線段條數(shù)an=32n-3. [答案] 32n-3 三、解答題 10.(2017山西運城4月模擬改編)宋元時期杰出的數(shù)學家朱世杰在其數(shù)學巨著《四元玉鑒》中提出了一個“茭草形段”問題:“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’(同垛)之,問底子幾何?”他在這一問題中探討了“垛積術”中的落一形垛(“落一形”即是指頂上一束,下一層3束,再下一層6束,……,)成三角錐的堆垛,故也稱三角垛,如圖,表示從上往下第二層開始的每層茭草束數(shù),求本問題中三角垛倒數(shù)第二層茭草總束數(shù)為多少? [解析] 由題意得,從上往下第n層茭草束數(shù)為1+2+3+…+n=, ∴1+3+6+…+=680, 即=n(n+1)(n+2)=680, ∴n(n+1)(n+2)=151617,∴n=15. 故倒數(shù)第二層為第14層,該層茭草總束數(shù)為=105. [答案] 105 [能力提升] 11.(2017江西贛州十四縣聯(lián)考)我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題:“今有人持金出五關,前關二而稅一,次關三而稅一,次關四而稅一,次關五而稅一,次關六而稅一.并五關所稅,適重一下.問本持金幾何?”其意思為“今有人持金出五關,第1關收稅金,第2關收稅金為剩余的,第3關收稅金為剩余的,第4關收稅金為剩余的,第5關收稅金為剩余的,5關所收稅金之和,恰好重1斤,問原本持金多少?”若將“5關所收稅金之和,恰好重1斤,問原本持金多少?”改成“假設這個人原本持金為x,按此規(guī)律通過第8關”,則第8關所收稅金為________x. [解析] 第1關收稅金:x; 第2關收稅金:x==; 第3關收稅金:x==; …… 第8關收稅金:=. [答案] 12.(2017安徽合肥模擬)“已知關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(1,2),解關于x的不等式cx2+bx+a>0.”給出如下的一種解法: 解:由ax2+bx+c>0的解集為(1,2),得a2+b+c>0的解集為,即關于x的不等式cx2+bx+a>0的解集為. 類比上述解法:若關于x的不等式+<0的解集為∪,則關于x的不等式->0的解集為______________________. [解析] 根據(jù)題意, 由+<0的解集為 ∪, 得+<0的解集為 ∪, 即->0的解集為 ∪. [答案] ∪ 13.(2017河北唐山三模)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若Sn+an=4-(n∈N*),則an=________. [解析] 解法一:已知Sn+an=4- ①,當n=1時,S1+a1=4-=2,解得a1=1.當n≥2時,用n-1代換n,得Sn-1+an-1=4- ②.①-②,得Sn-Sn-1+an-an-1=-,整理得2an-an-1=.兩邊同時乘2n-1,得2nan-2n-1an-1=2. 令bn=2nan,則bn-bn-1=2. 所以數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列,首項b1=21a1=2. 所以bn=2+(n-1)2=2n,即2nan=2n. 所以an==. 解法二:(歸納法):已知Sn+an=4-?、?,當n=1時,S1+a1=4-=2,解得a1=1;當n=2時,S2+a2=4-,即2a2+a1=3,解得a2=1;當n=3時,S3+a3=4-,即2a3+S2=,解得a3=;當n=4時,S4+a4=4-,即2a4+S3=,解得a4=;當n=5時,S5+a5=4-,即2a5+S4=,解得a5=;…,a1和a2可以寫成分數(shù)的形式,顯然該數(shù)列中每一項的分母都是2的整數(shù)冪,分子對應項的序號,即a1=,a2=,a3=,a4=,a5=,…,所以an=. [答案] 14.已知函數(shù)y=f(x)滿足:對任意a,b∈R,a≠b,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),試證明:f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù). [證明] 設任意x1,x2∈R,取x1- 配套講稿:
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