2018年秋高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.2 第1課時 組合與組合數(shù)公式學案 新人教A版選修2-3.doc
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第1課時 組合與組合數(shù)公式 學習目標:1.理解組合與組合數(shù)的概念.(重點)2.會推導組合數(shù)公式,并會應用公式求值.(重點)3.理解組合數(shù)的兩個性質(zhì),并會求值、化簡和證明.(難點、易混點) [自 主 預 習探 新 知] 1.組合的概念 一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合. 思考:怎樣理解組合,它與排列有何區(qū)別? [提示] (1)組合要求n個元素是不同的,被取的m個元素也是不同的,即從n個不同的元素中進行m次不放回地取出. (2)取出的m個元素不講究順序,也就是說元素沒有位置的要求,無序性是組合的特點. (3)辨別一個問題是排列問題還是組合問題,關鍵看選出的元素與順序是否有關,若交換某一問題中某兩個元素的位置對結果產(chǎn)生影響,則是排列問題,否則就是組合問題. 2.組合數(shù)的概念 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù). 思考:如何理解組合與組合數(shù)這兩個概念? [提示] 同“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念一樣,“組合”與“組合數(shù)”也是兩個不同的概念,“組合”是指“從n個不同元素中取m(m≤n)個元素合成一組”,它不是一個數(shù),而是具體的一件事;“組合數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)”,它是一個數(shù).例如,從3個不同元素a,b,c中每次取出兩個元素的組合為ab,ac,bc,其中每一種都叫一個組合,這些組合共有3個,則組合數(shù)為3. 3.組合數(shù)公式及其性質(zhì) (1)公式:C==. (2)性質(zhì):C=C_,C+C=C. (3)規(guī)定:C=1. [基礎自測] 1.判斷(正確的打“√”,錯誤的打“”) (1)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同. ( ) (2)從a1,a2,a3三個不同元素中任取兩個元素組成一個組合,所有組合的個數(shù)為C. ( ) (3)從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會調(diào)查,有多少種不同的選法是組合問題. ( ) (4)從甲、乙、丙3名同學中選出2名,有3種不同的選法. ( ) (5)現(xiàn)有4枚2015年抗戰(zhàn)勝利70周年紀念幣送給10人中的4人留念,有多少種送法是排列問題. ( ) [解析] (1)√ 因為只要兩個組合的元素相同,不論元素的順序如何,都是相同的組合. (2)√ 由組合數(shù)的定義可知正確. (3) 因為選出2名同學還要分到不同的兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn),這是排列問題. (4)√ 因為從甲、乙、丙3人中選兩名有:甲乙,甲丙,乙丙,共3個組合,即有3種不同選法. (5) 因為將4枚紀念幣送與4人并無順序,故該問題是組合問題. [答案] (1)√ (2)√ (3) (4)√ (5) 2.若C=28,則n=( ) 【導學號:95032046】 A.9 B.8 C.7 D.6 B [C==28,解得n=8.] 3.甲、乙、丙三地之間有直達的火車,相互之間的距離均不相等,則車票票價的種數(shù)是________. 3 [甲、乙、丙三地之間的距離不等,故票價不同,同距離兩地票價相同,故該問題為組合問題,不同票價的種數(shù)為C==3.] 4.C=________,C=________. 【導學號:95032047】 15 18 [C==15,C=C=18.] [合 作 探 究攻 重 難] 組合的概念 (1)判斷下列問題是組合問題還是排列問題: ①設集合A={a,b,c,d,e},則集合A的子集中含有3個元素的有多少個? ②某鐵路線上有5個車站,則這條線上共需準備多少種車票?多少種票價? ③2018年元旦期間,某班10名同學互送賀年卡,表示新年的祝福,賀年卡共有多少張? (2)已知A,B,C,D,E五個元素,寫出每次取出3個元素的所有組合. 【導學號:95032048】 [思路點撥] 要確定是組合還是排列問題,只需確定取出的元素是否與順序有關. [解] (1)①因為本問題與元素順序無關,故是組合問題. ②因為甲站到乙站,與乙站到甲站車票是不同的,故是排列問題,但票價與順序無關,甲站到乙站,與乙站到甲站是同一種票價,故是組合問題. ③甲寫給乙賀卡,與乙寫給甲賀卡是不同的,所以與順序有關,是排列問題. (2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD順序?qū)懗?,? 所以所有組合為ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE. [規(guī)律方法] 1.區(qū)分一個問題是排列問題還是組合問題,關鍵是看它有無“順序”,有順序就是排列問題,而無順序就是組合問題.而要判定它是否有順序的方法是:先將元素取出來,看交換元素的順序?qū)Y果有無影響,有影響就是“有序”,也就是排列問題;沒有影響就是“無序”,也就是組合問題. 2.寫組合時,一般先將元素按一定的順序排好,然后按照順序用圖示的方法逐個地將各個組合表示出來,如本題的作法,這樣做直觀、明了、清楚,以防重復和遺漏. [跟蹤訓練] 1.(1)判斷下列問題是排列問題還是組合問題: ①把當日動物園的4張門票分給5個人,每人至多分一張,而且票必須分完,有多少種分配方法? ②從2,3,5,7,11這5個質(zhì)數(shù)中,每次取2個數(shù)分別作為分子和分母構成一個分數(shù),共能構成多少個不同的分數(shù)? ③從9名學生中選出4名參加一個聯(lián)歡會,有多少種不同的選法? (2)已知a,b,c,d這四個元素,寫出每次取出2個元素的所有組合. [解] (1)①是組合問題.由于4張票是相同的(都是當日動物園的門票),不同的分配方法取決于從5人中選擇哪4人,這和順序無關. ②是排列問題,選出的2個數(shù)作分子或分母,結果是不同的. ③是組合問題,選出的4人無角色差異,不需要排列他們的順序. (2)可按a→b→c→d順序?qū)懗?,? 所以所有組合為ab,ac,ad,bc,bd,cd. 組合數(shù)公式的應用 (1)計算C-CA; (2)計算C+C. 【導學號:95032049】 [思路探究] 解答此類問題要恰當選擇組合數(shù)公式,并注意使用組合數(shù)公式的隱含條件. [解] (1)原式=-(321)=210-210=0. 當n=4時,原式=C+C=5, 當n=5時,原式=C+C=16. [規(guī)律方法] 1.在具體選擇公式時,要根據(jù)原題的特點,一般地,公式C=常用于n為具體數(shù)的數(shù)目,偏向于組合數(shù)的計算,公式C=常用于n為字母的題目,偏向于解不等式或證明恒等式. 2.解題時,一定不要忘記組合數(shù)的意義. [跟蹤訓練] 2.求值:C+C. [解] 由組合數(shù)的公式的性質(zhì), 解得n=6. 所以,原式=C+C =C+C =12+19=31. 組合數(shù)的性質(zhì)應用 [探究問題] 1.試用兩種方法求:從a,b,c,d,e 5人中選出3人參加數(shù)學競賽,2人參加英語競賽,共有多少種選法?你有什么發(fā)現(xiàn)?你能得到一般結論嗎? [提示] 法一:從5人中選出3人參加數(shù)學競賽,剩余2人參加英語競賽,共C==10(種)選法. 法二:從5人中選出2人參加英語競賽,剩余3人參加數(shù)學競賽,共C==10(種)不同選法. 經(jīng)求解發(fā)現(xiàn)C=C.推廣到一般結論有C=C. 2.從含有隊長的10名排球隊員中選出6人參加比賽,共有多少種選法? [提示] 共有C==210(種)選法. 3.在探究2中,若隊長必須參加,有多少種選法?若隊長不能參加有多少種選法?由探究2、3,你發(fā)現(xiàn)什么結論?你能推廣到一般結論嗎? [提示] 若隊長必須參加,共C=126(種)選法.若隊長不能參加,共C=84(種)選法. 由探究2、3發(fā)現(xiàn)從10名隊員中選出6人可分為隊長參賽與隊長不參賽兩類,由分類加法計數(shù)原理可得:C=C+C. 一般地:C=C+C. (1)計算:C+C+C=________; (2)若C>C,則n的取值集合是________. 【導學號:95032050】 [思路探究] 恰當選擇組合數(shù)的性質(zhì)進行求值、解方程與解不等式. (1)5 050 (2){6,7,8,9} [(1)C+C+C=C+C=C=C==5 050. (2)由C>C,得>,所以n2-9n-10<0,得-1- 配套講稿:
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