2019-2020年人教A版高中數(shù)學 選修2-1 3-1-1空間向量及其加減運算 3-1-2空間向量的數(shù)乘運算 教案.doc

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2019-2020年人教A版高中數(shù)學 選修2-1 3-1-1空間向量及其加減運算 3-1-2空間向量的數(shù)乘運算 教案 教學目標： ㈠知識目標：⒈空間向量；⒉相等的向量；⒊空間向量的加減與數(shù)乘運算及運算律； ㈡能力目標：⒈理解空間向量的概念，掌握其表示方法； ⒉會用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運算律； ⒊能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題． ㈢德育目標：學會用發(fā)展的眼光看問題，認識到事物都是在不斷的發(fā)展、進化的，會 　　　　　　用聯(lián)系的觀點看待事物． 教學重點：空間向量的加減與數(shù)乘運算及運算律． 教學難點：應(yīng)用向量解決立體幾何問題． 教學方法：討論式． 教學過程： Ⅰ.復(fù)習引入 ［師］在必修四第二章《平面向量》中，我們學習了有關(guān)平面向量的一些知識，什么叫做向量？向量是怎樣表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： 　　　①用有向線段表示； 　　　②用字母a、b等表示； 　　?、塾糜邢蚓€段的起點與終點字母：． ［師］數(shù)學上所說的向量是自由向量，也就是說在保持向量的方向、大小的前提下可以將向量進行平移，由此我們可以得出向量相等的概念，請同學們回憶一下． ［生］長度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［師］學習了向量的有關(guān)概念以后，我們學習了向量的加減以及數(shù)乘向量運算： ⒈向量的加法： ⒉向量的減法： ⒊實數(shù)與向量的積： 　　　　實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下： 　　　　　(1)|λa|＝|λ||a| 　　　　　(2)當λ＞0時，λa與a同向； 　　　　　　 當λ＜0時，λa與a反向； 　　　　　　 當λ＝0時，λa＝0. ［師］關(guān)于向量的以上幾種運算，請同學們回憶一下，有哪些運算律呢？ ［生］向量加法和數(shù)乘向量滿足以下運算律 　　　　　加法交換律：a＋b＝b＋a 　　　　　加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 　　　　　數(shù)乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［師］今天我們將在必修四第二章平面向量的基礎(chǔ)上，類比地引入空間向量的概念、表示方法、相同或向等關(guān)系、空間向量的加法、減法、數(shù)乘以及這三種運算的運算率，并進行一些簡單的應(yīng)用．請同學們閱讀課本 Ⅱ.新課講授 ［師］如同平面向量的概念，我們把空間中具有大小和方向的量叫做向量．例如空間的一個平移就是一個向量．那么我們怎樣表示空間向量呢？相等的向量又是怎樣表示的呢？ ［生］與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量． ［師］由以上知識可知，向量在空間中是可以平移的．空間任意兩個向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示．因此我們說空間任意兩個向量是共面的． ［師］空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量各是怎樣定義的呢？ ［生］空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的定義與平面向量的運算一樣： =a+b， （指向被減向量）， λa 　　 ［師］空間向量的加法與數(shù)乘向量有哪些運算律呢？請大家驗證這些運算律． ［生］空間向量加法與數(shù)乘向量有如下運算律： 　　　?、偶臃ń粨Q律：a + b = b + a； 　　　?、萍臃ńY(jié)合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（課件驗證） 　　　?、菙?shù)乘分配律：λ(a + b) =λa +λb． ［師］空間向量加法的運算律要注意以下幾點： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量．即： 因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量．即： ． ⑶兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立． 因此，求始點相同的兩個向量之和時，可以考慮用平行四邊形法則． 例１已知平行六面體（如圖），化簡下列向量表達式，并標出化簡結(jié)果的向量： 　　　　 說明：平行四邊形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體．記作ABCD—A’B’C’D’． 平行六面體的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的棱． 說明：由第2小題可知，始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量，這是平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣． 例2、如圖中，已知點O是平行六面體ABCD－A1B1C1D1體對角線的交點，點P是任意一點，則． 分析： 　　將要證明等式的左邊分解成兩部分：與，第一組向量和中各向量的終點構(gòu)成平行四邊形ABCD，第二組向量和中的各向量的終點構(gòu)成平行四邊形A1B1C1D1，于是我們就想到了應(yīng)該先證明： 　　 　　將以上所述結(jié)合起來就產(chǎn)生了本例的證明思路． 解答： 　　設(shè)E，E1分別是平行六面體的面ABCD與A1B1C1D1的中心，于是有 　　 　　 3. 1.2空間向量的數(shù)乘運算 教學目標：1．理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論； 2．掌握空間直線、空間平面的向量參數(shù)方程和線段中點的向量公式． 教學重、難點：共線、共面定理及其應(yīng)用． 教學過程： （一）復(fù)習：空間向量的概念及表示； （二）新課講解： 1．共線（平行）向量： 如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。讀作：平行于，記作：． 2．共線向量定理： 對空間任意兩個向量的充要條件是存在實數(shù)，使（唯一）． 推論：如果為經(jīng)過已知點，且平行于已知向量的直線，那么對任一點，點在直線上的充要條件是存在實數(shù)，滿足等式①，其中向量叫做直線的方向向量。在上取，則①式可化為或② 當時，點是線段的中點，此時③ ①和②都叫空間直線的向量參數(shù)方程，③是線段的中點公式． 3．向量與平面平行： 已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作：． 通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 說明：空間任意的兩向量都是共面的． 4．共面向量定理： 如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數(shù)使． 推論：空間一點位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使或?qū)臻g任一點，有① 上面①式叫做平面的向量表達式． （三）例題分析： 例1．已知三點不共線，對平面外任一點，滿足條件， 試判斷：點與是否一定共面？ 解：由題意：， ∴， ∴，即， 所以，點與共面． 【練習】：對空間任一點和不共線的三點，問滿足向量式 （其中）的四點是否共面？ 解：∵， ∴， ∴，∴點與點共面． 例2．已知，從平面外一點引向量 ， （1）求證：四點共面； （2）平面平面． 解：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴， ∵， ∴共面； （2）∵，又∵， ∴ 所以，平面平面． 課堂練習： 課堂小結(jié)：1．共線向量定理和共面向量定理及其推論； 2．空間直線、平面的向量參數(shù)方程和線段中點向量公式． 作業(yè)： 1．已知兩個非零向量不共線，如果，，， 求證：共面． 2．已知，，若，求實數(shù)的值。 3．如圖，分別為正方體的棱的中點， 求證：（1）四點共面；（2）平面平面． 4．已知分別是空間四邊形邊的中點， （1）用向量法證明：四點共面； （2）用向量法證明：平面．