2018年秋高中數(shù)學 章末綜合測評2 數(shù)列 新人教A版必修5.doc

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章末綜合測評(二)　數(shù)列 滿分：150分　時間：120分鐘 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．已知數(shù)列1，，，，3，，…，，…，則是這個數(shù)列的(　　) A．第10項　　　　　　 B．第11項 C．第12項 D．第21項 B　[觀察可知該數(shù)列的通項公式為an＝(事實上，根號內的數(shù)成等差數(shù)列，首項為1，公差為2)，令21＝2n－1，解得n＝11，故選B.] 2．一個各項均正的等比數(shù)列，其每一項都等于它后面的相鄰兩項之和，則公比q＝(　　) 【導學號：91432252】 A. B. C. D. C　[由題意知an＝an＋1＋an＋2＝anq＋anq2，即q2＋q－1＝0，解得q＝(負值舍去)，故選C.] 3．等比數(shù)列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的兩根，則a4等于(　　) A．8 B．－8 C．8 D．以上選項都不對 A　[∵a2＋a6＝34，a2a6＝64，∴a＝64，且a2>0，a6>0，∴a4＝a2q2>0(q為公比)，∴a4＝8.] 4．《張丘建算經》是公元5世紀中國古代內容豐富的數(shù)學著作，書中卷上第二十三問：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈．問日益幾何？”其意思為“有個女子織布，每天比前一天多織相同量的布，第一天織五尺，一個月(按30天計)共織390尺．問：每天織多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多織的布約有(　　) 【導學號：91432253】 A．0.55尺 B．0.53尺 C．0.52尺 D．0.5尺 A　[設每天多織d尺，由題意a1＝5，{an}是等差數(shù)列，公差為d，所以S30＝305＋ d＝390，解得d≈0.55.] 5．“遠望嵬嵬塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾碗燈？”源自明代數(shù)學家吳敬所著的《九章詳註比纇算法大全》，通過計算得到的答案是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　[由題意設尖頭a盞燈，根據題意由上往下數(shù)第n層有2n－1a盞燈，所以一共有(1＋2＋4＋8＋16＋32＋64)a＝381盞燈，解得a＝3.] 6．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，log2Sn＝n(n＝1,2,3，…)，則數(shù)列{an}(　　) 【導學號：91432254】 A．是公比為2的等比數(shù)列 B．是公差為2的等差數(shù)列 C．是公比為的等比數(shù)列 D．既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列 D　[∵log2Sn＝n，∴Sn＝2n，則a1＝2. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1. ∵a1＝2不適合上式，∴{an}既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列．] 7．已知等差數(shù)列{an}中，a1>0，前n項和是Sn，且S14＝S8，則當Sn取得最大值時，n為(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 D　[∵S14＝S8，∴a9＋a10＋a11＋a12＋a13＋a14＝3(a11＋a12)＝0. ∵a1>0，∴d<0，∴a11>0，a12<0，∴n＝11.] 8．已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是Sn，若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則(　　) 【導學號：91432255】 A．a1d>0，dS4>0 B．a1d<0，dS4<0 C．a1d>0，dS4<0 D．a1d<0，dS4>0 B　[依題意a＝a3a8，所以(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，解得a1＝－d，所以S4＝2(a1＋a4)＝2(a1＋a1＋3d)＝－d，所以a1d＝－d2<0，dS4＝－d2<0.] 9．已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前23項的和等于前8項的和．若a8＋ak＝0，則k＝(　　) A．22 B．23 C．24 D．25 C　[等差數(shù)列的前n項和Sn可看做關于n的二次函數(shù)(圖象過原點)．由S23＝S8，得Sn的圖象關于n＝對稱，所以S15＝S16，即a16＝0，所以a8＋a24＝2a16＝0，所以k＝24.] 10．設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q＝2，且a1a2a3…a30＝230.那么a3a6…a30等于(　　) 【導學號：91432256】 A．210 B．215 C．220 D．216 C　[法一：a1a2a3…a30＝aq(1＋2＋3＋…＋29)＝(aq145)3，a3a6a9…a30＝aq(2＋5＋8＋…＋29)＝aq155. 所以a3a6a9…a30＝(a1a2a3…a30)q10＝(230)210＝220.故選C. 法二：a1a4a7…a28，a2a5a8…a29，a3a6a9…a30構成等比數(shù)列，公比為210. 設a3a6a9…a30＝x，則有a1a2a3…a30＝x＝230.所以x3＝260，故a3a6a9…a30＝220.故選C.] 11．設Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和，S3＝a，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a10＝(　　) A．15 B．19 C．21 D．30 B　[由S3＝a得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比數(shù)列可得S＝S1S4，又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)，化簡得3d2＝2a2d，又d≠0，∴a2＝3，d＝2，a1＝1，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴a10＝19.] 12．設數(shù)列{an}滿足an＋1＝－2an，a1＝1，數(shù)列{|an|}的前n項和為Sn，則S2 015＝(　　) 【導學號：91432257】 A．22 015－1 B．22 016－2 C．22 014－1 D．1－22 015 A　[本題考查等比數(shù)列的定義與前n項和． 法一：由an＋1＝－2an，可得＝－2，又a1＝1，所以an＝(－2)n－1，所以|an|＝|(－2)n－1|＝2n－1，所以S2 015＝＝22 015－1.故選A. 法二：由an＋1＝－2an，可得＝－2，又a1＝1，所以an＝(－2)n－1，所以S2 015＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 015|＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015)－(a2＋a4＋a6＋…＋a2 014)＝－＝(22 016－1＋222 014－2)＝22 015－1.故選A.] 二、填空題(每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上) 13．設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝________. －6　[S8＝＝4(a3＋a6)，由于S8＝4a3，所以a6＝0.又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.] 14．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6＝________. 【導學號：91432258】 768　[由an＋1＝3Sn，得Sn＋1－Sn＝3Sn，即Sn＋1＝4Sn，所以數(shù)列{Sn}是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，所以Sn＝4n－1，所以a6＝S6－S5＝45－44＝344＝768.] 15．已知公差不為零的正項等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，lg a1，lg a2，lg a4也成等差數(shù)列，若a5＝10，則S5＝________. 【導學號：91432259】 30　[設{an}的公差為d，則d≠0. 由lg a1，lg a2，lg a4也成等差數(shù)列， 得2lg a2＝lg a1＋lg a4，∴a＝a1a4， 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，d2＝a1d. 又d≠0，故d＝a1，a5＝5a1＝10，d＝a1＝2， S5＝5a1＋d＝30.] 16．已知等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a6＝16，將此等差數(shù)列的各項排成如下三角形數(shù)陣(如圖21所示)： a1 a2　a3 a4　a5　a6 a7　a8　a9　a10 …　…　…　…　… 圖21 則此數(shù)陣中第20行從左到右的第10個數(shù)是________． 598　[第1行有1項，第2行有2項，第3行有3項，故前19行共有191＋1＝190(項)，第20行第10項為數(shù)列{an}中的第200項．又a3＝7，a6＝16，∴d＝＝＝3，∴an＝a3＋(n－3)d＝7＋3(n－3)＝3n－2，∴a200＝3200－2＝598.] 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a3＝5，a7＝13. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足an＝log4bn，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 【導學號：91432260】 [解]　(1)設an＝a1＋(n－1)d， 則解得a1＝1，d＝2. 所以{an}的通項公式為an＝1＋(n－1)2＝2n－1. (2)依題意得bn＝4an＝42n－1， 因為＝＝16， 所以{bn}是首項為b1＝41＝4，公比為16的等比數(shù)列，所以{bn}的前n項和Tn＝＝(16n－1)． 18．(本小題滿分12分)等差數(shù)列{an}中，前三項分別為x,2x,5x－4，前n項和為Sn，且Sk＝2 550. (1)求x和k的值； (2)求T＝＋＋＋…＋的值． [解]　(1)由4x＝x＋5x－4，得x＝2， 所以an＝2n，Sn＝n(n＋1)，所以k(k＋1)＝2 550，得k＝50. (2)因為Sn＝n(n＋1)， 所以＝＝－， 所以T＝＋＋…＋ ＝1－＝. 19．(本小題滿分12分)已知{an}是首項為19，公差為－2的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和． (1)求通項an及Sn； (2)設{bn－an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的通項公式及其前n項和Tn. 【導學號：91432261】 [解]　(1)因為{an}是首項為a1＝19，公差為d＝－2的等差數(shù)列， 所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21， Sn＝19n＋(－2)＝－n2＋20n. (2)由題意得bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1－2n＋21，則Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋. 20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝，數(shù)列{an}滿足a1＝1，并且an＋1＝f(an)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. [解]　(1)由題意得an＋1＝，∴＝＝1＋，即－＝1，∴數(shù)列是一個等差數(shù)列，公差為1，首項為＝1， 從而＝n，∴an＝. (2)由(1)得bn＝an＝＝－， ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－＝. 21．(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－1，在等差數(shù)列{bn}中，bn>0，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{anbn}的通項公式； (2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn. 【導學號：91432262】 [解]　(1)∵an＝3n－1，∴a1＝1，a2＝3，a3＝9. ∵在等差數(shù)列{bn}中，b1＋b2＋b3＝15，∴3b2＝15，則b2＝5.設等差數(shù)列{bn}的公差為d，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比數(shù)列， ∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2. ∵bn>0，∴d＝－10應舍去，∴d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1. 故anbn＝(2n＋1)3n－1. (2)由(1)知Tn＝31＋53＋732＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1?、伲? 3Tn＝33＋532＋733＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n?、冢? ①－②，得－2Tn＝31＋23＋232＋233＋…＋23n－1－(2n＋1)3n ＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n ＝3＋2－(2n＋1)3n ＝3n－(2n＋1)3n ＝－2n3n. ∴Tn＝n3n. 22．(本小題滿分12分)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產品的生產．該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了50%.預計以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產．設第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元． (1)用d表示a1，a2，并寫出an＋1與an的關系式； (2)若公司希望經過m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示)． [解]　(1)由題意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d， an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d. (2)由(1)得an＝an－1－d＝－d ＝2an－2－d－d＝… ＝n－1a1－d. 整理得an＝n－1(3 000－d)－2d＝n－1(3 000－3d)＋2d. 由題意知am＝4 000，所以m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000， 解得d＝＝. 故該企業(yè)每年上繳資金d的值為萬元時，經過m(m≥3)年企業(yè)的剩余資金為4 000萬元．