2020高考數(shù)學刷題首選卷 考點測試18 任意角和弧度制 理（含解析）.docx

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考點測試18　任意角和弧度制、任意角的三角函數(shù) 高考概 覽 考綱研讀 1．了解任意角的概念 2．了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化 3．理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義 一、基礎小題 1．已知角α的終邊與單位圓交于點，則tanα＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案　D 解析　根據(jù)三角函數(shù)的定義，tanα＝＝＝－，故選D． 2．若sinα＜0且tanα＜0，則α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案　D 解析　由sinα＜0，得α的終邊在第三或第四象限或在y軸非正半軸上；由tanα＜0，得α在第二或第四象限，故α是第四象限角．故選D． 3．sin2cos3tan4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 答案　A 解析　∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0．故選A． 4．已知扇形的半徑為12 cm，弧長為18 cm，則扇形圓心角的弧度數(shù)是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由題意知l＝|α|r，∴|α|＝＝＝．故選B． 5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點A，點A的縱坐標為，則cosα的值為(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　D 解析　因為點A的縱坐標yA＝，且點A在第二象限，又因為圓O為單位圓，所以A點橫坐標xA＝－，由三角函數(shù)的定義可得cosα＝－．故選D． 6．已知α是第二象限角，P(x，)為其終邊上一點，且cosα＝x，則x＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　D 解析　依題意得cosα＝＝x<0，由此解得x＝－，故選D． 7．已知角θ的終邊過點P(－4k，3k)(k<0)，則2sinθ＋cosθ的值是(　　) A． B．－ C．或－ D．隨著k的取值不同而不同 答案　B 解析　因為角θ的終邊過點P(－4k，3k)(k＜0)，所以點P到原點的距離為＝－5k，所以sinθ＝＝－，cosθ＝＝，2sinθ＋cosθ＝2－＋＝－，故選B． 8．若α是第二象限角，則一定不是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案　C 解析　∵＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z， ∴＋<<＋，k∈Z． 若k＝3n(n∈Z)，是第一象限角； 若k＝3n＋1(n∈Z)，是第二象限角； 若k＝3n＋2(n∈Z)，是第四象限角．故選C． 9．給出下列命題： ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角； ③不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形半徑的大小無關(guān)； ④若sinα＝sinβ，則α與β的終邊相同； ⑤若cosθ<0，則θ是第二或第三象限的角． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析?、僦?，第二象限角可能大于第一象限角，也可能小于第一象限角，比如120是第二象限角，370是第一象限角，故①錯誤； ②中，三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角或直角，故②錯誤； ③中，角度大小與半徑無關(guān)，故③正確； ④中，α與β的終邊也可以關(guān)于y軸對稱，故④錯誤； ⑤中，θ是第二或第三象限的角或(2k＋1)π(k∈Z)，故⑤錯誤． 故本題正確答案為A． 10．設角α是第三象限角，且sin＝－sin，則角是第________象限角． 答案　四 解析　由角α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，則kπ＋<0，則(　　) A．sinα>0 B．cosα>0 C．sin2α>0 D．cos2α>0 答案　C 解析　由tanα>0，可得α的終邊在第一象限或第三象限，此時sinα與cosα同號，故sin2α＝2sinαcosα>0，故選C． 14．(2018全國卷Ⅰ)已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，則|a－b|＝(　　) A． B． C． D．1 答案　B 解析　根據(jù)題給條件，可知O，A，B三點共線，從而得到b＝2a，因為cos2α＝2cos2α－1＝22－1＝，解得a2＝，即|a|＝，所以|a－b|＝|a－2a|＝．故選B． 15．(2014安徽高考)設函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．當0≤x<π時，f(x)＝0，則f＝(　　) A． B． C．0 D．－ 答案　A 解析　由題意得f＝f＋sin＝f＋sin＋sin＝f＋sin＋sin＋sin＝0＋－＋＝．故選A． 16．(2017北京高考)在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱．若sinα＝，則sinβ＝________． 答案　 解析　由角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱，可得β＝(2k＋1)π－α，k∈Z，∵sinα＝，∴sinβ＝sin[(2k＋1)π－α]＝sinα＝． 三、模擬小題 17．(2018大同調(diào)研)已知角θ的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點M(－3，4)，則cos2θ－sin2θ＋tanθ的值為(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　A 解析　由已知得|OM|＝5，因而cosθ＝－，sinθ＝，tanθ＝－，則cos2θ－sin2θ＋tanθ＝－－＝－．故選A． 18．(2018濟南模擬)已知sinθ－cosθ>1，則角θ的終邊在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　由已知得(sinθ－cosθ)2>1，即1－2sinθcosθ>1，sinθcosθ<0，又sinθ>cosθ，所以sinθ>0>cosθ，所以角θ的終邊在第二象限．故選B． 19．(2018南昌二中模擬)已知角α終邊上一點P的坐標是(2sin2，－2cos2)，則sinα＝(　　) A．sin2 B．－sin2 C．cos2 D．－cos2 答案　D 解析　因為r＝＝2，由任意三角函數(shù)的定義，得sinα＝＝－cos2．故選D． 20．(2018湖北三校聯(lián)考)已知角x的終邊上一點的坐標為，則角x的最小正值為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　∵sin＝，cos＝－，∴角x的終邊經(jīng)過點，tanx＝－，∴x＝2kπ＋，k∈Z，∴角x的最小正值為．(也可用同角基本關(guān)系式tanx＝得出．)故選B． 21．(2018唐山模擬)在平面直角坐標系中，點M(3，m)在角α的終邊上，點N(2m，4)在角α＋的終邊上，則m＝(　　) A．－6或1 B．－1或6 C．6 D．1 答案　A 解析　由題意得，tanα＝，tanα＋＝＝， ∴＝，∴m＝－6或1，故選A． 22．(2018福州一模)已知A(xA，yA)是單位圓(圓心在坐標原點O)上任意一點，將射線OA繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)30，交單位圓于點B(xB，yB)，則xA－yB的取值范圍是(　　) A．[－2，2] B．[－，] C．[－1，1] D．－， 答案　C 解析　設x軸正方向逆時針到射線OA的角為α，根據(jù)三角函數(shù)的定義得xA＝cosα，yB＝sin(α＋30)，所以xA－yB＝cosα－sin(α＋30)＝－sinα＋cosα＝sin(α＋150)∈[－1，1]．故選C． 23．(2018江西鷹潭期中)將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是________． 答案　 解析　一個周角是2π，因此分針10分鐘轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為2π＝． 24．(2018山東泰安月考)若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角α(0<α<π)的弧度數(shù)為________． 答案　 解析　設圓半徑為r，則其內(nèi)接正三角形的邊長為r，所以r＝αr，所以α＝． 一、高考大題 1．(2018浙江高考)已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P－，－． (1)求sin(α＋π)的值； (2)若角β滿足sin(α＋β)＝，求cosβ的值． 解　(1)由角α的終邊過點P－，－得 sinα＝－，所以sin(α＋π)＝－sinα＝． (2)由角α的終邊過點P－，－，得cosα＝－， 由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝． 由β＝(α＋β)－α得 cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα， 所以cosβ＝－或cosβ＝． 二、模擬大題 2．(2018福建龍巖月考)已知角α終邊經(jīng)過點P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x．求sinα＋的值． 解　∵P(x，－)(x≠0)， ∴點P到原點的距離r＝． 又cosα＝x，∴cosα＝＝x． ∵x≠0，∴x＝，∴r＝2． 當x＝時，P點坐標為(，－)， 由三角函數(shù)的定義，有sinα＝－，＝－， ∴sinα＋＝－－＝－； 當x＝－時，同樣可求得sinα＋＝． 3．(2018安徽蕪湖月考)如圖所示，動點P，Q從點A(4，0)出發(fā)沿圓周運動，點P按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，求點P，點Q第一次相遇時所用的時間、相遇點的坐標及P，Q點各自走過的弧長． 解　設P，Q第一次相遇時所用的時間是t， 則t＋t＝2π． 所以t＝4(秒)，即第一次相遇的時間為4秒． 設第一次相遇點為C，第一次相遇時P點已運動到終邊在4＝的位置， 則xC＝－cos4＝－2，yC＝－sin4＝－2． 所以C點的坐標為(－2，－2)． P點走過的弧長為4＝， Q點走過的弧長為4＝． 4．(2018河北冀州調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，角α的頂點是坐標原點，始邊為x軸的正半軸，終邊與單位圓O交于點A(x1，y1)，α∈．將角α終邊繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點B(x2，y2)． (1)若x1＝，求x2； (2)過A，B作x軸的垂線，垂足分別為C，D，記△AOC及△BOD的面積分別為S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值． 解　(1)因為x1＝，y1>0，所以y1＝＝， 所以sinα＝，cosα＝， 所以x2＝cos＝cosαcos－sinαsin＝－． (2)S1＝sinαcosα＝sin2α．因為α∈， 所以α＋∈， 所以S2＝－sincos ＝－sin＝－cos2α． 因為S1＝S2， 所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－， 所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－． 因為α∈，所以tanα＝2．