2018年秋高中數學 第一章 計數原理 1.2 排列與組合 1.2.1 第1課時 排列與排列數公式學案 新人教A版選修2-3.doc

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第1課時　排列與排列數公式 學習目標：1.理解排列的概念，能正確寫出一些簡單問題的所有排列．(重點)2.理解排列數公式，能利用排列數公式進行計算和證明．(難點) [自 主 預 習探 新 知] 1．排列的概念 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列． 2．相同排列的兩個條件 (1)元素相同． (2)順序相同． 思考：如何理解排列的定義？ [提示]　可從兩個方面理解：(1)排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；(2)兩個排列相同的條件：①元素相同，②元素的排列順序也相同． 3．排列數與排列數公式 排列數定 義及表示 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號A表示 全排列的概念 n個不同元素全部取出的一個排列 階乘的概念 把n(n－1)…21記作n！，讀作：n的階乘 排列數公式 A＝n(n－1)…(n－m＋1) 階乘式A＝(n，m∈N*，m≤n) 特殊情況 A＝n！，1?。?,0?。? 思考：排列與排列數有何區(qū)別？ [提示]　“一個排列”是指：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，不是數；“排列數”是指從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數，是一個數．所以符號A只表示排列數，而不表示具體的排列． [基礎自測] 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)兩個排列的元素相同，則這兩個排列是相同的排列． (　　) (2)從六名學生中選三名學生參加數學、物理、化學競賽，共有多少種選法屬于排列問題． (　　) (3)有十二名學生參加植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案屬于排列問題． (　　) (4)從3,5,7,9中任取兩個數進行指數運算，可以得到多少個冪屬于排列問題． (　　) (5)從1,2,3,4中任取兩個數作為點的坐標，可以得到多少個點屬于排列問題． (　　) [解析]　(1)　因為相同的兩個排列不僅元素相同，而且元素的排列順序也相同． (2)√　因為三名學生參賽的科目不同為不同的選法，每種選法與“順序”有關，屬于排列問題． (3)　因為分組之后，各組與順序無關，故不屬于排列問題． (4)√　因為任取的兩個數進行指數運算，底數不同、指數不同結果不同．結果與順序有關，故屬于排列問題． (5)√　因為縱、橫坐標不同，表示不同的點，故屬于排列問題． [答案]　(1)　(2)√　(3)　(4)√　(5)√ 2．甲、乙、丙三名同學排成一排，不同的排列方法有(　　) A．3種　　　　　　　　　 B．4種 C．6種 D．12種 C　[由排列定義得，共有A＝6種排列方法．] 3．909192…100可以表示為(　　) A．A B．A C．A D．A B　[由排列數公式得原式為A，故選B.] 4．A＝________，A＝________. 【導學號：95032026】 12　6　[A＝43＝12；A＝321＝6.] [合 作 探 究攻 重 難] 排列的概念 　判斷下列問題是否為排列問題． (1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)； (2)選2個小組分別去植樹和種菜； (3)選2個小組去種菜； (4)選10人組成一個學習小組； (5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員； [思路探究]　判斷是否為排列問題關鍵是選出的元素在被安排時，是否與順序有關．若與順序有關，就是排列問題，否則就不是排列問題． [解]　(1)中票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題． (2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題． (3)(4)不存在順序問題，不屬于排列問題． (5)中每個人的職務不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題． 所以在上述各題中(2)(5)屬于排列問題． [規(guī)律方法] 1．解決本題的關鍵有兩點：一是“取出元素不重復”，二是“與順序有關”． 2．判斷一個具體問題是否為排列問題，就看取出元素后排列是有序的還是無序的，而檢驗它是否有序的依據就是變換元素的“位置”(這里的“位置”應視具體問題的性質和條件來決定)，看其結果是否有變化，有變化就是排列問題，無變化就不是排列問題． [跟蹤訓練] 1．判斷下列問題是否是排列問題 (1)同宿舍4人，每兩人互通一封信，問他們一共寫了多少封信？ (2)同宿舍4人，每兩人通一次電話，問他們一共通了幾次電話？ [解]　(1)是一個排列問題，相當于從4個人中任取兩個人，并且按順序排好．有多少個排列就有多少封信，共有A＝12封信． (2)不是排列問題，“通電話”不講順序，甲與乙通了電話，也就是乙與甲通了電話． 排列的簡單應用 　寫出下列問題的所有排列． (1)從1,2,3,4四個數字中任取兩個數字組成兩位數，共有多少個不同的兩位數？ (2)寫出A，B，C，D四名同學站成一排照相，A不站在兩端的所有可能站法. 【導學號：95032027】 [解]　(1)所有兩位數是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12個不同的兩位數． (2)如圖所示的樹形圖： 故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12種． [規(guī)律方法]　在排列個數不多的情況下，樹形圖是一種比較有效的表示方式．在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，在每一類中再按余下的元素在前面元素不變的情況下確定第二個元素，再按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能不重不漏，然后按樹形圖寫出排列． [跟蹤訓練] 2．(1)A，B，C三名同學照相留念，成“一”字形排隊，所有排列的方法種數為(　　) A．3種　　　　　　　 B．4種 C．6種 D．12種 (2)北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應該有________種機票． (1)C　(2)12　[(1)所有的排法有：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A，共6種． (2)列出每一個起點和終點情況，如圖所示． 故符合題意的機票種類有： 北京→廣州，北京→南京，北京→天津，廣州→南京、廣州→天津、廣州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→廣州，天津→北京，天津→廣州，天津→南京，共12種．] 排列數公式的推導與應用 [探究問題] 1．兩個同學從寫有數字1,2,3,4的卡片中選取卡片進行組數字游戲．從這4個數字中選出2個或3個分別能構成多少個無重復數字的兩位數或三位數？ [提示]　從這4個數字中選出2個能構成A＝43＝12個無重復數字的兩位數；若選出3個能構成A＝432＝24個無重復數字的三位數． 2．由探究1知A＝43＝12，A＝432＝24，你能否得出A的意義和A的值？ [提示]　A的意義：假定有排好順序的2個空位，從n個元素a1，a2，…， an中任取2個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列；反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數就是排列數A.由分步乘法計數原理知完成上述填空共有n(n－1)種填法，所以A＝n(n－1)． 3．你能寫出A的值嗎？有什么特征？若m＝n呢？ [提示]　A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，m≤n)． (1)公式特征：第一個因數是n，后面每一個因數比它前面一個少1，最后一個因數是n－m＋1，共有m個因數； (2)全排列：當m＝n時，即n個不同元素全部取出的一個排列． 全排列數：A＝n(n－1)(n－2)…21＝n！(叫做n的階乘)． 另外，我們規(guī)定0?。?. 所以A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝＝. 　(1)計算：；(2)求證：A－A＝mA. 【導學號：95032028】 [思路探究]：(1)合理選用排列數的兩個公式進行展開． (2)提取公因式后合并化簡． [解]　(1) ＝ ＝＝1. (2)證明：∵A－A＝－ ＝ ＝＝m＝mA. ∴A－A＝mA. [規(guī)律方法]　 排列數的計算方法 1．排列數的計算主要是利用排列數的乘積公式進行，應用時注意：連續(xù)正整數的積可以寫成某個排列數，其中最大的是排列元素的總個數，而正整數(因式)的個數是選取元素的個數，這是排列數公式的逆用． 2．應用排列數公式的階乘形式時，一般寫出它們的式子后，再提取公因式，然后計算，這樣往往會減少運算量． [跟蹤訓練] 3．求3A＝4A中的x. [解]　原方程3A＝4A可化為＝， 即＝， 化簡，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 由題意知解得x≤8. 所以原方程的解為x＝6. [當 堂 達 標固 雙 基] 1．已知下列問題： ①從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數學和物理學習小組； ②從甲、乙、丙三名同學中選出兩名同學參加一項活動； ③從a，b，c，d四個字母中取出2個字母； ④從1,2,3,4四個數字中取出2個數字組成一個兩位數． 其中是排列問題的有(　　) A．1個　　　　　　　　　 B．2個 C．3個 D．4個 B　[①是排列問題，因為兩名同學參加的活動與順序有關；②不是排列問題，因為兩名同學參加的活動與順序無關；③不是排列問題，因為取出的兩個字母與順序無關；④是排列問題，因為取出的兩個數字還需要按順序排成一列．] 2．456…(n－1)n等于(　　) 【導學號：95032029】 A．A B．A C．(n－4)! D．A D　[456…(n－1)n中共有n－4＋1＝n－3個因式，最大數為n，最小數為4， 故456…(n－1)n＝A.] 3．5本不同的課外讀物分給5位同學，每人一本，則不同的分配方法有________種． 120　[利用排列的概念可知不同的分配方法有A＝120種．] 4．A－6A＋5A＝________. 120　[原式＝A－A＋A＝A＝54321＝120.] 5．計算：； [解]　法一：＝＝＝. 法二：＝＝＝＝.