《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第12章 選修4系列 第4講 證明不等式的基本方法講義 理(含解析).doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第12章 選修4系列 第4講 證明不等式的基本方法講義 理(含解析).doc(8頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第4講 證明不等式的基本方法
[考綱解讀] 了解不等式證明的基本方法:比較法、綜合法、分析法,并能應(yīng)用它們證明一些簡(jiǎn)單的不等式.(重點(diǎn)、難點(diǎn))
[考向預(yù)測(cè)] 從近三年高考情況來看,本講是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn). 預(yù)測(cè)2020年將會(huì)考查:①與基本不等式結(jié)合證明不等式;②與恒成立、探索性問題結(jié)合,題型為解答題,屬中檔題型.
1.基本不等式
定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.
定理2:如果a,b>0,那么≥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立,即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù).
定理3:如果a,b,c∈R+,那么≥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號(hào)成立.
2.比較法
3.綜合法與分析法
(1)綜合法:一般地,從已知條件出發(fā),利用定義、公理、定理、性質(zhì)等,經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立.
(2)分析法:從要證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義,公理或已證明的定理,性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立.
1.概念辨析
(1)設(shè)x=a+2b,S=a+b2+1則S≥x.( )
(2)若>1,則x+2y>x-y.( )
(3)|a+b|+|a-b|≥|2a|.( )
(4)若實(shí)數(shù)x,y適合不等式xy>1,x+y>-2,則x>0,y>0.( )
答案 (1)√ (2) (3)√ (4)√
2.小題熱身
(1)下列四個(gè)不等式:①logx10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 logx10+lg x=+lg x≥2(x>1),①正確.
ab≤0時(shí),|a-b|=|a|+|b|,②不正確;
因?yàn)閍b≠0,與同號(hào),
所以=+≥2,③正確;
由|x-1|+|x-2|的幾何意義知,
|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④正確,
綜上①③④正確.故選C.
(2)已知a,b是不相等的正數(shù),x=,y=,z=(ab)0.25,則x,y,z的大小關(guān)系是( )
A.x>y>z B.x
x>z D.yz2,y2-x2==>0,
∴y2>x2>z2,又x>0,y>0,z>0,∴y>x>z.
(3)設(shè)x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,則實(shí)數(shù)a,b應(yīng)滿足的條件為________.
答案 ab≠1或a≠-2
解析 因?yàn)閤-y=(a2b2+5)-(2ab-a2-4a)
=(a2b2-2ab+1)+(a2+4a+4)
=(ab-1)2+(a+2)2>0,
若x>y,則實(shí)數(shù)a,b應(yīng)滿足的條件為ab≠1或a≠-2.
題型 比較法證明不等式
1.設(shè)函數(shù)f(x)=|x-2|+2x-3,記f(x)≤-1的解集為M.
(1)求M;
(2)當(dāng)x∈M時(shí),證明:x[f(x)]2≤x2f(x).
解 (1)由已知,得f(x)=
當(dāng)x≤2時(shí),由f(x)=x-1≤-1,
解得x≤0,此時(shí)x≤0;
當(dāng)x>2時(shí),由f(x)=3x-5≤-1,
解得x≤,顯然不成立.
故f(x)≤-1的解集為M={x|x≤0}.
(2)證明:當(dāng)x∈M時(shí),f(x)=x-1,
于是x[f(x)]2-x2f(x)=x(x-1)2-x2(x-1)
=-x2+x=-2+.
令g(x)=-2+,
則函數(shù)g(x)在(-∞,0]上是增函數(shù),
∴g(x)≤g(0)=0.
x[f(x)]2-x2f(x)≤0,故x[f(x)]2≤x2f(x).
2.(2018吉林長(zhǎng)春模擬)(1)如果關(guān)于x的不等式|x+1|+|x-5|≤m的解集不是空集,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若a,b均為正數(shù),求證:aabb≥abba.
解 (1)令y=|x+1|+|x-5|=可知|x+1|+|x-5|≥6,故要使不等式|x+1|+|x-5|≤m的解集不是空集,有m≥6.
(2)證明:由a,b均為正數(shù),則要證aabb≥abba,
只要證aa-bbb-a≥1,整理得a-b≥1.
當(dāng)a≥b時(shí),a-b≥0,可得a-b≥1;
當(dāng)a1.
可知a,b均為正數(shù)時(shí),a-b≥1,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,從而aabb≥abba成立.
1.作差比較法
(1)作差比較法證明不等式的四步驟
(2)作差比較法的應(yīng)用范圍
當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí),一般使用作差比較法.
2.作商比較法
(1)作商比較法證明不等式的一般步驟
(2)作商比較法的應(yīng)用范圍
當(dāng)被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時(shí),一般使用作商比較法.
已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|,P為不等式f(x)>4的解集.
(1)求P;
(2)證明:當(dāng)m,n∈P時(shí),|mn+4|>2|m+n|.
解 (1)f(x)=|x-1|+|x+1|=
由f(x)的單調(diào)性及f(x)>4,得x>2或x<-2.
所以不等式f(x)>4的解集P={x|x>2或x<-2}.
(2)證明:由(1)可知|m|>2,|n|>2,
所以m2>4,n2>4,
所以(mn+4)2-4(m+n)2=(m2-4)(n2-4)>0,
所以(mn+4)2>4(m+n)2,
從而有|mn+4|>2|m+n|.
題型 綜合法證明不等式
(2018合肥三模)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-3|.
(1)解不等式f(x)≤x+1;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為c,實(shí)數(shù)a,b滿足a>0,b>0,a+b=c.求證:+≥1.
解 (1)f(x)≤x+1,即|x-1|+|x-3|≤x+1.
①當(dāng)x<1時(shí),不等式可化為4-2x≤x+1,x≥1.
又∵x<1,∴x∈?;
②當(dāng)1≤x≤3時(shí),不等式可化為2≤x+1,x≥1.
又∵1≤x≤3,∴1≤x≤3.
③當(dāng)x>3時(shí),不等式可化為2x-4≤x+1,x≤5.
又∵x>3,∴31,n>1,a=m-1,b=n-1,m+n=4,
+=+
=m+n++-4
=≥=1,原不等式得證.
1.綜合法證明不等式的方法
(1)綜合法證明不等式,要著力分析已知與求證之間,不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換,恰當(dāng)選擇已知不等式,這是證明的關(guān)鍵;
(2)在用綜合法證明不等式時(shí),不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的.在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí),要注意性質(zhì)成立的前提條件.
2.綜合法證明時(shí)常用的不等式
(1)a2≥0.
(2)|a|≥0.
(3)a2+b2≥2ab,它的變形形式有
a2+b2≥2|ab|;a2+b2≥-2ab;(a+b)2≥4ab;
a2+b2≥(a+b)2;≥2.
(4)≥,它的變形形式有
a+≥2(a>0);+≥2(ab>0);
+≤-2(ab<0).
設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|,若不等式f(x)≥9的解集是{x|x≤p或x≥q}.
(1)求p,q的值;
(2)若實(shí)數(shù)a,b,c滿足a(b+c)=q,證明:2a2+b2+c2-p≥13.
解 (1)由f(x)≥9,得|x-1|+|x+2|≥9,
得或
或解得x≤-5或x≥4,
所以不等式f(x)≥9的解集是{x|x≤-5或x≥4}.
又不等式f(x)≥9的解集是{x|x≤p或x≥q},
所以p=-5,q=4.
(2)若a(b+c)=q,則a(b+c)=4,
即ab+ac=4.
因?yàn)閍b≤,ac≤,
所以ab+ac≤+,
即ab+ac≤,
即4≤,
所以2a2+b2+c2≥8,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取等號(hào).
而p=-5,所以2a2+b2+c2-p≥13.原命題得證.
題型 分析法證明不等式
已知函數(shù)f(x)=|x-3|.
(1)若不等式f(x-1)+f(x)f.
證明:要證>f,
只需證|ab-3|>|b-3a|,
即證(ab-3)2>(b-3a)2,
又(ab-3)2-(b-3a)2=a2b2-9a2-b2+9
=(a2-1)(b2-9).
因?yàn)閨a|<1,|b|<3,所以(ab-3)2>(b-3a)2成立,所以原不等式成立.
1.分析法的應(yīng)用條件
當(dāng)所證明的不等式不能使用比較法,且和重要不等式(a2+b2≥2ab)、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系,較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí),可用分析法來尋找證明途徑,使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆.
2.用分析法證“若A則B”這個(gè)命題的模式
為了證明命題B為真,
只需證明命題B1為真,從而有……
只需證明命題B2為真,從而有……
……
只需證明命題A為真,而已知A為真,故B必真.
某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下5個(gè)不等關(guān)系式子:
①-1>2-;②2->-;③->-2;④-2>-;⑤->2-.
(1)上述五個(gè)式子有相同的不等關(guān)系,分析其結(jié)構(gòu)特點(diǎn),請(qǐng)你再寫出一個(gè)類似的不等式;
(2)請(qǐng)寫出一個(gè)更一般的不等式,使以上不等式為它的特殊情況,并證明.
解 (1)-2>-3(答案不唯一).
(2)->-.
證明:要證原不等式,只需證
+>+,
因?yàn)椴坏仁絻蛇叾即笥?,只需證
2a+3+2>2a+3+2,
只需證>,
只需證a2+3a+2>a2+3a,
只需證2>0,顯然成立,所以原不等式成立.
鏈接地址:http://m.jqnhouse.com/p-6284225.html