2019年高中數(shù)學 第4章 導數(shù)及其應(yīng)用 4.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 4.3.2 函數(shù)的極大值和極小值講義(含解析)湘教版選修2-2.doc
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4.3.2 函數(shù)的極大值和極小值 [讀教材填要點] 1.極值與極值點 (1)極大值點與極大值: 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0是(a,b)內(nèi)的一個點,若點x0附近的函數(shù)值都小于f(x0)(即f(x)<f(x0),x∈(a,b)),就說f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個極大值,x0稱為f(x)的一個極大值點. (2)極小值點與極小值: 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0是(a,b)內(nèi)的一個點,若點x0附近的函數(shù)值都大于f(x0)(即f(x)>f(x0),x∈(a,b)),就說f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個極小值,x0稱為f(x)的一個極小值點. 極大值和極小值統(tǒng)稱極值,極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點. 2.極大值與極小值的判斷 (1)如果f(x)在(a,x0]上遞增,在[x0,b)上遞減,則f(x)在x=x0處取到極大值; (2)如果f(x)在(a,x0]上遞減,在[x0,b)上遞增,則f(x)在x=x0處取到極小值. 3.極值的求法 (1)求導數(shù)f′(x); (2)求f(x)的駐點,即求f′(x)=0的根; (3)檢查f′(x)在駐點左右的符號,得到極大值或極小值. [小問題大思維] 1.導數(shù)為0的點都是極值點嗎? 提示:不一定.y=f(x)在x=x0及附近有定義,且f′(x0)=0,y=f(x)是否在x=x0處取得極值,還要看f′(x)在x0兩側(cè)的符號是否異號.例如f(x)=x3,由f′(x)=3x2知f′(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的極值點. 2.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導函數(shù)f′(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有幾個極小值點? 提示:由圖可知,在區(qū)間(a,x1),(x2,0),(0,x3)內(nèi)f′(x)>0;在區(qū)間(x1,x2),(x3,b)內(nèi)f′(x)<0.即f(x)在(a,x1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(x1,x2)內(nèi)單調(diào)遞減,在(x2,x3)內(nèi)單調(diào)遞增,在(x3,b)內(nèi)單調(diào)遞減. 所以函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個極小值點,極小值點為x=x2. 3.函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間上一定有極值點嗎?極大值是否一定比極小值大? 提示:(1)在一個給定的區(qū)間上,函數(shù)可能有若干個極值點,也可能不存在極值點;函數(shù)可以只有極大值,沒有極小值,或者只有極小值沒有極大值,也可能即有極大值,又有極小值. (2)極大值不一定比極小值大,極小值也不一定比極大值?。? 求函數(shù)的極值 求下列函數(shù)的極值: (1)f(x)=x4-2x2;(2)f(x)=x2e-x. [自主解答] (1)函數(shù)f(x)的定義域為R. f′(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1). 令f′(x)=0,得x=0或x=-1或x=1. 列表: x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) f′(x) - 0 + 0 - 0 + f(x) 極小值 極大值 極小值 從表中可以看出: 當x=0時,函數(shù)有極大值,且f(0)=0; 當x=-1或x=1時,函數(shù)有極小值, 且f(-1)=f(1)=-1. (2)函數(shù)的定義域為R. f′(x)=′= =2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x=-e-xx(x-2). 令f′(x)=0,得x=0或x=2. 列表: x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) 極小值 極大值 由上表可以看出:當x=0時,函數(shù)有極小值,且f(0)=0; 當x=2時,函數(shù)有極大值,且f(2)=. 求可導函數(shù)f(x)極值的步驟 (1)求函數(shù)的導數(shù)f′(x); (2)令f′(x)=0,求出全部的根x0; (3)列表,方程的根x0將整個定義域分成若干個區(qū)間,把x,f′(x),f(x)在每個區(qū)間內(nèi)的變化情況列在這個表格內(nèi); (4)判斷得結(jié)論,若導數(shù)在x0附近左正右負,則在x0處取得極大值;若左負右正,則取得極小值. 要注意函數(shù)的定義域. 1.求函數(shù)f(x)=-2的極值. 解:函數(shù)f(x)的定義域為R. f′(x)==-. 令f′(x)=0,得x=-1或x=1. 當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) -3 -1 所以當x=-1時,函數(shù)有極小值,且f(x)極小值=-3; 當x=1時,函數(shù)有極大值,且f(x)極大值=-1. 極值的逆運用 已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1時有極值0.求a,b的值. [自主解答] ∵f(x)在x=-1時有極值0且 f′(x)=3x2+6ax+b. ∴即 解得或 當a=1,b=3時,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0, 所以f(x)在R上為增函數(shù),無極值,故舍去. 當a=2,b=9時, f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3). 當x∈(-∞,-3)時,f(x)為增函數(shù); 當x∈(-3,-1)時,f(x)為減函數(shù); 當x∈(-1,+∞)時,f(x)為增函數(shù). 所以f(x)在x=-1時取得極小值,因此a=2,b=9. 若將“在x=-1時有極值0”改為“在x=-1和x=3處有極值”,如何求解? 解:f′(x)=3x2+6ax+b, ∵-1,3是f(x)的極值點, ∴-1,3是f′(x)=0的兩個根. 即-1,3是3x2+6ax+b=0的兩根. 由根與系數(shù)的關(guān)系知 解得a=-1,b=-9. 解決此類問題通常是利用函數(shù)的導數(shù)在極值點處的取值等于零來建立關(guān)于參數(shù)的方程,從而求出參數(shù)的值.需注意的是,可導函數(shù)在某點處的導數(shù)值等于零只是函數(shù)在該點處取得極值的必要條件,所以必須對求出的參數(shù)值進行檢驗,看是否符合函數(shù)取得極值的條件. 2.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1時取得極值,且f(1)=-1. (1)求常數(shù)a,b,c的值; (2)判斷x=1是函數(shù)的極小值還是極大值,并說明理由. 解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c, 由f′(-1)=f′(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0. 又f(1)=-1,∴a+b+c=-1. ∴a=,b=0,c=-. (2)由(1)可得f(x)=x3-x, ∴f′(x)=x2-=(x-1)(x+1). 當x<-1或x>1時,f′(x)>0; 當-1<x<1時,f′(x)<0, ∴函數(shù)f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函數(shù), 在(-1,1)上為減函數(shù). ∴當x=-1時, 函數(shù)取得極大值f(-1)=1; 當x=1時,函數(shù)取得極小值f(1)=-1. 含參數(shù)的函數(shù)的極值問題 設(shè)a為實數(shù),函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a. (1)求f(x)的極值; (2)當a在什么范圍內(nèi)取值時,曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點. [自主解答] (1)f′(x)=3x2-2x-1=(x-1)(3x+1). 令f′(x)=0,則x=-或x=1. 當x變化時,f′(x),f(x)變化情況如下表: x - 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 極大值 極小值 所以f(x)的極大值是f=+a,極小值是f(1)=a-1. (2)函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a =(x-1)2(x+1)+a-1. 由此可知x取足夠大的正數(shù)時有f(x)>0,x取足夠小的負數(shù)時有f(x)<0, 所以曲線y=f(x)與x軸至少有一個交點. 結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知, 當f(x)的極大值+a<0, 即a∈時它的極小值也小于0, 因此曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點,它在(1,+∞)上; 當f(x)的極小值a-1>0,即a∈(1,+∞)時它的極大值也大于0, 因此曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點,它在上. 所以當a∈∪(1,+∞)時, 曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點. 在本例(2)中,若將“曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點”改為“曲線y=f(x)與x軸有三個交點”呢? 解:由于曲線y=f(x)與x軸有三個交點, ∴f(x)極大值>0且f(x)極小值<0. 即解得-0恒成立, 即函數(shù)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增, 此時函數(shù)沒有極值點. 當a>0時,令f′(x)=0,得x1=,x2=-, 當x變化時,f′(x)與f(x)的變化如下表: x (-∞,-) - (-,) (,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 極大值 極小值 因此,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-)和(,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-,), 此時x=-是f(x)的極大值點,x=是f(x)的極小值點. a為何值時,方程x3-3x2-a=0恰有一個實根、兩個不等實根、三個不等實根,有沒有可能無實根? [巧思] 方程x3-3x2-a=0根的個數(shù),即為直線y=a和函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象交點的個數(shù),因此可借助函數(shù)的單調(diào)性和極值畫出函數(shù)f(x)=x3-3x2的圖象,然后借助圖象判斷根的個數(shù). [妙解] 令f(x)=x3-3x2,則f(x)的定義域為R, 由f′(x)=3x2-6x=0,得x=0或x=2. 所以當x<0或x>2時,f′(x)>0; 當0<x<2時,f′(x)<0. 函數(shù)f(x)在x=0處有極大值0,在x=2處有極小值-4, 如圖所示,故當a>0或a<-4時,原方程有一個根; 當a=0或a=-4時,原方程有兩個不等實根; 當-4<a<0時,原方程有三個不等實根; 由圖象可知,原方程不可能無實根. 1.若函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3時取得極值,則a等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:f′(x)=3x2+2ax+3,由題意知f′(-3)=0, 即3(-3)2+2(-3)a+3=0,解得a=5. 答案:D 2.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導,其導函數(shù)為f′(x),且函數(shù)y= (1-x)f′(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是( ) A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1) B.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(1) C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2) D.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2) 解析:由題圖可知,當x<-2時,f′(x)>0;當-2- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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