2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.1 第2課時 排列的綜合應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc
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第2課時 排列的綜合應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標:1.進一步理解排列的概念,掌握一些排列問題的常用解決方法.(重點)2.能應(yīng)用排列知識解決簡單的實際問題.(難點) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1.排列數(shù)公式 A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1) =(n,m∈N*,m≤n) A=n(n-1)(n-2)…21=n!(叫做n的階乘) 另外,我們規(guī)定0?。?. 2.排列應(yīng)用題的最基本的解法 (1)直接法:以元素為考察對象,先滿足特殊元素的要求,再考慮一般元素(又稱元素分析法);或以位置為考察對象,先滿足特殊位置的要求,再考慮一般位置(又稱位置分析法). (2)間接法:先不考慮附加條件,計算出總排列數(shù),再減去不合要求的排列數(shù). 3.解簡單的排列應(yīng)用題的基本思想 [基礎(chǔ)自測] 1.從n個人中選出2個,分別從事兩項不同的工作,若選派的種數(shù)為72,則n的值為( ) A.6 B.8 C.9 D.12 C [由A=72,得n(n-1)=72,解得n=9(舍去n=-8).] 2.用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為________. 【導(dǎo)學(xué)號:95032035】 48 [從2,4中取一個數(shù)作為個位數(shù)字,有2種取法;再從其余四個數(shù)中取出三個數(shù)排在前三位,有A種排法.由分步乘法計數(shù)原理知,這樣的四位偶數(shù)共有2A=48個.] 3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必須相鄰且B在A的右邊,那么不同的排法種數(shù)有________種. 24 [把A,B視為一人,且B固定在A的右邊,則本題相當于4人的全排列,共A=24種.] 4.從4名男生和3名女生中選出3人,分別從事三種不同的工作,若這3人中至少有1名女生,則選派方案共有________種. 186 [可選用間接法解決:先求出從7人中選出3人的方法數(shù),再求出從4名男生中選出3人的方法數(shù),兩者相減即得結(jié)果.A-A=186(種).] [合 作 探 究攻 重 難] 無限制條件的排列問題 (1)有5本不同的書,從中選3本送給3名同學(xué),每人各1本,共有多少種不同的送法? (2)有5種不同的書(每種不少于3本),要買3本送給3名同學(xué),每人各1本,共有多少種不同的送法? 【導(dǎo)學(xué)號:95032036】 [思路探究] (1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué),各人得到的書不同,屬于求排列數(shù)問題;(2)給每人的書均可以從5種不同的書中任選1本,各人得到哪本書相互之間沒有聯(lián)系,要用分步乘法計數(shù)原理進行計算. [解] (1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué),對應(yīng)于從5個不同元素中任取3個元素的一個排列,因此不同送法的種數(shù)是A=543=60,所以共有60種不同的送法. (2)由于有5種不同的書,送給每個同學(xué)的每本書都有5種不同的選購方法,因此送給3名同學(xué),每人各1本書的不同方法種數(shù)是555=125,所以共有125種不同的送法. [規(guī)律方法] 1.沒有限制的排列問題,即對所排列的元素或所排列的位置沒有特別的限制,這一類問題相對簡單,分清元素和位置即可. 2.對于不屬于排列的計數(shù)問題,注意利用計數(shù)原理求解. [跟蹤訓(xùn)練] 1.將3張電影票分給10人中的3人,每人1張,共有________種不同的分法. 720 [問題相當于從10個人中選出3個人,然后進行全排列,這是一個排列問題.故不同分法的種數(shù)為A=1098=720.] 排隊問題 有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法總數(shù). (1)全體排成一行,其中甲只能在中間或者兩邊位置. (2)全體排成一行,其中甲不在最左邊,乙不在最右邊. (3)全體排成一行,其中男生必須排在一起. (4)全體排成一行,男、女各不相鄰. (5)全體排成一行,其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變. (6)排成前后二排,前排3人,后排4人. 【導(dǎo)學(xué)號:95032037】 [思路探究] 分析題意,確定限制條件→先排特殊位置或特殊元素→再排其它元素 [解] (1)元素分析法:甲為特殊元素,故先安排甲,左、右、中共三個位置可供甲選擇.有A種,其余6人全排列,有A種.由分步乘法計數(shù)原理得AA=2 160種. (2)位置分析法:先排最左邊,除去甲外,有A種,余下的6個位置全排列有A種,但應(yīng)剔除乙在最右邊的排法數(shù)AA種.則符合條件的排法共有AA-AA=3 720種. (3)捆綁法:將男生看成一個整體,進行全排列有A種排法,把這個整體看成一個元素再與其他4人進行全排列有A種排法,共有AA=720種. (4)插空法:先排好男生,然后將女生插入排男生時產(chǎn)生的四個空位,共有AA=144種. (5)定序排列用除法:第一步,設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為N,第二步,對甲、乙、丙進行全排列,則為七個人的全排列,因此有A=NA,∴N==840種. (6)分排問題直接法:由已知,7人排在7個位置,與無任何限制的排列相同,有A=5 040種. 注意:解(6)時易出現(xiàn)AA的錯誤,其主要原因是排列的概念理解不深刻. [規(guī)律方法] 1.排隊問題中的限制條件主要是某人在或不在某位置,可采用位置分析法或元素分析法進行排列.對相鄰、相間、定序、分排等常見問題的解法應(yīng)記?。? 2.元素相鄰和不相鄰問題的解題策略 限制條件 解題策略 元素相鄰 通常采用“捆綁”法,即把相鄰元素看做一個整體參與其他元素排列 元素 不相鄰 通常采用“插空”法,即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰元素插在前面元素排列的空當中 [跟蹤訓(xùn)練] 2.有4名男生、5名女生,全體排成一行,問下列情形各有多少種不同的排法? (1)甲不在中間,乙必在兩端; (2)甲不在左端,乙不在右端; (3)男、女生分別排在一起; (4)男女相間; (5)男生不全相鄰. [解] (1)優(yōu)先安排特殊元素.乙的站法有2種,甲的站法有7種,其余隨便站,共有: 27A=70 560種 (2)按甲在不在右端分類討論. 甲站右端的有:A種;甲不在右端的有:77A種; 共有:A+77A=A(8+49)=287 280種. (3)(捆綁法)AAA=5 760種. (4)(插空法)先排4名男生有A種方法,再將5名女生插空,有A種方法,故共有AA=2 880種排法. (5)(排除法)9人全排列再減去4名男生全部相鄰的情況,有A-AA=345 600種. 數(shù)字排列問題 [探究問題] 1.偶數(shù)的個位數(shù)字有何特征?從1,2,3,4,5中任取兩個不同數(shù)字能組成多少個不同的偶數(shù)? [提示] 偶數(shù)的個位數(shù)字一定能被2整除.先從2,4中任取一個數(shù)字排在個位,共2種不同的排列,再從剩余數(shù)字中任取一個數(shù)字排在十位,共4種排法,故從1,2,3,4,5中任取兩個數(shù)字,能組成24=8(種)不同的偶數(shù). 2.在一個三位數(shù)中,身居百位的數(shù)字x能是0嗎?如果在0~9這十個數(shù)字中任取不同的三個數(shù)字組成一個三位數(shù),如何排才能使百位數(shù)字不為0? [提示] 在一個三位數(shù)中,百位數(shù)字不能為0,在具體排數(shù)時,從元素0的角度出發(fā),可先將0排在十位或個位的一個位置,其余數(shù)字可排百位、個位(或十位)位置;從“位置”角度出發(fā)可先從1~9這9個數(shù)字中任取一個數(shù)字排百位,然后再從剩余9個數(shù)字中任取兩個數(shù)字排十位與個位位置. 用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的 (1)六位奇數(shù)? (2)個位數(shù)字不是5的六位數(shù)? (3)不大于4310的四位偶數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號:95032038】 [思路探究] 這是一道有限制條件的排列問題,每一問均應(yīng)優(yōu)先考慮限制條件,遵循特殊元素或特殊位置優(yōu)先安排的原則.另外,還可以用間接法求解. [解] (1)法一:從特殊位置入手(直接法)分三步完成,第一步先填個位,有A種填法,第二步再填十萬位,有A種填法,第三步填其他位,有A種填法,故共有AAA=288(個)六位奇數(shù). 法二:從特殊元素入手(直接法) 0不在兩端有A種排法,從1,3,5中任選一個排在個位有A種排法,其他各位上用剩下的元素做全排列有A種排法,故共有AAA=288(個)六位奇數(shù). 法三:排除法 6個數(shù)字的全排列有A個,0,2,4在個位上的六位數(shù)為3A個,1,3,5在個位上,0在十萬位上的六位數(shù)有3A個,故滿足條件的六位奇數(shù)共有A-3A-3A=288(個). (2)法一:排除法 0在十萬位的六位數(shù)或5在個位的六位數(shù)都有A個,0在十萬位且5在個位的六位數(shù)有A個. 故符合題意的六位數(shù)共有A-2A+A=504(個). 法二:直接法 十萬位數(shù)字的排法因個位上排0與不排0而有所不同.因此需分兩類: 第一類:當個位排0時,符合條件的六位數(shù)有A個. 第二類:當個位不排0時,符合條件的六位數(shù)有AAA個. 故共有符合題意的六位數(shù)A+AAA=504(個). (3)用直接法 ①當千位上排1,3時,有AAA個. ②當千位上排2時,有AA個. ③當千位上排4時,形如40,42的各有A個;形如41的有AA個,形如43的只有4 310和4 302這兩個數(shù). 故共有AAA+AA+2A+AA+2=110(個). 母題探究:1.本例條件不變,能組成多少個能被5整除的五位數(shù)? [解] 個位上的數(shù)字必須是0或5.若個位上是0,則有A個;若個位上是5,若不含0,則有A個;若含0,但0不作首位,則0的位置有A種排法,其余各位有A種排法,故共有A+A+AA=216(個)能被5整除的五位數(shù). 2.本例條件不變,若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個數(shù)列{an},則240 135是第幾項? [解] 由于是六位數(shù),首位數(shù)字不能為0,首位數(shù)字為1有A個數(shù),首位數(shù)字為2,萬位上為0,1,3中的一個有3A個數(shù),所以240 135的項數(shù)是A+3A+1=193,即240 135是數(shù)列的第193項. [規(guī)律方法] 解排數(shù)字問題常見的解題方法 1.“兩優(yōu)先排法”:特殊元素優(yōu)先排列,特殊位置優(yōu)先填充.如“0”不排“首位”. 2.“分類討論法”:按照某一標準將排列分成幾類,然后按照分類加法計數(shù)原理進行,要注意以下兩點:一是分類標準必須恰當;二是分類過程要做到不重不漏. 3.“排除法”:全排列數(shù)減去不符合條件的排列數(shù). 4.“位置分析法”:按位置逐步討論,把要求數(shù)字的每個數(shù)位排好. [當 堂 達 標固 雙 基] 1.6名學(xué)生排成兩排,每排3人,則不同的排法種數(shù)為( ) A.36 B.120 C.720 D.240 C [由于6人排兩排,沒有什么特殊要求的元素,故排法種數(shù)為A=720.] 2.6位選手依次演講,其中選手甲不排在第一個也不排在最后一個演講,則不同的演講次序共有( ) A.240種 B.360種 C.480種 D.720種 C [先排甲,有4種方法,剩余5人全排列,有A=120種,所以不同的演講次序有4120=480種.] 3.用1,2,3,4,5,6,7這7個數(shù)字排列組成一個七位數(shù),要求在其偶數(shù)位上必須是偶數(shù),奇數(shù)位上必須是奇數(shù),則這樣的七位數(shù)有________個. 144 [先排奇數(shù)位有A種,再排偶數(shù)位有A種,故共有AA=144個.] 4.兩家夫婦各帶一個小孩一起去公園游玩,購票后排隊依次入園.為安全起見,首尾一定要排兩位爸爸,另外,兩個小孩一定要排在一起,則這6人的入園順序排法種數(shù)為________. 24 [分3步進行分析,①先安排兩位爸爸,必須一首一尾,有A=2種排法,②兩個小孩一定要排在一起,將其看成一個元素,考慮其順序有A=2種排法,③將兩個小孩看作一個元素與兩位媽媽進行全排列,有A=6種排法. 則共有226=24種排法.] 5.從6名短跑運動員中選出4人參加4100 m接力賽,甲不能跑第一棒和第四棒,問共有多少種參賽方案? [解] 法一:從運動員(元素)的角度考慮,優(yōu)先考慮甲,分以下兩類: 第1類,甲不參賽,有A種參賽方案; 第2類,甲參賽,可優(yōu)先將甲安排在第二棒或第三棒,有2種方法,然后安排其他3棒,有A種方法,此時有2A種參賽方案. 由分類加法計數(shù)原理可知,甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有A+2A=240種. 法二:從位置(元素)的角度考慮,優(yōu)先考慮第一棒和第四棒,則這兩棒可以從除甲之外的5人中選2人,有A種方法;其余兩棒從剩余4人中選,有A種方法. 由分步乘法計數(shù)原理可知,甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有AA=240種.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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