2018-2019學年高中數(shù)學第一章統(tǒng)計案例1.2-1.3相關系數(shù)可線性化的回歸分析學案北師大版選修.docx

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1.2　相關系數(shù) 1.3　可線性化的回歸分析 學習目標　1.了解線性相關系數(shù)r的求解公式，并會初步應用.2.理解回歸分析的基本思想. 3.通過可線性化的回歸分析，判斷幾種不同模型的擬合程度． 知識點一　相關系數(shù) 1．相關系數(shù)r的計算 假設兩個隨機變量的數(shù)據(jù)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則變量間線性相關系數(shù)r＝＝ ＝. 2．相關系數(shù)r的性質 (1)r的取值范圍為[－1,1]． (2)|r|值越大，誤差Q越小，變量之間的線性相關程度越高． (3)|r|值越接近0，誤差Q越大，變量之間的線性相關程度越低． 3．相關性的分類 (1)當r>0時，兩個變量正相關． (2)當r<0時，兩個變量負相關． (3)當r＝0時，兩個變量線性不相關． 知識點二　可線性化的回歸分析 曲線方程 曲線圖形 變換公式 變換后的線性函數(shù) 冪函數(shù)曲線 y＝axb c＝lna v＝lnx u＝lny u＝c＋bv 指數(shù)曲線 y＝aebx c＝lna u＝lny u＝c＋bx 倒指數(shù)曲線 c＝lna v＝ u＝lny u＝c＋bv 對數(shù)曲線 y＝a＋blnx v＝lnx u＝y(tǒng) u＝a＋bv 1．回歸分析中，若r＝1說明x，y之間具有完全的線性關系．(　√　) 2．若r＝0，則說明兩變量是函數(shù)關系．(　　) 3．樣本相關系數(shù)的范圍是r∈(－∞，＋∞)．(　　) 類型一　線性相關系數(shù)及其應用 例1　下圖是我國2012年至2018年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖． 注：年份代碼1－7分別對應年份2012－2018. (1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數(shù)加以說明； (2)建立y關于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預測2020年我國生活垃圾無害化處理量． 附注： 參考數(shù)據(jù)：i＝9.32，iyi＝40.17，＝0.55，≈2.646. 參考公式：相關系數(shù)r＝， 回歸方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b＝，a＝－b. 解　(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 ＝4，(ti－)2＝28，＝0.55. (ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－49.32＝2.89，r≈≈0.99. 因為y與t的相關系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系． (2)由＝≈1.331及(1)得b＝＝≈0.103， a＝－b≈1.331－0.1034≈0.92. 所以y關于t的回歸方程為y＝0.92＋0.10t. 將2020年對應的t＝9代入回歸方程得y＝0.92＋0.109＝1.82. 所以預測2020年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.82億噸． 反思與感悟　(1)散點圖只能直觀判斷兩變量是否具有相關關系． (2)相關系數(shù)能精確刻畫兩變量線性相關關系的強弱． 跟蹤訓練1　變量x，y的散點圖如圖所示，那么x，y之間的相關系數(shù)r的最接近的值為(　　) A．1B．－0.5C．0D．0.5 考點　 題點　 答案　C 解析　從散點圖中，我們可以看出，x與y沒有線性相關關系，因而r的值接近于0. 類型二　可線性化的回歸分析 例2　某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值． (xi－)2 (wi－)2 (xi－) (yi－) (wi－) (yi－) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中wi＝，＝i. (1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程； (3)當年宣傳費x＝49時，年銷售量的預報值是多少？ 附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為 β＝，α＝－β. 考點　非線性回歸分析 題點　非線性回歸分析 解　(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型． (2)令w＝，先建立y關于w的線性回歸方程． 由于d＝＝＝68， c＝－d＝563－686.8＝100.6， 所以y關于w的線性回歸方程為y＝100.6＋68w， 因此y關于x的回歸方程為y＝100.6＋68. (3)由(2)知，當x＝49時， 年銷售量y的預報值y＝100.6＋68＝576.6. 反思與感悟　由樣本數(shù)據(jù)先作散點圖，根據(jù)散點圖的分布規(guī)律選擇合適的函數(shù)模型．如果發(fā)現(xiàn)具有線性相關頭系，可由公式或計算器的統(tǒng)計功能，求得線性回歸方程的兩個參數(shù)．如果發(fā)現(xiàn)是指數(shù)型函數(shù)或二次函數(shù)，可以通過一些代數(shù)變換，轉化為線性回歸模型． 跟蹤訓練2　在一次抽樣調查中測得樣本的5個樣本點，數(shù)值如下表： x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1 求y關于x的回歸方程． 考點　非線性回歸分析 題點　非線性回歸分析 解　由數(shù)值表可作散點圖如圖， 根據(jù)散點圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關系， 設y＝，令t＝，則y＝kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)椋? t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 由置換后的數(shù)值表作散點圖如下： 由散點圖可以看出y與t呈近似的線性相關關系，列表如下： i ti yi tiyi t 1 4 16 64 16 2 2 12 24 4 3 1 5 5 1 4 0.5 2 1 0.25 5 0.25 1 0.25 0.0625 ∑ 7.75 36 94.25 21.3125 所以＝1.55，＝7.2. 所以b＝≈4.1344， a＝－b≈0.8. 所以y＝4.1344t＋0.8. 所以y與x之間的回歸方程是y＝＋0.8. 1．給定y與x是一組樣本數(shù)據(jù)，求得相關系數(shù)r＝－0.690，則(　　) A．y與x的線性相關性很強 B．y與x線性不相關 C．y與x正線性相關 D．y與x負線性相關 考點　線性相關系數(shù) 題點　線性相關系數(shù)的應用 答案　D 解析　因為|r|＝|－0.690|<0.75， 所以y與x的線性相關性一般， 又因為r＝－0.690<0， 所以y與x負線性相關． 2．某種細胞在培養(yǎng)正常的情況下，時刻t(單位：分)與細胞數(shù)n(單位：個)的部分數(shù)據(jù)如下： t 0 20 60 140 n 1 2 8 128 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，推測繁殖到1000個細胞時的時刻t最接近于(　　) A．200B．220C．240D．260 考點　非線性回歸分析 題點　非線性回歸分析 答案　A 解析　由表可得時刻t(單位：分)與細胞數(shù)n滿足回歸方程n＝，由此可知n＝1000時，t接近200. 3．對于回歸分析，下列說法錯誤的是(　　) A．在回歸分析中，變量間的關系是非確定性關系，因此因變量不能由自變量唯一確定 B．線性相關系數(shù)可以是正的或負的 C．回歸分析中，如果r＝1，說明x與y之間完全線性相關 D．樣本相關系數(shù)r∈(－1,1) 考點　線性相關系數(shù) 題點　線性相關系數(shù)的應用 答案　D 解析　∵相關系數(shù)|r|≤1，∴D錯誤． 4．由兩個變量x與y的散點圖可看出樣本點分布在一條曲線y＝x2的附近，若要將其線性化，則只需要設________即可． 考點　非線性回歸分析 題點　非線性回歸分析 答案　t＝x2 解析　設t＝x2，則y＝t為線性回歸方程． 5．一唱片公司研究預支出費用x(十萬元)與唱片銷售量y(千張)之間的關系，從其所發(fā)行的唱片中隨機抽選了10張，得到如下的資料：i＝28，＝303.4，i＝75，＝598.5， iyi＝237，則y與x的相關系數(shù)r的絕對值為________． 考點　線性相關系數(shù) 題點　線性相關系數(shù)的應用 答案　0.3 解析　根據(jù)公式得相關系數(shù) r＝＝＝0.3， 所以|r|＝0.3. 1．散點圖的優(yōu)點是直觀．但是有時不能準確判斷，尤其數(shù)據(jù)較多時，不易作出散點圖．這時可根據(jù)線性相關系數(shù)r來判斷． 2．對于具有非線性相關關系的兩個變量，可以通過對變量進行變換，轉化為線性回歸問題去解決. 一、選擇題 1．若兩個變量x和y之間具有線性相關關系，它們的相關系數(shù)是r，y關于x的回歸方程為y＝bx＋a，那么(　　) A．br>0 B．br<0 C．ar>0 D．ar<0 考點　線性相關系數(shù) 題點　線性相關系數(shù)的應用 答案　A 解析　對于回歸方程y＝bx＋a，當b>0時，x和y正相關，則r>0； 當b<0時，x和y負相關，則r<0. 綜上所述，br>0. 2．關于兩個變量x，y與其線性相關系數(shù)r，有下列說法： ①若r>0，則x增大時，y也相應增大； ②若|r|越趨近于1，則x與y的線性相關程度越強； ③若r＝1或r＝－1，則x與y的關系完全對應(有函數(shù)關系)，在散點圖上各個散點均在一條直線上． 其中正確的有(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 考點　線性相關系數(shù) 題點　線性相關系數(shù)的應用 答案　D 解析　根據(jù)相關系數(shù)的定義，變量之間的相關關系可利用相關系數(shù)r進行判斷： 當r為正數(shù)時，表示變量x，y正相關； 當r為負數(shù)時，表示兩個變量x，y負相關； |r|越接近于1，相關程度越強； |r|越接近于0，相關程度越弱．故可知①②③正確． 3．甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量進行線性相關試驗，并用回歸分析方法分別求得相關系數(shù)r如表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 則這四位同學的試驗結果能體現(xiàn)出A，B兩變量有更強的線性相關性的是(　　) A．甲B．乙C．丙D．丁 考點　線性相關系數(shù) 題點　線性相關系數(shù)的應用 答案　D 解析　由相關系數(shù)的意義可知，相關系數(shù)的絕對值越接近于1，相關性越強，結合題意可知，丁的線性相關性更強，故選D. 4．若一函數(shù)模型為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，為將y轉化為關于t的線性回歸方程，則需作變換t等于(　　) A．x2 B．(x＋a)2 C.2 D．以上都不對 考點　非線性回歸分析 題點　非線性回歸分析 答案　C 解析　y關于t的線性回歸方程，實際上就是y關于t的一次函數(shù)， 因為y＝a2＋(a≠0)， 故選C. 5．對于指數(shù)曲線y＝aebx，令u＝lny，c＝lna，經過非線性化回歸分析之后，可以轉化成的形式為(　　) A．u＝c＋bx B．u＝b＋cx C．y＝b＋cx D．y＝c＋bx 考點　非線性回歸分析 題點　非線性回歸分析 答案　A 解析　對方程y＝aebx兩邊同時取對數(shù)，然后將u＝lny，c＝lna代入，不難得出u＝c＋bx. 6．某奶茶店為了了解奶茶銷售量與氣溫之間的關系，隨機統(tǒng)計并制作了6天賣出的奶茶的杯數(shù)與氣溫的對照表： 氣溫x(℃) 26 19 14 10 4 －1 杯數(shù)y 201 242 339 383 505 640 經檢驗，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關關系，那么，對于氣溫x(℃)與奶茶銷售量y(杯)這兩個變量，下列判斷正確的是(　　) A．呈正相關，其回歸直線經過點(12,385) B．呈負相關，其回歸直線經過點(12,385) C．呈正相關，其回歸直線經過點(12,386) D．呈負相關，其回歸直線經過點(12,386) 考點　線性回歸直線方程 題點　樣本點中心的應用 答案　B 解析　畫出散點圖(圖略)可知成負相關， 又根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得＝＝12， ＝＝385，故選B. 7．有一組數(shù)據(jù)如下表： X 1.993 3.002 4.001 5.032 6.121 Y 1.501 4.413 7.498 12.04 17.93 現(xiàn)準備從以下函數(shù)中選擇一個能夠近似地表示這組數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中擬合最好的是(　　) A．y＝－2x－2 B．y＝log2x C．y＝2x－1＋1 D．y＝x2－ 考點　非線性回歸分析 題點　非線性回歸分析 答案　D 解析　把X看作自變量，Y看作其函數(shù)值，從表中數(shù)據(jù)的變化趨勢看，函數(shù)遞增的速度不斷加快． A選項中一次函數(shù)是以一個恒定的幅度變化，其圖像是直線，不符合本題的變化規(guī)律． B選項為對數(shù)型函數(shù)，隨著X的增大Y的遞增速度不斷變慢，不符合本題的變化規(guī)律． C選項為指數(shù)型函數(shù)，隨著X的增大Y的遞增速度不斷變快，但增長速度超出題目中Y的增長速度，不符合本題的變化規(guī)律． D選項是二次函數(shù)，對比數(shù)據(jù)知，其最接近這組數(shù)據(jù)的變化趨勢．故選D. 8.設(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線如圖，以下說法正確的是(　　) A．x和y的相關系數(shù)為直線l的斜率 B．x和y的相關系數(shù)在0到1之間 C．當n為偶數(shù)時，分布在l兩側的樣本點的個數(shù)一定相同 D．由直線l可知，r一定小于0 考點　線性相關系數(shù) 題點　線性相關系數(shù)的應用 答案　D 解析　因為r的符號與線性回歸方程y＝a＋bx斜率符號相同，故r一定小于0. 二、填空題 9．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為________． 考點　線性相關系數(shù) 題點　線性相關系數(shù)的應用 答案　1 解析　根據(jù)樣本相關系數(shù)的定義可知，當所有樣本點都在直線y＝x＋1上時，相關系數(shù)為1. 10．若已知(yi－)2是(xi－)2的4倍，(xi－)(yi－)是(xi－)2的1.5倍，則相關系數(shù)r的值為________． 考點　線性相關系數(shù) 題點　線性相關系數(shù)的應用 答案　 解析　由r＝，得r＝. 11．在研究兩個變量的相關關系時，觀察散點圖發(fā)現(xiàn)樣本點集中于某一條指數(shù)曲線y＝ebx＋a的周圍．令z＝lny，求得線性回歸方程為z＝0.25x－2.58，則該模型的回歸方程為______． 考點　非線性回歸分析 題點　非線性回歸分析 答案　y＝e0.25x－2.58 解析　因為z＝0.25x－2.58，z＝lny， 所以y＝e0.25x－2.58. 三、解答題 12．噪聲污染已經成為影響人們身體健康和生活質量的嚴重問題，為了了解聲音強度D(單位：分貝)與聲音能量I(單位：W/cm2)之間的關系，將測量得到的聲音強度Di和聲音能量Ii(i＝1,2，…，10)數(shù)據(jù)做了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值． (數(shù)據(jù)：＝3.1610－12，＝45.7，＝－11.5， (Ii－)2＝1.5610－11， (Wi－)2＝0.51， (Ii－)(Di－)＝6.8810－11， (Wi－)(Di－)＝5.1， 其中Wi＝lgIi，＝i) 根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，求聲音強度D關于聲音能量I的回歸方程D＝a＋blgI； 附：對于一組數(shù)據(jù)(μ1，υ1)，(μ2，υ2)，…，(μn，υn)，其回歸直線υ＝α＋βμ的斜率和截距的最小二乘估計分別為 β＝，α＝－β. 考點　非線性回歸分析 題點　非線性回歸分析 解　令Wi＝lgIi，先建立D關于W的線性回歸方程， 由于b＝＝＝10， ∴a＝－b＝160.7， ∴D關于W的線性回歸方程為D＝10W＋160.7， ∴D關于I的回歸方程為D＝10lgI＋160.7. 四、探究與拓展 13．已知某個樣本點中的變量x，y線性相關，相關系數(shù)r>0，平移坐標系，則在以(，)為坐標原點的坐標系下的散點圖中，大多數(shù)的點都落在第________象限． 考點　線性相關系數(shù) 題點　線性相關系數(shù)的應用 答案　一、三 解析　因為r>0時，b>0， 所以大多數(shù)的點都落在第一、三象限． 14．某種書每冊的成本費y(元)與印刷冊數(shù)x(萬冊)有關，經統(tǒng)計得到數(shù)據(jù)如下： x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 令μ＝，檢驗每冊書的成本費y與μ之間是否具有線性相關關系，若有，求出y對μ的回歸方程． (參考數(shù)據(jù)：＝1.413014，＝171.803，iyi＝15.20878) 考點　非線性回歸分析 題點　非線性回歸分析 解　設μ＝，則y與μ的數(shù)據(jù)關系如下表所示： μ 1 0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.033 0.02 0.01 0.005 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 由上表可以得到＝(1＋0.5＋…＋0.005)＝0.2248， ＝(10.15＋5.52＋…＋1.15)＝3.14， 則r＝≈0.9998. 由于r的值非常接近于1，這表明兩個變量的線性相關關系很強，從而求y與μ的回歸方程有意義． 又b＝≈8.98， 則a＝－b＝3.14－8.980.2248≈1.12， 所以y關于μ的回歸方程為y＝1.12＋8.98μ.