2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第12章 選修4系列 第2講 參數(shù)方程講義 理（含解析）.doc

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第2講　參數(shù)方程 [考綱解讀]　了解參數(shù)方程及參數(shù)的意義，掌握直線、圓及橢圓的參數(shù)方程，并能利用參數(shù)方程解決問題．(重點、難點) [考向預(yù)測]　從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個必考點. 預(yù)測2020年將會考查：參數(shù)方程與普通方程的互化及直線與橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用. 1．曲線的參數(shù)方程 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)，并且對于t的每一個允許值，由這個方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么這個方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)． 2．常見曲線的參數(shù)方程和普通方程 提醒：直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離． 1．概念辨析 (1)直線(t為參數(shù))的傾斜角α為30.(　　) (2)過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．參數(shù)t的幾何意義表示：直線l上以定點M0為起點，任一點M(x，y)為終點的有向線段的數(shù)量．(　　) (3)方程表示以點(0,1)為圓心，以2為半徑的圓．(　　) (4)已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點M在橢圓上，對應(yīng)參數(shù)t＝，點O為原點，則直線OM的斜率為.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4) 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．小題熱身 (1)若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線的斜率為________． 答案　－ 解析　因為所以3x＋2y＝7，此直線的斜率為－. (2)橢圓(θ為參數(shù))的離心率為________． 答案　 解析　將消去參數(shù)θ，得橢圓＋＝1. 所以a2＝25，b2＝9，c2＝a2－b2＝16，所以a＝5，b＝3，c＝4，所以離心率e＝＝. (3)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，則曲線C的普通方程為________． 答案　y＝2－2x2(－1≤x≤1) 解析　由(θ為參數(shù))消去參數(shù)θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)． 題型 　參數(shù)方程與普通方程的互化 1．求直線(t為參數(shù))與曲線(α為參數(shù))的交點個數(shù)． 解　將消去參數(shù)t得直線x＋y－1＝0； 將消去參數(shù)α，得圓x2＋y2＝9. 又圓心(0,0)到直線x＋y－1＝0的距離d＝<3. 因此直線與圓相交，故直線與曲線有2個交點． 2．如圖，以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù)，求圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程． 解　如圖，圓的半徑為， 記圓心為C，連接CP， 則∠PCx＝2θ， 故xP＝＋cos2θ＝cos2θ， yP＝sin2θ＝sinθcosθ(θ為參數(shù))． 所以圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 條件探究　把舉例說明1中“曲線(α為參數(shù))”改為“”其他條件不變，求兩條曲線交點的坐標(biāo)． 解　由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，得 y2＝2－x. 又因為x＝1－sin2θ∈[0,2]， 所以所求普通方程為y2＝2－x，x∈[0,2]． 解方程組得或 又因為x∈[0,2]，所以交點坐標(biāo)為. 1．參數(shù)方程化為普通方程 基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有：①代入消元法；②加減消元法；③恒等式(三角的或代數(shù)的)消元法；④平方后再加減消元法等．其中代入消元法、加減消元法一般是利用解方程組的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2θ＋cos2θ＝1等． 2．普通方程化為參數(shù)方程 (1)選擇參數(shù)的一般原則 曲線上任意一點的坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系比較明顯且關(guān)系相對簡單；當(dāng)參數(shù)取某一值時，可以唯一確定x，y的值． (2)解題的一般步驟 第一步，引入?yún)?shù)，但要選定合適的參數(shù)t； 第二步，確定參數(shù)t與變量x或y的一個關(guān)系式x＝f(t)(或y＝φ(t))； 第三步，把確定的參數(shù)與一個變量的關(guān)系式代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一關(guān)系y＝g(t)(或x＝φ(t))，問題得解．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：(t為參數(shù))，與曲線C：(k為參數(shù))交于A，B兩點，求線段AB的長． 解　將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，得4x－3y＝4，將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，得y2＝4x，聯(lián)立方程解得或 所以A(4,4)，B或A，B(4,4)． 所以AB＝＝. 題型 　參數(shù)方程的應(yīng)用 角度1　利用參數(shù)方程解最值問題 1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(θ∈[0,2π])，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求曲線C1，C2的普通方程； (2)求曲線C1上一點P到曲線C2的距離的最大值． 解　(1)由題意知，曲線C1的普通方程為x2＋＝1， 曲線C2的普通方程為x＋y＋2＝0. (2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(cosα，3sinα)，則點P到直線C2的距離 d＝ ＝， 所以當(dāng)sin＝1，即α＝時，dmax＝2， 即點P到曲線C2的距離的最大值為2. 角度2　參數(shù)幾何意義的應(yīng)用 2．(2018全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率． 解　(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋＝1. 當(dāng)cosα≠0時，l的直角坐標(biāo)方程為y＝tanαx＋2－tanα，當(dāng)cosα＝0時，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.① 因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi)，所以①有兩個解，設(shè)為t1，t2，則t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－， 故2cosα＋sinα＝0，于是直線l的斜率k＝tanα＝－2. 1．設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線的參數(shù)方程在交點問題中的應(yīng)用 (1)若M1，M2是直線l上的兩個點，對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝. (2)若線段M1M2的中點為M3，點M1，M2，M3對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，t3，則t3＝. (3)若直線l上的線段M1M2的中點為M0(x0，y0)，則t1＋t2＝0，t1t2<0. 2．圓和圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用 有關(guān)圓或圓錐曲線上的動點距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題，通常利用它們的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解． 提醒：對于形如(t為參數(shù))，當(dāng)a2＋b2≠1時，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2，在以極點為直角坐標(biāo)系的原點O，極軸為x軸的正半軸建立的平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)已知曲線W：(α為參數(shù))，若M為曲線W上任意一點，求點M到直線l的最小距離． 解　(1)由(t為參數(shù))消去參數(shù)t，得y＝x＋3. 即直線l的普通方程為x－y＋3＝0. 因為ρ2＝x2＋y2， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4. (2)由已知可設(shè)M(cosα，2sinα)(α為參數(shù))， 則點M到直線l的距離 d＝＝(其中tanβ＝2)， 所以點M到直線l的距離的最小值為＝. 2．(2018河北“五個一名校聯(lián)盟”二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1過點P(a,1)，其參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a∈R)．以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點，且|AB|＝8，求實數(shù)a的值． 解　(1)∵曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a∈R)， ∴曲線C1的普通方程為x－y－a＋1＝0. ∵曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0， ∴ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，∴x2＋4x－x2－y2＝0， 即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x. (2)設(shè)A，B兩點所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 由得t2－2t＋2－8a＝0. Δ＝(－2)2－4(2－8a)>0，即a>0， ∴根據(jù)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可知 |AB|＝|t1－t2|＝＝＝＝8，∴a＝2. 題型 　極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 (2019貴州聯(lián)考)已知在一個極坐標(biāo)系中，點C的極坐標(biāo)為. (1)求出以C為圓心，半徑長為2的圓的極坐標(biāo)方程(寫出解題過程)； (2)在直角坐標(biāo)系中，以圓C所在極坐標(biāo)系的極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，點P是圓C上任意一點，Q(5，－)，M是線段PQ的中點，當(dāng)點P在圓C上運動時，求點M的軌跡的普通方程． 解　(1)如圖，設(shè)圓C上任意一點 A(ρ，θ)，則∠AOC＝θ－或－θ. 由余弦定理得， 4＋ρ2－4ρcos＝4， 所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos. (2)在直角坐標(biāo)系中，點C的坐標(biāo)為(1，)，可設(shè)圓C上任意一點P(1＋2cosα，＋2sinα)，又令M(x，y)，由Q(5，－)，M是線段PQ的中點，得點M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，即 (α為參數(shù))， ∴點M的軌跡的普通方程為(x－3)2＋y2＝1. 極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程綜合問題的解題策略 (1)求交點坐標(biāo)、距離、線段長．可先求出直角坐標(biāo)方程，然后求解． (2)判斷位置關(guān)系．先轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)方程，然后再作出判斷． (3)求參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程綜合的問題．一般是先將方程化為直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)方程來研究問題．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2017全國卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))．設(shè)l1與l2的交點為P，當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程； (2)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑． 解　(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)； 消去參數(shù)m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)． 設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)， 所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)． (2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，聯(lián)立得 cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)． 故tanθ＝－，從而cos2θ＝，sin2θ＝. 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交點M的極徑為.