2019高考數(shù)學二輪復習 第一篇 微型專題 微專題06 三角恒等變換與解三角形練習 理.docx

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06　三角恒等變換與解三角形 1.已知cos2α2sinα-π4=52,則tan α+1tanα=(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-18　 B.-8 C.18　 D.8 　　解析?　因為cos2α2sinα-π4=cos2α-sin2αsinα-cosα=-(cos α+sin α)=52, 所以sin αcos α=18, 而tan α+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα=8,故選D. 　　答案?　D 2.在△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,其中b>a且2asin(A+B)=3c,則角A等于(　　). A.π3 B.π3或2π3 C.π6 D.π6或5π6 　　解析?　由誘導公式可得sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, 利用正弦定理可得2sin AsinC=3sin C,解得sin A=32, 即A=π3或A=2π3, 又b>a,所以A=π3,故選A. 　　答案?　A 3.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,若a,b,c成等比數(shù)列,且a2-ab=c2-ac,則cos C的值為(　　). A.12 B.-12 C.32 D.-32 　　解析?　由a,b,c成等比數(shù)列得b2=ac, 代入a2-ab=c2-ac,得a2+b2-c2=ab, 則cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12,故選A. 　　答案?　A 4.一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱,為了測量噴水柱的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的A處測得水柱頂端的仰角為45,沿A向北偏東30方向前進100 m后到達B處,在B處測得水柱頂端的仰角為30,則水柱的高度為　　　　. 解析?　如圖所示,DC⊥平面ABC,AB=100 m,∠DBC=30,∠DAC=45,∠CAB=60.設CD=h m,則AC=h m, 同理可得BC=3h m. 在△ABC中,BC2=AC2+AB2-2ACABcos 60, 則(3h)2=h2+1002-2h10012, 化為h2+50h-5000=0,解得h=50, 因此水柱的高度是50 m. 答案?　50 m 能力1 ?　能熟練進行三角恒等變換和求值 　　【例1】　(1)設α∈0,π2,β∈0,π2,且tan α=1+sinβcosβ,則(　　). A.3α-β=π2　　　　B.3α+β=π2 C.2α-β=π2 D.2α+β=π2 (2)已知cosα+π4=210,α∈0,π2,cos β=13,β∈(0,π),則cos(α-2β)的值為　　　　. 解析?　(1)由tan α=1+sinβcosβ,得sinαcosα=1+sinβcosβ,即sin αcos β=cos α+sin βcos α, 所以sin(α-β)=cos α. 又cos α=sinπ2-α, 所以sin(α-β)=sinπ2-α. 因為α∈0,π2,β∈0,π2, 所以-π2<α-β<π2,0<π2-α<π2. 所以α-β=π2-α,所以2α-β=π2. (2)因為α∈0,π2,所以α+π4∈π4,3π4. 因為cosα+π4=210,所以sinα+π4=7210, 所以sin α=sinα+π4-π4 =sinα+π4cosπ4-cosα+π4sinπ4 =721022-21022=35, 所以cos α=45. 因為cos β=13,β∈(0,π),所以sin β=223, 所以sin 2β=429,cos 2β=-79, 所以cos(α-2β)=cos αcos 2β+sin αsin 2β=45-79+35429=122-2845. 答案?　(1)C　(2)122-2845 三角恒等變換中的“四大策略”: (1)常值代換:特別是“1”的代換,如1=sin2θ+cos2θ=tan 45. (2)項的分拆與角的配湊:sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等. (3)降冪與升冪:正用和逆用二倍角公式. (4)弦、切互化:切化弦,弦化切,減少函數(shù)種類. 已知α∈π2,π,且sin α=13. (1)求sin 2α的值; (2)若sin(α+β)=-35,β∈0,π2,求sin β的值. 解析?　(1)∵α∈π2,π,且sin α=13, ∴cos α=-223, 故sin 2α=2sin αcos α=-429. (2)∵α∈π2,π,β∈0,π2, ∴α+β∈π2,3π2. 由sin(α+β)=-35得cos(α+β)=-45, 故sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =-35-223--4513 =4+6215. 能力2 ?　正弦定理、余弦定理的簡單應用 　　【例2】　已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且3cacosB=tan A+tanB. (1)求角A的大小; (2)設D為AC邊上的一點,且BD=5,DC=3,a=7,求c的值. 解析?　(1)在△ABC中,∵3cacosB=tan A+tanB, ∴3sinCsinAcosB=sinAcosA+sinBcosB, 即 3sinCsinAcosB=sinAcosB+sinBcosAcosAcosB, ∴3sinA=1cosA,則 tan A=3,∴A=π3. (2)∵BD=5,DC=3,a=7, 由余弦定理可得cos∠BDC=25+9-49235=-12, ∴∠BDC=2π3, 又A=π3, ∴△ABD為等邊三角形,∴c=5. 　　在解三角形中,利用已知條件進行化簡變形,常用的方法是借助正弦定理和余弦定理進行邊角互化,減少變量的數(shù)量,在邊化角的運算中注意切化弦思想及三角恒等變換的應用. 已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且ba+c=1-sinAsinC+sinB. (1)求角C的大小; (2)若S△ABC=23,a+b=6,求邊c. 解析?　(1)ba+c=1-sinAsinC+sinB =sinC+sinB-sinAsinC+sinB. 由正弦定理得ba+c=c+b-ac+b, 化簡得a2+b2-c2=ab, 由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=12. ∵C∈(0,π),∴C=π3. (2)由(1)知C=π3, 又S△ABC=12absin C=12ab32=23,∴ab=8. 由余弦定理得c2=a2+b2-2ab12=(a+b)2-3ab=12, ∴c=23. 能力3 ?　會解三角形與三角函數(shù)的綜合問題 　　【例3】　在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,△ABC的面積為S,且4S=3(a2+b2-c2). (1)求角C的大小; (2)若f(x)=4sin xcosx+π6+1,且當x=A時,f(x)取得最大值b,試求S的值. 解析?　(1)由已知得412absin C=3(a2+b2-c2)=23abcos C,即tan C=3. 因為C∈(0,π),所以C=π3. (2)f(x)=4sin x32cosx-12sinx+1 =23sin xcosx-2sin2x+1 =3sin 2x+cos 2x =2sin2x+π6. 當2x+π6=2kπ+π2(k∈Z),即x=kπ+π6(k∈Z)時,f(x)max=2. 因為A∈(0,π),所以A=π6,b=2, 故B=π-A-C=π2,a=bsinA=1,c=bsinC=3, 所以S=12acsin B=32. 　　求解有關(guān)解三角形與三角函數(shù)的綜合問題,要注意三角形內(nèi)角的范圍,一般是先定角,再定范圍,最后利用三角函數(shù)的單調(diào)性和倍角公式進行轉(zhuǎn)化. 設函數(shù)f(x)=sin2x+π6+sin2x-cos2x. (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若角A滿足f(A)=1,a=3,△ABC的面積為32,求b+c的值. 解析?　(1)f(x)=32sin 2x+12cos 2x-cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=sin2x-π6. 令-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ,k∈Z, 得-π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z. ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-π6+kπ,π3+kπ,k∈Z. (2)由題意知f(A)=sin2A-π6=1, ∵00,ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示,且f(α)=1,α∈0,π3,則cos2α+5π6=(　　). A.13 B.223 C.223 D.-223 解析?　由圖象可得A=3,T=2πω=47π12-π3=π,解得ω=2, 故f(x)=3sin(2x+φ), 代入點π3,-3可得3sin2π3+φ=-3, ∴sin2π3+φ=-1, 即有2π3+φ=-π2+2kπ(k∈Z), ∴φ=2kπ-7π6(k∈Z), 又∵0<φ<π,∴φ=5π6, 故f(x)=3sin2x+5π6. 又∵f(α)=3sin2α+5π6=1, ∴sin2α+5π6=13. ∵α∈0,π3,∴2α+5π6∈5π6,3π2, ∴cos2α+5π6=-1-sin22α+5π6=-223,故選D. 答案?　D 二、填空題 9.若α∈π2,π,且3cos 2α=sinπ4-α,則sin 2α的值為　　　　. 解析?　因為3cos 2α=sinπ4-α, 所以3cos 2α=22cos α-22sin α, 兩邊平方得9cos22α=12(1-sin 2α), 即18(1-sin22α)=1-sin 2α, 整理得(17+18sin 2α)(1-sin 2α)=0, 又α∈π2,π,所以sin 2α=-1718或sin 2α=1(舍去). 答案?　-1718 10.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,△ABC的面積為S,若bcosA+acosB=23b,且a2sin A=b2sin A+23S,則A=　　　　. 解析?　∵bcosA+acosB=23b, ∴sin BcosA+sinAcosB=23sin B, ∴sin(A+B)=23sin B, 即sin C=23sin B,則c=23b. ∵a2sin A=b2sin A+23S, ∴a2sin A=b2sin A+3bcsin A, 則a2=b2+3bc, 即a2=b2+6b2=7b2, ∴cos A=b2+c2-a22bc=b2+12b2-7b243b2=32, ∴A=30. 答案?　30 三、解答題 11.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知absinC=20sin B,a2+c2=41,且8cos B=1. (1)求b的值. (2)證明:△ABC的三個內(nèi)角中必有一個角的大小是另一個角的兩倍. 解析?　(1)∵absinC=20sin B, ∴abc=20b,即ac=20, 則b=a2+c2-2accosB=41-4018=6. (2)∵ac=20,a2+c2=41, ∴a=4,c=5或a=5,c=4. 若a=4,c=5,則cos A=52+62-42256=34,∵cos B=18,2342-1=2cos2A-1=cos 2A,∴B=2A; 若a=5,c=4,同理可得B=2C. 故△ABC的三個內(nèi)角中必有一個角的大小是另一個角的兩倍. 12.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cosB-2cosA2a-b=cosCc. (1)求ab的值; (2)若角A是鈍角,且c=3,求b的取值范圍. 解析?　(1)由題意及正弦定理得sin CcosB-2sin CcosA=2sin AcosC-sin BcosC, ∴sin CcosB+sinBcosC=2(sin CcosA+sinAcosC). ∴sin(B+C)=2sin(A+C). ∵A+B+C=π,∴sin A=2sin B,∴ab=2. (2)由余弦定理得cos A=b2+9-a22b3=b2+9-4b26b=9-3b26b<0,∴b>3.?、? ∵b+c>a,即b+3>2b,∴b<3.　② 由①②得b的取值范圍是(3,3). 13.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足2c-ba=cosBcosA. (1)求角A的正弦值; (2)若a=25,求△ABC面積的最大值. 解析?　(1)∵2c-ba=cosBcosA, ∴2c-bcos A=acosB. 由正弦定理得2sinC-sinBcos A=sin AcosB, 整理得2sin CcosA-sin BcosA=sin AcosB, ∴2sin CcosA=sin AcosB+sinBcosA=sin C. 在△ABC中,sin C≠0, ∴cos A=12,∴sin A=32. (2)由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12, ∵a=25. ∴b2+c2-20=bc≥2bc-20, ∴bc≤20,當且僅當b=c時,取等號. ∴△ABC的面積S=12bcsinA≤53, ∴△ABC面積的最大值為53.