2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 第九章 平面解析幾何學(xué)案.doc
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第九章 平面解析幾何 第1課時(shí) 直線的傾斜角與斜率 了解確定直線位置的幾何要素(兩個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)定點(diǎn)和斜率).對(duì)直線的傾斜角、斜率的概念要理解,能牢記過兩點(diǎn)的斜率公式并掌握斜率公式的推導(dǎo),了解直線的傾斜角的范圍.理解直線的斜率和傾斜角之間的關(guān)系,能根據(jù)直線的傾斜角求出直線的斜率. ① 在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,確定直線位置的幾何要素.② 理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式. 1. (原創(chuàng))設(shè)m為常數(shù),則過點(diǎn)A(2,-1),B(2,m)的直線的傾斜角是 ?。? 答案:90 解析:因?yàn)檫^點(diǎn)A(2,-1),B(2,m)的直線x=2垂直于x軸,故其傾斜角為90. 2. (必修2P80練習(xí)1改編)若過點(diǎn)M(-2,m),N(m,4)的直線的斜率等于1,則m的值為 ?。? 答案:1 解析:由1=,得m+2=4-m,解得m=1. 3. (原創(chuàng))若直線l的斜率k的變化范圍是[-1,],則它的傾斜角的變化范圍是 ?。? 答案:∪ 解析:由-1≤k≤,即-1≤tan α≤, ∴ α∈∪. 4. (必修2P80練習(xí)6改編)已知兩點(diǎn)A(4,0),B(0,3),點(diǎn)C(8,a)在直線AB上,則a= ?。? 答案:-3 解析:由kAB=kBC得=,解得a=-3. 5. (必修2P80練習(xí)4改編)若直線l沿x軸的負(fù)方向平移2個(gè)單位,再沿y軸的正方向平移3個(gè)單位后,又回到原來的位置,則直線l的斜率為 ?。? 答案:- 解析:設(shè)直線上任一點(diǎn)為(x,y),平移后的點(diǎn)為(x-2,y+3),利用斜率公式得直線l的斜率為-. 1. 直線傾斜角的定義 在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于一條與x軸相交的直線,如果把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為α,那么α就叫做直線的傾斜角,并規(guī)定:與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0;直線的傾斜角α的取值范圍是[0,π)W. 2. 直線斜率的定義 傾斜角不是90的直線,它的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.直線的斜率常用k表示,即k=tan α.由正切函數(shù)的單調(diào)性可知,傾斜角不同的直線其斜率也不同. 3. 過兩點(diǎn)的斜率公式 過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線,當(dāng)x1≠x2時(shí),斜率公式為k=tan α=,該公式與兩點(diǎn)的順序無關(guān);當(dāng)x1=x2時(shí),直線的斜率不存在,此時(shí)直線的傾斜角為90W.[備課札記] , 1 直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系) , 1) 如果三條直線l1,l2,l3的傾斜角分別為α1,α2,α3,其中l(wèi)1:x-y=0,l2:x+2y=0,l3:x+3y=0,則α1,α2,α3從小到大的排列順序?yàn)椤 。? 答案:α1<α2<α3 解析:由tan α1=k1=1>0,所以α1∈.tan α2=k2=-<0,所以α2∈,α2>α1.tan α3=k3=-<0, 所以α3∈,α3>α1,而-<-,正切函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以α3>α2. 綜上,α1<α2<α3. 變式訓(xùn)練 已知經(jīng)過兩點(diǎn)A(4,2y+1),B(2,-3)的直線的傾斜角為,則y的值為 W. 答案:-3 解析:由==y(tǒng)+2=tan ,得y+2=-1,所以y=-3. , 2 求直線的傾斜角和斜率) , 2) 已知兩點(diǎn)A(-1,-5),B(3,-2),直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半,求直線l的斜率. 解:設(shè)直線l的傾斜角為α,則直線AB的傾斜角為2α, 由題意可知tan 2α=,∴ =. 整理得3tan2α+8tan α-3=0, 解得tan α=或tan α=-3. ∵ tan 2α=>0, ∴ 0<2α<90,∴ 0<α<45,∴ tan α>0, 故直線l的斜率為. 變式訓(xùn)練 如圖,已知直線l1的傾斜角α1=30,直線l1⊥l2,求直線l1,l2的斜率. 解:直線l1的斜率k1=tan α1=tan 30=. ∵ 直線l2的傾斜角α2=90+30=120, ∴ 直線l2的斜率k2=tan 120=tan(180-60)=-tan 60=-. , 3 求直線的傾斜角和斜率的取值范圍) , 3) 已知兩點(diǎn)A(-3,4),B(3,2),過點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn). (1) 求直線l的斜率k的取值范圍; (2) 求直線l的傾斜角α的取值范圍. 解:如圖, 由題意可知,kPA==-1,kPB==1. (1) 要使直線l與線段AB有公共點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍是(-∞,-1]∪[1,+∞). (2) 由題意可知,直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間. 又PB的傾斜角是45,PA的傾斜角是135, 所以α的取值范圍是[45,135]. 變式訓(xùn)練 若直線mx+y+1=0與連結(jié)點(diǎn)A (-3,2),B (2,3)的線段相交,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解:直線的斜率為k=-m,且直線經(jīng)過定點(diǎn)P(0,-1),因?yàn)橹本€PA,PB的斜率分別為-1,2,所以斜率k的取值范圍是(-∞,-1]∪[2,+∞),即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-2]∪[1,+∞). 1. 已知A(-1,2),B(0,a),C(a,0)三點(diǎn)共線,則此三點(diǎn)所在直線的傾斜角α的大小是 ?。? 答案:120 解析:若a=0,則點(diǎn)B,C重合,不合題意.由A,B,C三點(diǎn)共線得kAB=kBC,即=,解得a=1,所以B(0,).此三點(diǎn)所在直線的斜率kAB==-,即tan α=-.又0≤α<180,所以α=120. 2. 直線xcos α+y+2=0的傾斜角的取值范圍是 . 答案:∪ 解析:由直線的方程可知其斜率k=-∈.設(shè)直線的傾斜角為θ,則tan θ∈,且θ∈[0,π),所以θ∈∪. 3. 已知實(shí)數(shù)x,y滿足y=-2x+8,且2≤x≤3,求的最大值和最小值. 解:如圖, 由于點(diǎn)(x,y)滿足關(guān)系式2x+y=8,且2≤x≤3可知,點(diǎn)P(x,y)在線段AB上移動(dòng),并且A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可分別為A(2,4),B(3,2). 由于的幾何意義是直線OP的斜率,且kOA=2,kOB=, 所以的最大值為2,最小值為. 4. 已知直線kx+y-k=0與射線3x-4y+5=0(x≥-1)有交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 解:kx+y-k=0?k(x-1)+y=0,直線過定點(diǎn)(1,0)?由題意作圖可得: 由題意可看出: k∈∪.(或者由兩直線方程聯(lián)立,消去y得x=≥-1,即≥0?k≥或k<-) 1. 已知x軸上的點(diǎn)P與點(diǎn)Q(-,1)連線所成直線的傾斜角為30,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 W. 答案:(-2,0) 解析:設(shè)P(x,0),由題意得kPQ=tan 30=,即=,解得x=-2,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,0). 2. 如圖,直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則它們的大小關(guān)系為 ?。? 答案:k1<k3<k2 解析:直線l1的傾斜角α1是鈍角,故k1<0,直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角,且α2>α3,所以0<k3<k2,因此k1<k3<k2. 3. 已知函數(shù)f(x)=asin x-bcos x.若f=f,則直線ax-by+c=0的傾斜角為 ?。? 答案: 解析:由f=f知,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,所以f(0)=f,所以-b=a,所以直線ax-by+c=0的斜率為=-1.設(shè)直線ax-by+c=0的傾斜角為α,則tan α=-1,因?yàn)棣痢蔥0,π),所以α=,即直線ax-by+c=0的傾斜角為. 4. 若直線l:y=kx-與直線2x+3y-6=0的交點(diǎn)位于第一象限,則直線l的傾斜角的取值范圍是 ?。? 答案: 解析:如圖,直線l:y=kx-過定點(diǎn)P(0,-).又A(3,0),所以kPA==,所以直線l的斜率范圍為,由于直線的傾斜角的取值范圍為[0,π),所以滿足條件的直線l的傾斜角的范圍是. 1. 求斜率要熟記斜率公式:k=,該公式與兩點(diǎn)順序無關(guān),已知兩點(diǎn)坐標(biāo)(x1≠x2)時(shí),根據(jù)該公式可求出經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率.當(dāng)x1=x2,y1≠y2時(shí),直線的斜率不存在,此時(shí)直線的傾斜角為90. 2. 要正確理解傾斜角的定義,明確傾斜角的取值范圍,傾斜角與斜率的關(guān)系是k=tan α(α≠90),其中α為傾斜角,因此求傾斜角的取值范圍通常需從斜率的范圍入手,而求斜率的范圍則常需考慮傾斜角的取值范圍,但都需要利用正切函數(shù)的性質(zhì),借助圖象或單位圓數(shù)形結(jié)合,注意直線傾斜角的范圍是[0,π),而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí),要分與兩種情況討論.由正切函數(shù)圖象可以看出當(dāng)α∈時(shí),斜率k∈[0,+∞);當(dāng)α=時(shí),斜率不存在;當(dāng)α∈時(shí),斜率k∈(-∞,0). 第2課時(shí) 直線的方程(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)123~124頁(yè)、(理)128~129頁(yè)) 掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式及一般式)的特點(diǎn)與適用范圍;能根據(jù)問題的具體條件選擇恰當(dāng)?shù)男问角笾本€的方程;了解直線方程的斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系. ① 在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,確定直線位置的幾何要素.② 掌握確定直線位置的幾何要素,掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式及一般式),了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系. 1. (必修2P82練習(xí)1(1)~(4)改編)過點(diǎn)P(-2,0),且斜率為3的直線的方程是 W. 答案:y=3x+6 解析:設(shè)所求直線方程為y=3x+b,由題意可知3(-2)+b=0,∴ b=6,故y=3x+6. 2. (必修2P87練習(xí)4改編)如果ax+by+c=0表示的直線是y軸,則系數(shù)a,b,c滿足條件 ?。? 答案:a≠0且b=c=0 解析:ax+by+c=0表示的直線是y軸,即x=0,∴ b=c=0,a≠0. 3. (必修2P87練習(xí)1改編)直線-=1在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為 ?。? 答案:-1 解析:令x=0,得y=-4;令y=0,得x=3. 故直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為-4+3=-1. 4. (必修2P85練習(xí)4改編)下列說法中正確的是 ?。?(填序號(hào)) ① 經(jīng)過定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示; ② 經(jīng)過定點(diǎn)A(0,b)的直線都可以用方程y=kx+b表示; ③ 不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程+=1表示; ④ 經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示. 答案:④ 解析:對(duì)于①②,斜率有可能不存在,對(duì)于③,截距也有可能為0. 5. (必修2P85練習(xí)2(2)(3)改編)若一直線經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),且在y軸上的截距與直線2x+y+1=0在y軸上的截距相等,則該直線的方程是 W. 答案:3x-y-1=0 解析:直線2x+y+1=0在y軸上的截距為-1,由題意,所求直線過點(diǎn)(0,-1),又所求直線過點(diǎn)P(1,2),故由兩點(diǎn)式得直線方程為=,即3x-y-1=0. 1. 直線方程的五種形式 名稱 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 y-y1=k(x-x1) 不含直線x=x1 斜截式 y=kx+b 不含垂直于x軸的直線 兩點(diǎn)式 = 不含直線x=x1(x1=x2)和直線y=y(tǒng)1(y1=y(tǒng)2) 截距式 +=1 不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線 一般式 Ax+By+C=0(A,B不全為0) 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用 2. 過P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線方程 (1) 當(dāng)x1=x2,且y1≠y2時(shí),直線垂直于x軸,方程為x=x1W. (2) 當(dāng)x1≠x2,且y1=y(tǒng)2時(shí),直線垂直于y軸,方程為y=y(tǒng)1W. (3) 當(dāng)x1=x2=0,且y1≠y2時(shí),直線即為y軸,方程為x=0W. (4) 當(dāng)x1≠x2,且y1=y(tǒng)2=0時(shí),直線即為x軸,方程為y=0W. (5) 直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系如下表: α 0 (0,90) 90 (90,180) k 0 (0,+∞) 不存在 (-∞,0) 3. 線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式 若點(diǎn)P1,P2的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),且線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則 此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式. , 1 求直線方程) , 1) 已知直線l過點(diǎn)P(5,2),分別求滿足下列條件的直線方程. (1) 直線l在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍; (2) 直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為. 解:(1) 當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí),直線l的斜率為,∴ 直線方程為y=x,即2x-5y=0; 當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線方程為+=1,將x=5,y=2代入得a=,∴ 直線方程為x+2y-9=0. 綜上,直線l的方程為2x-5y=0或x+2y-9=0. (2) 顯然直線與坐標(biāo)軸不垂直. ∵ 直線l經(jīng)過點(diǎn)P(5,2),且能與坐標(biāo)軸圍成三角形,∴ 可設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-5)(k≠0),則直線在x軸上的截距為5-,在y軸上的截距為2-5k, 由題意,得|5-||2-5k|=,即(5k-2)2=5|k|. 當(dāng)k>0時(shí),原方程可化為(5k-2)2=5k,解得k=或k=; 當(dāng)k<0時(shí),原方程可化為(5k-2)2=-5k,此方程無實(shí)數(shù)解; 故直線l的方程為y-2=(x-5)或y-2=(x-5),即x-5y+5=0或4x-5y-10=0. 變式訓(xùn)練 求過點(diǎn)(-3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12的直線方程. 解:由題設(shè)知截距不為0,設(shè)直線方程為+=1,又直線過點(diǎn)(-3,4),從而+=1,解得a=-4或a=9.故所求直線方程為4x-y+16=0或x+3y-9=0. , 2 含參直線方程問題) , 2) 已知直線l:kx-y+1+2k=0 (k∈R). (1) 求證:直線l過定點(diǎn); (2) 若直線不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍; (3) 若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸正半軸于點(diǎn)B,△AOB的面積為S,求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程. (1) 證明:直線l的方程是k(x+2)+(1-y)=0, 令解得 ∴ 無論k取何值,直線l總經(jīng)過定點(diǎn)(-2,1). (2) 解:由方程知,當(dāng)k≠0時(shí)直線在x軸上的截距為-,在y軸上的截距為1+2k,要使直線不經(jīng)過第四象限,則必須有解得k>0;當(dāng)k=0時(shí),直線為y=1,符合題意,故k≥0. (3) 解:由l的方程,得A,B(0,1+2k). 依題意得解得k>0. ∵ S=OAOB=|1+2k|= =≥(22+4)=4, “=”成立的條件是k>0且4k=,即k=, ∴ Smin=4,此時(shí)l:x-2y+4=0. 變式訓(xùn)練 已知直線l的方程為(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y+6-2m=0. (1) 求實(shí)數(shù)m的取值范圍; (2) 若直線l的斜率不存在,求實(shí)數(shù)m的值; (3) 若直線l在x軸上的截距為-3,求實(shí)數(shù)m的值; (4) 若直線l的傾斜角是45,求實(shí)數(shù)m的值. 解:(1) 當(dāng)x,y的系數(shù)不同時(shí)為零時(shí),方程表示一條直線, 令m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3; 令2m2+m-1=0解得m=-1或m=. 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-1)∪(-1,+∞). (2) 由(1)易知,當(dāng)m=時(shí),方程表示的直線的斜率不存在. (3) 依題意,有=-3,所以3m2-4m-15=0, 所以m=3或m=-,由(1)知所求m=-. (4) 因?yàn)橹本€l的傾斜角是45,所以斜率為1. 由-=1,解得m=或m=-1(舍去). 所以當(dāng)直線l的傾斜角為45時(shí),m=. , 3 直線方程的綜合應(yīng)用) , 3) 為了綠化城市,擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)矩形草坪(如圖),另外△EFA內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用,經(jīng)測(cè)量AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大? 解:如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則E(30,0),F(xiàn)(0,20), ∴ 線段EF的方程為+=1(0≤x≤30). 在線段EF上取點(diǎn)P(m,n), 作PQ⊥BC于點(diǎn)Q,PR⊥CD于點(diǎn)R, 設(shè)矩形PQCR的面積為S, 則S=PQPR=(100-m)(80-n). 又+=1(0≤m≤30),∴ n=20. ∴ S=(100-m) =-(m-5)2+(0≤m≤30). ∴ 當(dāng)m=5時(shí),S有最大值, ∴ 當(dāng)矩形草坪的兩邊在BC,CD上,一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上,且這個(gè)頂點(diǎn)距AD邊5 m時(shí),草坪面積最大. 如圖,互相垂直的兩條道路l1,l2相交于點(diǎn)O,點(diǎn)P與l1,l2的距離分別為2千米、3千米,過點(diǎn)P建一條直線道路AB,與l1,l2分別交于A,B兩點(diǎn). (1) 當(dāng)∠BAO=45時(shí),試求OA的長(zhǎng); (2) 若使△AOB的面積最小,試求OA,OB的長(zhǎng). 解:以l1為x軸,l2為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則O(0,0),P(3,2). (1) 由∠BAO=45知,OA=OB,可設(shè)A(a,0),B(0,a)(a>0), 直線l的方程為+=1.∵ 直線l過點(diǎn)P(3,2), ∴ +=1?a=5,即OA=5千米. (2) 設(shè)A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0), 則直線l的方程為+=1. ∵ 直線l過點(diǎn)P(3,2),∴ +=1,b=(a>3).從而 S△ABO=ab=a=,令a-3=t,t>0,則a2=(t+3)2=t2+6t+9, 故有S△ABO==t++6(t>0). 設(shè)f(t)=t++6,可證f(t)在(0,3)上單調(diào)遞減,在(3,+∞)上單調(diào)遞增, ∴ 當(dāng)t=3時(shí),f(t)min=f(3)=12, 此時(shí)a=6,b=4,直線l的方程為+=1, 即OA=6千米,OB=4千米. 1. 若直線(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1 在x軸上的截距為1,則實(shí)數(shù)m的值是 W. 答案:2或- 解析:令y=0,則(2m2+m-3)x=4m-1, ∴ x==1,∴ m=2或-. 2. 若方程(a2-a-2)x+(a2+a-6)y+a+1=0表示垂直于y軸的直線,則a為 ?。? 答案:-1 解析:因?yàn)榉匠瘫硎敬怪庇趛軸的直線,所以a2-a-2=0且a2+a-6≠0,解得a=-1. 3. 已知直線l過點(diǎn)M(1,1),且與x軸,y軸的正半軸分別相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)OA+OB取得最小值時(shí),直線l的方程是 ?。? 答案:x+y-2=0 解析:設(shè)A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),直線l的方程為+=1,已知直線l過點(diǎn)M(1,1),則OA+OB=a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào),此時(shí)直線l的方程為x+y-2=0. 4. 已知直線l過點(diǎn)(0,5),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2,則直線l的方程為 W. 答案:5x-3y+15=0 解析:∵ 直線過點(diǎn)(0,5),∴ 直線在y軸上的截距為5. ∵ 在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2, ∴ 直線在x軸上的截距為-3. ∴ 直線l的方程為+=1,即5x-3y+15=0. 5. 已知在△ABC中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0). 求(1) △ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的一般式方程和截距式方程; (2) BC邊的中線所在直線的一般式方程和截距式方程. 解:(1) 平行于BC邊的中位線就是AB,AC中點(diǎn)的連線.因?yàn)榫€段AB,AC中點(diǎn)坐標(biāo)為,,所以這條直線的方程為=,整理得6x-8y-13=0, 化為截距式方程為-=1. (2) 因?yàn)锽C邊上的中點(diǎn)為(2,3),所以BC邊上的中線所在直線的方程為=,即7x-y-11=0,化為截距式方程為-=1. 1. 若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一條直線,則實(shí)數(shù)m滿足條件 W. 答案:m≠1 解析:2m2+m-3,m2-m不能同時(shí)為0. 2. 若直線(2t-3)x+2y+t=0不經(jīng)過第二象限,則t的取值范圍是 ?。? 答案: 解析:直線方程可化為y=x-,由題意得解得0≤t≤. 3. 不論m取何值,直線(m-1)x-y+2m+1=0恒過定點(diǎn) . 答案:(-2,3) 解析:把直線方程(m-1)x-y+2m+1=0, 整理得(x+2)m-(x+y-1)=0, 則解得 4. 已知直線x+2y=2與x軸、y軸分別相交于A,B兩點(diǎn).若動(dòng)點(diǎn)P(a,b)在線段AB上,則ab的最大值為 ?。? 答案: 解析:由題意知A(2,0),B(0,1),所以線段AB的方程可表示為+y=1,x∈[0,2].又動(dòng)點(diǎn)P(a,b)在線段AB上,所以+b=1,a∈[0,2].又+b≥2,所以1≥2,解得0≤ab≤,當(dāng)且僅當(dāng)=b=,即P時(shí),ab取得最大值. 5. 已知兩直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交點(diǎn)為P(2,3),求過兩點(diǎn)Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)(a1≠a2)的直線方程. 解:由題意,知P(2,3)在已知直線上, ∴ ∴ 2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,即=-, ∴ 所求直線方程為y-b1=-(x-a1), ∴ 2x+3y-(2a1+3b1)=0,即2x+3y+1=0. 1. 在求直線方程時(shí),應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式,并注意各種形式的適用條件.用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí),直線的斜率必須存在,而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線,截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線.故在解題時(shí),若采用截距式,應(yīng)注意分類討論,判斷截距是否為零;若采用點(diǎn)斜式,應(yīng)先考慮斜率不存在的情況;而選用兩點(diǎn)式時(shí)不要忽視與坐標(biāo)軸垂直的情況. 2. 解決直線方程的綜合問題時(shí),除靈活選擇方程的形式外,還要注意題目中的隱含條件,若與最值或范圍相關(guān)的問題可考慮構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求最值.[備課札記] 第3課時(shí) 直線與直線的位置關(guān)系(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)125~126頁(yè)、(理)130~131頁(yè)) 能熟練掌握兩條直線平行和垂直的條件并靈活運(yùn)用,把研究?jī)蓷l直線的平行或垂直問題,轉(zhuǎn)化為研究?jī)蓷l直線斜率的關(guān)系問題;能判斷兩條直線是否相交并求出交點(diǎn)坐標(biāo),體會(huì)兩條直線相交與二元一次方程組的關(guān)系;理解兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo),并能應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式證明幾何問題;點(diǎn)到直線距離公式的理解與應(yīng)用. 1 能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直. ② 能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo). ③ 掌握兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)到直線的距離公式,會(huì)求兩條平行直線間的距離. 1. (原創(chuàng))“a=3”是“直線ax+3y=1與直線x+y=1平行”的 條件. 答案:充要 解析:若a=3,直線ax+3y=1與直線x+y=1顯然平行;若直線ax+3y=1與直線x+y=1平行,由= ≠ ,易得a=3. 2. (必修2P93練習(xí)6改編)過點(diǎn)P(-1,3)且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程為 ?。? 答案:2x+y-1=0 解析:設(shè)直線方程為2x+y+c=0,又直線過點(diǎn)P(-1,3),則-2+3+c=0,c=-1,即所求直線方程為2x+y-1=0. 3. (必修2P95練習(xí)3改編)若三條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一點(diǎn),則k= W. 答案:- 解析:由解得 ∴ 點(diǎn)(-1,-2)在x+ky=0上, 即-1-2k=0,∴ k=-. 4. (必修2P105練習(xí)1改編)已知點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線l:x-y+3=0的距離為1,則a= ?。? 答案:-1 解析:由題意知=1,∴ |a+1|=.又∵ a>0,∴ a=-1. 5. (必修2P106習(xí)題10改編)與直線7x+24y=5平行,并且距離等于3的直線方程是 W. 答案:7x+24y+70=0或7x+24y-80=0 解析:設(shè)直線方程為7x+24y+c=0,則d==3,∴ c=70或-80. 1. 兩條直線的位置關(guān)系 斜截式 一般式 方程 y=k1x+b1 y=k2x+b2 A1x+B1y+C1=0(A+B≠0) A2x+B2y+C2=0(A+B≠0) 相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0(當(dāng)A2B2≠0時(shí),≠) 垂直 k1=-或k1k2=-1 A1A2+B1B2=0(當(dāng)B1B2≠0時(shí),=-1) 平行 k1=k2且b1≠b2 或(當(dāng)A2B2C2≠0時(shí),記為=≠) 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)(當(dāng)A2B2C2≠0時(shí),記為==) 2. 兩條直線的交點(diǎn) 設(shè)兩條直線的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解.若方程組有惟一解,則兩條直線相交,此解就是交點(diǎn)坐標(biāo)W.若方程組無解,則兩條直線無公共點(diǎn),此時(shí)兩條直線平行;反之,亦成立.若方程組有無數(shù)組解,則兩條直線重合W. 3. 幾種距離 (1) 兩點(diǎn)間的距離: 平面上的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)間的距離公式: d(A,B)=AB=. (2) 點(diǎn)到直線的距離: 點(diǎn)P(x1,y1)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=. (3) 兩條平行線間的距離: 兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離d=. 4. 常見的三大直線系方程 (1) 與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C). (2) 與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R). (3) 過直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2. 5. 中心對(duì)稱 (1) 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱:若點(diǎn)M(x1,y1)與N(x,y)關(guān)于P(a,b)對(duì)稱,則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得進(jìn)而求解. (2) 直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問題的主要解法:在已知直線上取兩點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo),再由兩點(diǎn)式求出直線方程,或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn),再利用l1∥l2,由點(diǎn)斜式得到所求的直線方程. 6. 軸對(duì)稱 (1) 點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱 若兩點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0對(duì)稱,則線段P1P2的中點(diǎn)在對(duì)稱軸l上,且連結(jié)P1P2的直線垂直于對(duì)稱軸l, 由方程組 可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2,y2)(其中A≠0,x1≠x2). 特別地,若直線l:Ax+By+C=0滿足|A|=|B|,則P1(x1,y1)與P2(x2,y2)坐標(biāo)關(guān)系為 (2) 直線關(guān)于直線的對(duì)稱 此類問題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來解決,有兩種情況:一是已知直線與對(duì)稱軸相交;二是已知直線與對(duì)稱軸平行. [備課札記] , 1 兩直線的平行與垂直) , 1) 已知兩直線l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求滿足下列條件的a,b的值: (1) l1⊥l2,且直線l1過點(diǎn)(-3,-1); (2) l1∥l2,且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等. 解:(1) ∵ l1⊥l2,∴ a(a-1)-b=0. ∵ 直線l1過點(diǎn)(-3,-1), ∴ -3a+b+4=0.故a=2,b=2. (2) ∵ 直線l2的斜率存在,l1∥l2, ∴ 直線l1的斜率存在.∴ k1=k2,即=1-a. ∵ 坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等, ∴ l1,l2在y軸上的截距互為相反數(shù),即=b. 故a=2,b=-2或a=,b=2. 變式訓(xùn)練 已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,a),B(a-1,2),直線l2經(jīng)過點(diǎn)C(1,2),D(-2,a+2),分別在下列條件下求a的值: (1) l1∥l2; (2) l1⊥l2. 解:設(shè)直線l2的斜率為k2,則k2==-. (1) 若l1∥l2,則直線l1的斜率k1=-. 又k1=,則=-,解得a=1或a=6. 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)a=1或a=6時(shí),l1∥l2. (2) 若l1⊥l2. ① 當(dāng)k2=0時(shí),此時(shí)a=0,k1=-,不符合題意. ② 當(dāng)k2≠0時(shí),直線l2的斜率存在,此時(shí)k1=. 由k2k1=-1,得-=-1,解得a=3或a=-4. 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)a=3或a=-4時(shí),l1⊥l2. , 2 兩直線的交點(diǎn)) , 2) 已知△ABC的頂點(diǎn)B(3,4),AB邊上的高CE所在直線方程為2x+3y-16=0,BC邊上的中線AD所在直線方程為2x-3y+1=0,求AC的長(zhǎng). 解:∵ kCE= -,AB⊥CE, ∴ kAB=, ∴ 直線AB的方程為3x-2y-1=0. 由解得A(1,1), 設(shè)C(a,b), 則D, ∵ C點(diǎn)在CE上,BC的中點(diǎn)D在AD上, ∴ 得C(5,2), 由兩點(diǎn)間距離公式得AC的長(zhǎng)為. 變式訓(xùn)練 已知△ABC的頂點(diǎn)A(5,1),AB邊上的中線CM所在直線方程為2x-y-5=0,AC邊上的高BH所在直線方程為x-2y-5=0,求直線BC的方程. 解:依題意知:kAC=-2,A(5,1),∴ lAC:2x+y-11=0. 聯(lián)立lAC,lCM得∴ C(4,3). 設(shè)B(x0,y0),則AB的中點(diǎn)M為, 代入2x-y-5=0,得2x0-y0-1=0, ∴ ∴ B(-1,-3), ∴ kBC=, ∴ 直線BC的方程為y-3=(x-4), 即6x-5y-9=0. , 3 點(diǎn)到直線及兩平行直線之間的距離) , 3) 已知點(diǎn)P(2,-1). (1) 求過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程; (2) 求過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程,最大距離是多少? (3) 是否存在過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為6的直線?若存在,求出方程;若不存在,請(qǐng)說明理由. 解:(1) 過P點(diǎn)的直線l與原點(diǎn)距離為2,而P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1), 可見,過P(2,-1)且垂直于x軸的直線滿足條件. 此時(shí)l的斜率不存在,其方程為x=2. 若斜率存在,設(shè)l的方程為y+1=k(x-2), 即kx-y-2k-1=0. 由已知,得=2,解得k=. 此時(shí)l的方程為3x-4y-10=0. 綜上,直線l的方程為x=2或3x-4y-10=0. (2) 過P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線是過P點(diǎn)且與OP垂直的直線, 由l⊥OP,得klkOP=-1,所以kl=-=2. 由直線方程的點(diǎn)斜式得y+1=2(x-2), 即2x-y-5=0. 即直線2x-y-5=0是過P點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最大的直線,最大距離為=. (3) 不存在.理由:由(2)可知,過P點(diǎn)不存在到原點(diǎn)距離大于的直線,因此不存在過P點(diǎn)且到原點(diǎn)距離為6的直線. 已知直線l經(jīng)過直線l1:2x+y-5=0與l2:x-2y=0的交點(diǎn). (1) 若點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3,求直線l的方程; (2) 求點(diǎn)A(5,0)到直線l的距離的最大值. 解:(1) 由直線l經(jīng)過直線l1與l2交點(diǎn)知,其直線系方程為(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0. ∵ 點(diǎn)A(5,0)到直線l的距離為3, ∴ =3, 即2λ2-5λ+2=0,∴ λ=2或λ=, ∴ 直線l的方程為x=2或4x-3y-5=0. (2) 設(shè)直線l1與l2的交為P,由解得P(2,1),如圖,過點(diǎn)P作任一直線l,設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離, 則d≤PA(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立). ∴ dmax=PA==. , 4 對(duì)稱問題) , 4) 已知直線l:2x-3y+1=0,點(diǎn)A(-1,-2).求: (1) 點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo); (2) 直線m:3x-2y-6=0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程; (3) 直線l關(guān)于點(diǎn)A(-1,-2)對(duì)稱的直線l′的方程. 解:(1) 設(shè)A′(x,y),由已知得 解得 ∴ A′. (2) 在直線m上任取一點(diǎn),如M(2,0),則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)必在m′上.設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為M′(a,b), 則 解得M′. 設(shè)m與l的交點(diǎn)為N,則由解得N(4,3). ∵ m′經(jīng)過點(diǎn)N(4,3), ∴ 由兩點(diǎn)式得直線m′的方程為9x-46y+102=0. (3) 設(shè)P(x,y)為l′上任意一點(diǎn),則P(x,y)關(guān)于點(diǎn)A(-1,-2)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(-2-x,-4-y). ∵ P′在直線l上,∴ 2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0. 光線通過點(diǎn)A(2,3),在直線l:x+y+1=0上反射,反射光線經(jīng)過點(diǎn)B(1,1),試求入射光線和反射光線所在直線的方程. 解:設(shè)點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A′(x0,y0), 則解得A′(-4,-3). 由于反射光線經(jīng)過點(diǎn)A′(-4,-3)和B(1,1), 所以反射光線所在直線的方程為=,即4x-5y+1=0. 解方程組得反射點(diǎn)P. 所以入射光線所在直線的方程為=,即5x-4y+2=0. 1. (2016上海卷文)已知平行直線l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,則l1,l2的距離為 ?。? 答案: 解析:利用兩平行線間距離公式得d==. 2. 將一張坐標(biāo)紙折疊一次,使點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合,且點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m,n)重合,則m+n的值是 ?。? 答案: 解析:點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)關(guān)于y-1=2(x-2)對(duì)稱,則點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m,n)也關(guān)于y-1=2(x-2)對(duì)稱,則 解得∴ m+n=. 3. 已知l1,l2是分別經(jīng)過A(1,1),B(0,-1)兩點(diǎn)的兩條平行直線,當(dāng)l1,l2間的距離最大時(shí),直線l1的方程是 . 答案:x+2y-3=0 解析:當(dāng)直線AB與l1,l2垂直時(shí),l1,l2間的距離最大.因?yàn)锳(1,1),B(0,-1),所以kAB==2,所以兩平行直線的斜率為k=-,所以直線l1的方程是y-1=-(x-1),即x+2y-3=0. 4. 在平面直角坐標(biāo)系中,到點(diǎn)A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ?。? 答案:(2,4) 解析:設(shè)P為平面上一點(diǎn),則由三角形兩邊之和大于第三邊知PA+PC≥AC,PB+PD≥BD,所以四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)到四點(diǎn)距離之和最小,直線AC的方程為y-2=2(x-1),直線BD的方程為y-5=-(x-1),由得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4). 5. △ABC的兩條高所在直線的方程分別為2x-3y+1=0和x+y=0,頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),求BC邊所在直線的方程. 解:可以判斷A不在所給的兩條高所在的直線上,則可設(shè)AB,AC邊上的高所在直線的方程分別為2x-3y+1=0,x+y=0, 則可求得AB,AC邊所在直線的方程分別為 y-2=-(x-1),y-2=x-1, 即3x+2y-7=0,x-y+1=0. 由得B(7,-7), 由得C(-2,-1), 所以BC邊所在直線的方程為2x+3y+7=0. 1. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:(2k-1)x+ky+1=0,則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí),原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為 W. 答案: 解析:直線l過定點(diǎn)P(1,-2),原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值即為OP==. 2. 若過點(diǎn)P(1,2)作一直線l,使點(diǎn)M(2,3)和點(diǎn)N(4,-1)到直線l的距離相等,則直線l的方程為 ?。? 答案:2x+y-4=0或x+2y-5=0 解析:當(dāng)直線l經(jīng)過MN的中點(diǎn)時(shí),其方程為x+2y-5=0;當(dāng)過M,N兩點(diǎn)的直線平行于直線l時(shí),直線l的方程為2x+y-4=0. 3. 已知直線y=kx+2k+1與直線y=-x+2的交點(diǎn)位于第一象限,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ?。? 答案: 解析:由方程組解得 (若2k+1=0,即k=-,則兩直線平行) ∴ 交點(diǎn)坐標(biāo)為. ∵ 交點(diǎn)位于第一象限, ∴ 解得-<k<. ∴ 實(shí)數(shù)k的取值范圍是. 4. 已知直線l1:2x-y-2=0和直線l2:x+2y-1=0關(guān)于直線l對(duì)稱,則直線l的斜率為 W. 答案:-3或 解析:(解法1)在直線l上任取一點(diǎn)P(x,y),點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離相等.=,整理得,直線l的方程為3x+y-3=0或x-3y-1=0,所以直線l的斜率為-3或. (解法2)設(shè)l1的傾斜角為α.因?yàn)閘1⊥l2,所以l的傾斜角為α, 所以直線l的斜率為tan. 因?yàn)閠an α=2,所以tan==-3,tan==, 所以直線l的斜率為-3或. 1. 在兩條直線的位置關(guān)系中,討論最多的還是平行與垂直,它們是兩條直線的特殊位置關(guān)系.解題時(shí)認(rèn)真畫出圖形,有助于快速準(zhǔn)確地解決問題.判斷兩直線平行與垂直時(shí),不要忘記考慮斜率不存在的情形,利用一般式則可避免分類討論. 2. 運(yùn)用公式d=求兩平行直線間的距離時(shí),一定要把x,y項(xiàng)系數(shù)化為相等的系數(shù). 3. 對(duì)稱思想是高考熱點(diǎn),主要分為中心對(duì)稱和軸對(duì)稱兩種,關(guān)鍵要把握對(duì)稱問題的本質(zhì),必要情況下可與函數(shù)的對(duì)稱軸建立聯(lián)系.[備課札記] 第4課時(shí) 圓 的 方 程(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)127~128頁(yè)、(理)132~133頁(yè)) 了解確定圓的幾何要素(圓心、半徑、不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)等);掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程. 能根據(jù)問題的條件選擇恰當(dāng)?shù)男问角髨A的方程;理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之間的關(guān)系并會(huì)進(jìn)行互化. 1. (必修2P111練習(xí)4改編)圓x2+y2-4x+6y=0的圓心坐標(biāo)是 ?。? 答案:(2,-3) 解析:由(x-2)2+(y+3)2=13知,圓心坐標(biāo)為(2,-3). 2. (必修2P111習(xí)題7改編)已知圓C經(jīng)過A(5,1),B(1,3)兩點(diǎn),圓心在x軸上,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ?。? 答案:(x-2)2+y2=10 解析:設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0),易知=,解得a=2,∴ 圓心為(2,0),半徑為,∴ 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=10. 3. (必修2P111練習(xí)6改編)經(jīng)過三點(diǎn)A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圓的一般方程為 ?。? 答案:x2+y2-7x-3y+2=0 解析:設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.將A,B,C三點(diǎn)代入,整理得方程組 解得 ∴ 所求圓的一般方程為x2+y2-7x-3y+2=0. 4. 已知點(diǎn)P(1,1)在圓x2+y2-ax+2ay-4=0的內(nèi)部,則a的取值范圍是 W. 答案:(-∞,2) 解析:由圓的一般方程知a∈R,因?yàn)辄c(diǎn)P在圓內(nèi),所以1+1-a+2a-4<0,解得a<2. 5. (原創(chuàng))已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+(y+3)2=4,則(x-3)2+(y-1)2的最大值為 ?。? 答案:49 解析:(x-3)2+(y-1)2表示圓x2+(y+3)2=4上一動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)(3,1)的距離d的平方,因?yàn)閳A心(0,-3)到點(diǎn)(3,1)的距離為5,所以d的最大值為5+2=7,所以d2的最大值為49. 1. 圓的定義 在平面內(nèi),到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓.確定一個(gè)圓最基本的要素是圓心和半徑W. 2. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) 以(a,b)為圓心,r (r>0)為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2W. (2) 特殊的,x2+y2=r2(r>0)的圓心為(0,0),半徑為rW. 3. 圓的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0變形為 +=. (1) 當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí),該方程表示以為圓心,為半徑的圓; (2) 當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),該方程表示一個(gè)點(diǎn); (3) 當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí),該方程不表示任何圖形. 4. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系: (1) 若M(x0,y0)在圓外,則(x0-a)2+(y0-b)2>r2W. (2) 若M(x0,y0)在圓上,則(x0-a)2+(y0-b)2=r2W. (3) 若M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0-a)2+(y0-b)2時(shí),f′(q)>0,即f(q)在上單調(diào)遞增, ∴ f(q)在q=時(shí)取得最小值,故當(dāng)公路PQ長(zhǎng)最短時(shí),OQ的長(zhǎng)為百米. 答:當(dāng)公路PQ長(zhǎng)最短時(shí), OQ的長(zhǎng)為百米. 變式訓(xùn)練 有一種大型商品,A,B兩地都有出售,且價(jià)格相同,某地居民從兩地之一購(gòu)得商品后,運(yùn)回的費(fèi)用是:每單位距離A地的運(yùn)費(fèi)是B地運(yùn)費(fèi)的3倍.已知A,B兩地相距10 km,顧客選A或B地購(gòu)買這件商品的標(biāo)準(zhǔn):包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低.求A,B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀,并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)貨地點(diǎn). 解:如圖,以A,B所確定的直線為x軸,線段AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-5,0),B(5,0). 設(shè)某地P的坐標(biāo)為(x,y),且P地居民選擇A地購(gòu)買商品便宜, 并設(shè)A地運(yùn)費(fèi)為3a元/km,B地運(yùn)費(fèi)為a元/km, 價(jià)格+QA地運(yùn)費(fèi)≤價(jià)格+QB地運(yùn)費(fèi), ∴ 3a≤a. ∵ a>0,∴ 3≤, 兩邊平方得9(x+5)2+9y2≤(x-5)2+y2
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- 2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 第九章 平面解析幾何學(xué)案 2019 高考 數(shù)學(xué) 一輪 復(fù)習(xí) 第一 部分 基礎(chǔ) 考點(diǎn) 過關(guān) 第九 平面 解析 幾何學(xué)
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