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課時跟蹤訓練(三十五) 一元二次不等式及其解法
一、選擇題
1．(2017河北重點中學一模)設集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|log2x>0}，則M∩N等于( )
A．(－1,1) B．(1,3) C．(0,1) D．(－1,0)
[解析] 解x2－2x－3<0，得－1
0，得x>1.所以M＝{x|－11}，所以M∩N＝{x|1x2－2x＋5，設f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2,4]，當x＝2時f(x)min＝5，?x∈[2,4]使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f(x)min，∴m>5.故選B.
[答案] B
5．不等式(ax－2)(x－1)≥0(a<0)的解集為( )
A.
B.
C.∪[1，＋∞)
D．(－∞，1]∪
[解析] 因為a<0，所以<0，所以原不等式的解集為，故選A.
[答案] A
6．(2018河北邯鄲一中等校期中)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是，則以下結(jié)論中：①a>0；②b<0；③c>0；④a＋b＋c>0；⑤a－b＋c>0，正確的是( )
A．①②⑤ B．①③⑤
C．②③⑤ D．③④⑤
[解析] ax2－bx＋c>0的解集是，故a<0，且ax2－bx＋c＝0的兩根為－，2.由根與系數(shù)的關系得2－＝>0,2＝<0，故b<0，c>0.因此，②③正確，①錯誤．設f(x)＝ax2－bx＋c，根據(jù)f(－1)<0，f(1)>0，可知a＋b＋c<0，a－b＋c>0，故④錯誤，⑤正確．
[答案] C
二、填空題
7．(2017山東煙臺聯(lián)考)不等式x>的解集為________．
[解析] 當x>0時，原不等式等價于x2>1，解得x>1；當x<0時，原不等式等價于x2<1，解得－1的解集為(－1,0)∪(1，＋∞)．
[答案] (－1,0)∪(1，＋∞)
8．函數(shù)y＝的定義域為________．
[解析] 函數(shù)y＝的定義域應保證滿足0<4x2－3x≤1，解得－≤x<0或0；
(2)若不等式f(x)>b的解集為(－1,3)，求實數(shù)a，b的值．
[解] (1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，
∴原不等式可化為a2－6a－3<0，
解得3－2b的解集為(－1,3)等價于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的兩根為－1,3，
等價于解得
[能力提升]
11．(2017廣東惠州調(diào)研)關于x的不等式ax－b>0的解集是，則關于x的不等式>0的解集是( )
A．(1,5) B．(1，＋∞)
C．(－∞，5) D．(－∞，1)∪(5，＋∞)
[解析] 因為不等式ax－b>0的解集是，所以a>0，且a－2b＝0，所以不等式>0等價于>0，等價于(x－1)(x－5)<0，解得10在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是( )
A. B.
C．(1，＋∞) D.
[解析] 由Δ＝a2＋8>0知方程恒有兩個不等實根，又因為x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一負根，對應二次函數(shù)圖象的示意圖如圖．所以不等式在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是f(5)>0，解得a>－，故選A.
[答案] A
13．(2017重慶鳳鳴山中學月考)若不存在整數(shù)x滿足不等式(kx－k2－4)(x－4)<0，則實數(shù)k的取值范圍是________．
[解析] 容易判斷k＝0或k<0時，均不符合題意，所以k>0.所以原不等式即為k(x－4)<0，等價于(x－4)<0依題意應有3≤≤5且k>0，所以1≤k≤4.
[答案] [1,4]
14．若不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立，則x的取值范圍是________．
[解析] 將原不等式整理為形式上是關于a的不等式
(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.
因為f(a)>0在|a|≤1時恒成立，所以
①若x＝3，則f(a)＝0，不符合題意，應舍去．
②若x≠3，則由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得
即解得x<2或x>4.
[答案] (－∞，2)∪(4，＋∞)
15．(2017黑龍江虎林一中期中)已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若對于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范圍．
[解] (1)f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，即2x2＋bx＋c<0的解集是(0,5)，∴0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的兩個根，由根與系數(shù)的關系知，－＝5，＝0，∴b＝－10，c＝0，f(x)＝2x2－10x.
(2)f(x)＋t≤2恒成立等價于2x2－10x＋t－2≤0恒成立，∴2x2－10x＋t－2的最大值小于或等于0.設g(x)＝2x2－10x＋t－2，則由二次函數(shù)的圖象可知g(x)＝2x2－10x＋t－2在區(qū)間[－1,1]上為減函數(shù)，∴g(x)max＝g(－1)＝10＋t，∴10＋t≤0，即t≤－10.
16．(1)對任意m∈[－1,1]函數(shù)f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范圍．
(2)求不等式ax2－3x＋2>5－ax(a∈R)的解集．
[解] (1)由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由題意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
∴
解得x<1或x>3.
故當x<1或x>3時，對任意的m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)的值恒大于零．
(2)不等式為ax2＋(a－3)x－3>0，即(ax－3)(x＋1)>0，
當a＝0時，原不等式的解集為{x|x<－1}．
當a≠0時，方程(ax－3)(x＋1)＝0的根為x1＝，x2＝－1，
①當a>0時，>－1，∴不等式的解集為；
②當－3－1
∴不等式的解集為.
綜上，當a＝0時，原不等式的解集為{x|x<－1}；
當a>0時，不等式解集為；
當－3
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2019屆高考數(shù)學一輪復習
第七章
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一元二次不等式及其解法
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