2020高考數(shù)學刷題首選卷 第三章 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 考點測試19 三角函數(shù)的圖象與性質 文（含解析）.docx

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考點測試19　三角函數(shù)的圖象與性質 高考概覽 考綱研讀 1．能畫出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性 2．理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(如單調性，最大值和最小值，圖象與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內的單調性 一、基礎小題 1．函數(shù)y＝3cosx－的最小正周期是(　　) A． B． C．2π D．5π 答案　D 解析　由T＝＝5π，知該函數(shù)的最小正周期為5π．故選D． 2．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，則f(x)的圖象(　　) A．與g(x)的圖象相同 B．與g(x)的圖象關于y軸對稱 C．向左平移個單位，得到g(x)的圖象 D．向右平移個單位，得到g(x)的圖象 答案　D 解析　因為g(x)＝cos＝cos＝sinx，所以f(x)向右平移個單位，可得到g(x)的圖象，故選D． 3．函數(shù)y＝－2sinx－1，x∈，的值域是(　　) A．[－3,1] B．[－2,1] C．(－3,1] D．(－2,1] 答案　D 解析　由y＝sinx在，上，－1≤sinx<，所以函數(shù)y＝－2sinx－1，x∈，的值域是(－2,1]．故選D． 4．函數(shù)y＝cos2x－2sinx的最大值與最小值分別為(　　) A．3，－1 B．3，－2 C．2，－1 D．2，－2 答案　D 解析　y＝cos2x－2sinx＝1－sin2x－2sinx＝－sin2x－2sinx＋1，令t＝sinx，則t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以最大值為2，最小值為－2．故選D． 5．若函數(shù)f(x)＝sinx＋α－為偶函數(shù)，則cos2α的值為(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　C 解析　由題意α－＝＋kπ，k∈Z，所以2α＝＋2kπ，k∈Z，所以cos2α＝cos＝－cos＝－．故選C． 6．函數(shù)y＝2sin－2x的單調遞增區(qū)間為(　　) A．kπ＋，kπ＋(k∈Z) B．kπ－，kπ＋(k∈Z) C．kπ＋，kπ＋(k∈Z) D．kπ－，kπ＋(k∈Z) 答案　A 解析　∵y＝2sin－2x＝－2sin2x－，∴＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，即增區(qū)間為kπ＋，kπ＋(k∈Z)．故選A． 7．函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域為________． 答案?。?，1 解析　設t＝sinx－cosx，則t＝sinx－，t∈[－，]，t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，sinxcosx＝，∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1．當t＝1時，ymax＝1；當t＝－時，ymin＝－－．∴函數(shù)的值域為－－，1． 8．函數(shù)y＝lg (sin2x)＋的定義域為________． 答案　 解析　由得 ∴－3≤x<－或00且a≤，即a的最大值為．故選C． 13．(2017全國卷Ⅲ)設函數(shù)f(x)＝cos，則下列結論錯誤的是(　　) A．f(x)的一個周期為－2π B．y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱 C．f(x＋π)的一個零點為x＝ D．f(x)在單調遞減 答案　D 解析　f(x)的最小正周期為2π，易知A正確；f＝cos＋＝cos3π＝－1，為f(x)的最小值，故B正確；∵f(x＋π)＝cosx＋π＋＝－cosx＋， ∴f＋π＝－cos＋＝－cos＝0，故C正確；由于f＝cos＋＝cosπ＝－1，為f(x)的最小值，故f(x)在，π上不單調，故D錯誤． 14．(2018江蘇高考)定義在區(qū)間[0,3π]上的函數(shù)y＝sin2x的圖象與y＝cosx的圖象的交點個數(shù)是________． 答案　7 解析　在同一平面直角坐標系中作出y＝sin2x與y＝cosx在區(qū)間[0,3π]上的圖象(如圖)．由圖象可知，共有7個交點． 三、模擬小題 15．(2018江西六校聯(lián)考)下列函數(shù)中，最小正周期是π，且在區(qū)間，π上是增函數(shù)的是(　　) A．y＝sin2x B．y＝sinx C．y＝tan D．y＝cos2x 答案　D 解析　y＝sin2x在區(qū)間，π上的單調性是先減后增；y＝sinx的最小正周期是T＝＝2π；y＝tan的最小正周期是T＝＝2π；y＝cos2x滿足條件．故選D． 16．(2018安徽聯(lián)考)已知函數(shù)y＝2cosx的定義域為，π，值域為[a，b]，則b－a的值是(　　) A．2 B．3 C．＋2 D．2－ 答案　B 解析　因為函數(shù)y＝2cosx的定義域為，π，所以函數(shù)y＝2cosx的值域為[－2,1]，所以b－a＝1－(－2)＝3，故選B． 17．(2018福建六校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)對任意x都有f＋x＝f(－x)，則f＝(　　) A．2或0 B．0 C．－2或0 D．－2或2 答案　D 解析　由函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)對任意x都有f＋x＝f(－x)，可知函數(shù)圖象的一條對稱軸為直線x＝＝．根據(jù)三角函數(shù)的性質可知，當x＝時，函數(shù)取得最大值或最小值．∴f＝2或－2．故選D． 18．(2019河北衡水中學調研)已知函數(shù)f(x)＝2msinx－ncosx，直線x＝是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，則＝(　　) A． B． C．－ D． 答案　C 解析　若x＝是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，則x＝是函數(shù)f(x)的極值點．f′(x)＝2mcosx＋nsinx，故f′＝2mcos＋nsin＝m＋n＝0，所以＝－．故選C． 19．(2018衡陽二模)已知函數(shù)f(x)＝則下列結論錯誤的是(　　) A．f(x)不是周期函數(shù) B．f(x)在－，＋∞上是增函數(shù) C．f(x)的值域為[－1，＋∞) D．f(x)的圖象上存在不同的兩點關于原點對稱 答案　D 解析　畫出f(x)的圖象如下： 由圖可知，A，B，C正確；對于D，當0sinx，當x≥時，－1≤sinx≤1，而x>1，所以x>sinx，所以當x>0時，y＝sinx與y＝x無交點，故f(x)的圖象上不存在不同的兩點關于原點對稱，所以D錯誤．故選D． 20．(2018南昌一模)已知f(x)＝cos2x＋acos＋x在區(qū)間，上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．[－2，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(－∞，－4) D．(－∞，－4] 答案　D 解析　f(x)＝cos2x＋acos＋x＝1－2sin2x－asinx在，上是增函數(shù)，y＝sinx在，上單調遞增，且sinx∈，1．令t＝sinx，t∈，1，則y＝－2t2－at＋1在，1上單調遞增，則－≥1，因而a∈(－∞，－4]．故選D． 一、高考大題 1．(2018北京高考)已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋sinxcosx． (1)求f(x)的最小正周期； (2)若f(x)在區(qū)間－，m上的最大值為，求m的最小值． 解　(1)f(x)＝－cos2x＋sin2x ＝sin2x－＋． 所以f(x)的最小正周期為T＝＝π． (2)由(1)知f(x)＝sin2x－＋． 由題意知－≤x≤m． 所以－≤2x－≤2m－． 要使f(x)在－，m上的最大值為，即需sin2x－在－，m上的最大值為1． 所以2m－≥，即m≥． 所以m的最小值為． 2．(2017浙江高考)已知函數(shù)f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R)． (1)求f的值； (2)求f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間． 解　(1)由sin＝，cos＝－， f＝2－－2－2－，得f＝2． (2)由cos2x＝cos2x－sin2x與sin2x＝2sinxcosx得 f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2sin2x＋． 所以f(x)的最小正周期是π． 由正弦函數(shù)的性質得 ＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z． 所以，f(x)的單調遞增區(qū)間是 ＋kπ，＋kπ(k∈Z)． 3．(2016天津高考)已知函數(shù)f(x)＝4tanxsincos－． (1)求f(x)的定義域與最小正周期； (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調性． 解　(1)f(x)的定義域為． f(x)＝4tanxcosxcos－ ＝4sinxcos－ ＝4sinx－ ＝2sinxcosx＋2sin2x－ ＝sin2x＋(1－cos2x)－ ＝sin2x－cos2x＝2sin． 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π． (2)令z＝2x－，易知函數(shù)y＝2sinz的單調遞增區(qū)間是，k∈Z． 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z． 設A＝， B＝， 易知A∩B＝． 所以，當x∈時，f(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減． 二、模擬大題 4．(2018福建福州月考)已知函數(shù)f(x)＝，求f(x)的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域． 解　由cos2x≠0得2x≠kπ＋，k∈Z， 解得x≠＋，k∈Z， 所以f(x)的定義域為． 因為f(x)的定義域關于原點對稱，且 f(－x)＝ ＝＝f(x)． 所以f(x)是偶函數(shù)．當x≠＋，k∈Z時， f(x)＝＝ ＝＝3cos2x－1． 所以f(x)的值域為． 5．(2018合肥質檢)已知函數(shù)f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期為π． (1)求函數(shù)y＝f(x)圖象的對稱軸方程； (2)討論函數(shù)f(x)在0，上的單調性． 解　(1)∵f(x)＝sinωx－cosωx＝sinωx－，且T＝π，∴ω＝2．于是f(x)＝sin2x－． 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)， 故函數(shù)f(x)的對稱軸方程為x＝＋(k∈Z)． (2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為kπ－，kπ＋(k∈Z)．注意到x∈0，，令k＝0，得函數(shù)f(x)在0，上的單調增區(qū)間為0，；其單調減區(qū)間為，． 6．(2018武漢模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin2ωx＋2sinωxcosωx－1(ω>0)，且函數(shù)f(x)的最小正周期為π． (1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的最大值及g(x)取得最大值時x的取值集合． 解　(1)f(x)＝2sin2ωx＋2sinωxcosωx－1 ＝1－cos2ωx＋sin2ωx－1＝2sin2ωx－． 由函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π，得ω＝1． 所以f(x)＝2sin2x－． 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，其中k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，其中k∈Z， 即f(x)的單調遞增區(qū)間為kπ－，kπ＋，其中k∈Z． (2)g(x)＝fx＋＝2sin2x＋－ ＝2sin2x＋，則g(x)的最大值為2， 此時有2sin2x＋＝2，即sin2x＋＝1， 即2x＋＝2kπ＋，其中k∈Z，解得x＝kπ＋，其中k∈Z． 所以當g(x)取得最大值時x的取值集合為xx＝kπ＋，其中k∈Z．