2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 課時(shí)作業(yè)71 參數(shù)方程 文.doc

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課時(shí)作業(yè)71　參數(shù)方程 [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．[2019武漢測(cè)試]在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)． (1)求|AB|的值； (2)若F為曲線C的左焦點(diǎn)，求的值． 解析：(1)由(θ為參數(shù))，消去參數(shù)θ得＋＝1. 由消去參數(shù)t得y＝2x－4. 將y＝2x－4代入x2＋4y2＝16中，得17x2－64x＋176＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 所以|AB|＝|x1－x2|＝＝， 所以|AB|的值為. (2)＝(x1＋2，y1)(x2＋2，y2) ＝(x1＋2)(x2＋2)＋(2x1－4)(2x2－4) ＝x1x2＋2(x1＋x2)＋12＋4[x1x2－2(x1＋x2)＋12] ＝5x1x2－6(x1＋x2)＋60 ＝5－6＋60 ＝44， 所以的值為44. 2．[2019石家莊檢測(cè)]在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝2cosθ.直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)． (1)寫(xiě)出直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(－2，－4)，求點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積． 解析：(1)由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，得直線l的普通方程為x－y－2＝0. ∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ－ρsinθ－2＝0. 易得曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝2x. (2)∵直線l：x－y－2＝0經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2，－4)， ∴直線l的參數(shù)方程為(T為參數(shù))． 將直線l的參數(shù)方程代入y2＝2x，化簡(jiǎn)得 T2－10T＋40＝0，∴|PA||PB|＝|T1T2|＝40. 3．[2019寶安，潮陽(yáng)，桂城等八校聯(lián)考]已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， 以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程； (2)設(shè)l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2與曲線C相交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)A，B，求△AOB的面積． 解析：(1)∵曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， ∴曲線C的普通方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5. 將代入并化簡(jiǎn)得ρ＝4cosθ＋2sinθ， ∴曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ＋2sinθ. (2)在極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ＝4cosθ＋2sinθ， ∴由得|OA|＝2＋1. 同理可得|OB|＝2＋. 又∠AOB＝，∴S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB＝. ∴△AOB的面積為. 4．[2019南昌考試]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線C2的方程為y＝x，以O(shè)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C2與曲線C1交于P，Q兩點(diǎn)，求|OP||OQ|的值． 解析：(1)曲線C1的普通方程為(x－)2＋(y－2)2＝4， 即x2＋y2－2x－4y＋3＝0， 則曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0. ∵直線C2的方程為y＝x， ∴直線C2的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)． (2)設(shè)P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)， 將θ＝(ρ∈R)代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0得，ρ2－5ρ＋3＝0， ∴ρ1ρ2＝3，∴|OP||OQ|＝ρ1ρ2＝3. 5．[2019廣州測(cè)試]在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2(1＋2sin2θ)＝a(a＞0)． (1)求l的普通方程和C的直角坐標(biāo)方程； (2)若l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝，求a的值． 解析：(1)由消去t，得l的普通方程為y＝－(x－1)， 即x＋y－＝0. 由ρ2(1＋2sin2θ)＝a(a＞0)，得ρ2＋2ρ2sin2θ＝a(a＞0)， 把ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y(tǒng)代入上式，得x2＋3y2＝a(a＞0)， 所以C的直角坐標(biāo)方程為x2＋3y2＝a(a＞0)． (2)解法一　把代入x2＋3y2＝a，得5t2－2t＋2－2a＝0，(*) 設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 得t1＋t2＝，t1t2＝， 則|AB|＝|t1－t2|＝＝＝， 又|AB|＝，所以＝， 解得a＝， 此時(shí)(*)式的判別式Δ＝4－45＝12＞0， 所以a的值為. 解法二　由消去y，得10x2－18x＋9－a＝0，(*) 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 得x1＋x2＝，x1x2＝， 則|AB|＝ ＝ ＝， 又|AB|＝，所以＝， 解得a＝. 此時(shí)(*)式的判別式Δ＝182－410＝12＞0， 所以a的值為. 6．[2019鄭州測(cè)試]在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α∈[0，π))．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝4sinθ. (1)設(shè)M(x，y)為曲線C上任意一點(diǎn)，求x＋y的取值范圍； (2)若直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，求|AB|的最小值． 解析：(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程ρcos2θ＝4sinθ，化為直角坐標(biāo)方程，得x2＝4y. ∵M(jìn)(x，y)為曲線C上任意一點(diǎn)，∴x＋y＝x＋x2＝(x＋2)2－1， ∴x＋y的取值范圍是[－1，＋∞)． (2)將代入x2＝4y，得t2cos2α－4tsinα－4＝0. ∴Δ＝16sin2α＋16cos2α＝16>0， 設(shè)方程t2cos2α－4tsinα－4＝0的兩個(gè)根為t1，t2， 則t1＋t2＝，t1t2＝， ∴|AB|＝|t1－t2|＝＝≥4，當(dāng)且僅當(dāng)α＝0時(shí)，取等號(hào)． 故當(dāng)α＝0時(shí)，|AB|取得最小值4. [能力挑戰(zhàn)] 7．[2018全國(guó)卷Ⅲ]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點(diǎn)． (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程． 解析：(1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1. 當(dāng)α＝時(shí)，l與⊙O交于兩點(diǎn)． 當(dāng)α≠時(shí)，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為 . 設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP， 則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足 所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是 .