《（浙江專版）2017-2018學年高中數(shù)學 第一章 集合與函數(shù)概念 1.2 函數(shù)及其表示學案 新人教A版必修1.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2017-2018學年高中數(shù)學 第一章 集合與函數(shù)概念 1.2 函數(shù)及其表示學案 新人教A版必修1.doc（31頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1.2
1．2.1 函數(shù)的概念
預習課本P15～18，思考并完成以下問題
(1)在集合的觀點下函數(shù)是如何定義？函數(shù)有哪三要素？
(2)如何用區(qū)間表示數(shù)集？
(3)相等函數(shù)是指什么樣的函數(shù)？
1．函數(shù)的概念
(1)函數(shù)的定義：
設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.
(2)函數(shù)的定義域與值域：
函數(shù)y＝f(x)中，x叫做自變量，x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集．
[點睛] 對函數(shù)概念的3點說明
(1)當A，B為非空數(shù)集時，符號“f：A→B”表示A到B的一個函數(shù)．
(2)集合A中的數(shù)具有任意性，集合B中的數(shù)具有唯一性．
(3)符號“f”它表示對應關(guān)系，在不同的函數(shù)中f的具體含義不一樣．
2．區(qū)間概念(a，b為實數(shù)，且a＜b)
定義
名稱
符號
數(shù)軸表示
{x|a≤x≤b}
閉區(qū)間
[a，b]
{x|a＜x＜b}
開區(qū)間
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半開半閉區(qū)間
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半開半閉區(qū)間
(a，b]
3．其它區(qū)間的表示
定義
R
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x≤a}
{x|x＜a}
符號
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
[點睛] 關(guān)于無窮大的2點說明
(1)“∞”是一個符號，而不是一個數(shù)．
(2)以“－∞”或“＋∞”為端點時，區(qū)間這一端必須是小括號．
1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”)
(1)區(qū)間表示數(shù)集，數(shù)集一定能用區(qū)間表示．( )
(2)數(shù)集{x|x≥2}可用區(qū)間表示為[2，＋∞]．( )
(3)函數(shù)的定義域和對應關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了．( )
(4)函數(shù)值域中每一個數(shù)在定義域中一定只有一個數(shù)與之對應．( )
(5)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合．( )
答案：(1) (2) (3)√ (4) (5)
2．函數(shù)y＝的定義域是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1,0)
C．(－1，＋∞) D．(－1,0)
答案：C
3．已知f(x)＝x2＋1，則f ( f (－1))＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：D
4．用區(qū)間表示下列集合：
(1){x|10≤x≤100}用區(qū)間表示為________．
(2){x|x>1}用區(qū)間表示為________．
答案：(1)[10,100] (2)(1，＋∞)
函數(shù)的判斷
[例1] (1)設(shè)M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個圖形：
其中，能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的個數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)下列各題的對應關(guān)系是否給出了實數(shù)集R上的一個函數(shù)？為什么？
① f：把x對應到3x＋1；?、?g：把x對應到|x|＋1；
③ h：把x對應到； ④ r：把x對應到.
(1)[解析]?、僦?，因為在集合M中當1
－1，且x≠1，
所以這個函數(shù)的定義域為{x|x>－1，且x≠1}.
求函數(shù)值和值域
[例4] (1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，則f(2)＝________，f(g(2))＝________.
(2)求下列函數(shù)的值域：
①y＝x＋1；
②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
③y＝；
④y＝2x－.
(1)[解析] ∵f (x)＝，
∴f(2)＝＝.
又∵g (x)＝x2＋2，
∴g (2)＝22＋2＝6，
∴f ( g(2))＝f (6)＝＝.
[答案]
(2)[解]?、?觀察法)因為x∈R，所以x＋1∈R，即函數(shù)值域是R.
②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域為[2,6)．
③(分離常數(shù)法)y＝＝＝3－.
∵≠0，∴y≠3，
∴y＝的值域為{y|y∈R且y≠3}．
④(換元法)設(shè)t＝，則t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2 2＋，由t≥0，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域為.
1．函數(shù)求值的方法
(1)已知f(x)的表達式時，只需用a替換表達式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值應遵循由里往外的原則．
2．求函數(shù)值域常用的4種方法
(1)觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到；
(2)配方法：當所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)處理的函數(shù)時，可利用配方法求其值域；
(3)分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域；
(4)換元法：即運用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．對于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d為常數(shù)，且a≠0)型的函數(shù)常用換元法．
[活學活用]
4．求下列函數(shù)的值域：
(1)y＝＋1；(2)y＝.
解：(1)因為≥0，所以＋1≥1，即所求函數(shù)的值域為[1，＋∞)．
(2)因為y＝＝－1＋，又函數(shù)的定義域為R，所以x2＋1≥1，
所以0<≤2，則y∈(－1,1]．所以所求函數(shù)的值域為(－1,1].
層級一 學業(yè)水平達標
1．函數(shù)y＝＋的定義域為( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
解析：選D 由題意可知解得0≤x≤1.
2．若函數(shù)y＝f (x)的定義域M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f (x)的圖象可能是( )
解析：選B A中定義域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中圖象不表示函數(shù)關(guān)系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．
3．下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f (x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2
D．f (x)＝和g(x)＝
解析：選D A中的函數(shù)定義域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中兩函數(shù)的對應關(guān)系不同，故選D.
4．設(shè)f(x)＝，則＝( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：選B?。剑剑剑剑?.
5．下列函數(shù)中，值域為(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
解析：選B y＝的值域為[0，＋∞)，y＝的值域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域為[1，＋∞)．
6．若[a,3a－1]為一確定區(qū)間，則a的取值范圍是________．
解析：由題意知3a－1>a，則a>.
答案：
7．已知函數(shù)f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，則函數(shù)f(x)的值域為________．
解析：∵x＝1,2,3,4,5，
∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.
∴f(x)的值域為{－1,1,3,5,7}．
答案：{－1,1,3,5,7}
8．設(shè)f (x)＝，則f ( f ( x ))＝________.
解析：f ( f (x))＝＝＝.
答案：(x≠0，且x≠1)
9．已知f(x)＝x2－4x＋5.
(1)求f (2)的值．
(2)若f (a)＝10，求a的值．
解：(1)由f (x)＝x2－4x＋5，
所以f (2)＝22－42＋5＝1.
(2)由f (a)＝10，得a2－4a＋5＝10，
即a2－4a－5＝0，解得a＝5或a＝－1.
10．求函數(shù)y＝的定義域，并用區(qū)間表示．
解：要使函數(shù)解析式有意義，需滿足：
即
所以－2≤x≤3且x≠.
所以函數(shù)的定義域是.
用區(qū)間表示為∪.
層級二 應試能力達標
1．下列式子中不能表示函數(shù)y＝f(x)的是( )
A．x＝y(tǒng)2＋1 B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6 D．x＝
解析：選A 對于A，由x＝y(tǒng)2＋1得y2＝x－1.當x＝5時，y＝2，故y不是x的函數(shù)；對于B，y＝2x2＋1是二次函數(shù)；對于C，x－2y＝6?y＝x－3是一次函數(shù)；對于D，由x＝得y＝x2(x≥0)是二次函數(shù)．故選A.
2．若集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋2}，則A∩B＝( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：選C 集合A表示函數(shù)y＝的定義域，則A＝{x|x≥1}，集合B表示函數(shù)y＝x2＋2的值域，則B＝{y|y≥2}，故A∩B＝{x|x≥2}．
3．若函數(shù)f (x)＝ax2－1，a為一個正數(shù)，且f ( f (－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1 B．0
C．－1 D．2
解析：選A ∵f (x)＝ax2－1，∴f (－1)＝a－1，
f (f(－1))＝f (a－1)＝a(a－1)2－1＝－1.
∴a(a－1)2＝0.
又∵a為正數(shù)，∴a＝1.
4．已知函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝＋是相等的函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的定義域是( )
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，1]
解析：選A 由于y＝f(x)與y＝＋是相等函數(shù)，故二者定義域相同，所以y＝f(x)的定義域為{x|－3≤x≤1}．故寫成區(qū)間形式為[－3,1]．
5．函數(shù)y＝的定義域是A，函數(shù)y＝ 的值域是B，則A∩B＝________(用區(qū)間表示)．
解析：要使函數(shù)式y(tǒng)＝有意義，只需x≠2，即A＝{x|x≠2}；函數(shù)y＝ ≥0，即B＝{y|y≥0}，則A∩B＝{x|0≤x<2，或x>2}．
答案：[0,2)∪(2，＋∞)
6．函數(shù)y＝的定義域用區(qū)間表示為________．
解析：要使函數(shù)有意義，需滿足即
∴定義域為(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．
答案：(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]
7．試求下列函數(shù)的定義域與值域：
(1)f (x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)f (x)＝(x－1)2＋1；
(3)f (x)＝；
(4)f (x)＝x－.
解：(1)函數(shù)的定義域為{－1,0,1,2,3}，則f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f(3)＝5，所以函數(shù)的值域為{1,2,5}．
(2)函數(shù)的定義域為R，因為(x－1)2＋1≥1，所以函數(shù)的值域為{y|y≥1}．
(3)函數(shù)的定義域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函數(shù)的值域為{y|y≠5}．
(4)要使函數(shù)式有意義，需x＋1≥0，即x≥－1，故函數(shù)的定義域是{x|x≥－1}．設(shè)t＝，則x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝2－.又t≥0，故f (t)≥－.所以函數(shù)的值域是.
8．已知函數(shù)f (x)＝.
(1)求f(2)＋f ，f(3)＋f 的值；
(2)求證：f (x)＋f 是定值；
(3)求f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(2 016)＋f 的值．
解：(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f＝＋＝1，
f (3)＋f＝＋＝1.
(2)證明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f＝1，
∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1，…，f(2 016)＋f＝1.
∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 016)＋f＝2 015.
1．2.2 函數(shù)的表示法
第一課時 函數(shù)的表示法
預習課本P19～21，思考并完成以下問題
(1)表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法有幾種？分別是什么？
(2)函數(shù)的各種表示法各有什么特點？
[點睛] 列表法、圖象法和解析法是從三個不同的角度刻畫自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系，同一個函數(shù)可以用不同的方法表示．
1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”)
(1)任何一個函數(shù)都可以同上述三種方法表示．( )
(2)函數(shù)f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．( )
(3)函數(shù)的圖象一定是定義區(qū)間上一條連續(xù)不斷的曲線．( )
答案：(1) (2)√ (3)
2．已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)等于( )
x
1≤x<2
2
20}，f：x→y＝|x|，其對應是從A到B的映射．( )
答案：(1)√ (2) (3)√ (4)
2．已知f(x)＝則f(－2)＝( )
A．2 B．4
C．－2 D．2或4
答案：A
3．已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0,1}，下列對應不是A到B的映射的是( )
答案：C
4．函數(shù)f(x)＝的定義域為________．
答案：[1，＋∞)
映射的概念
[例1] 下列對應是不是從A到B的映射？
(1)A＝B＝N*，f：x→|x－3|；
(2)A＝N，B＝Q，f：x→；
(3)A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|2≤y≤5}，f：x→y＝2x.
[解] (1)當x＝3∈A時，|x－3|＝0?B，即A中的元素3在B中沒有元素與之對應，所以(1)不是映射．
(2)當x＝0∈A時，無意義，即A中的元素0在B中沒有元素與之對應，所以(2)不是映射．
(3)當1≤x≤2時，2≤2x≤4，而且對于A中每一個x值，按照對應關(guān)系y＝2x，在B中都有唯一的元素與之對應，所以(3)是映射．
判斷一個對應是不是映射的2個關(guān)鍵
(1)對于A中的任意一個元素，在B中是否有元素與之對應．
(2)B中的對應元素是不是唯一的．
[點睛] “一對一”或“多對一”的對應才可能是映射．
[活學活用]
1．已知A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，從集合A到集合B的映射f：x→.
(1)與A中元素1相對應的B中的元素是什么？
(2)與B中元素相對應的A中的元素是什么？
解：(1)A中元素1，即x＝1，代入對應關(guān)系得＝＝，即與A中元素1相對應的B中的元素是.
(2)B中元素，即＝，解得x＝4，因此與B中元素相對應的A中的元素是4.
分段函數(shù)求值
[例2] 已知函數(shù)f(x)＝
(1)求f的值；
(2)若f(x)＝，求x的值．
[解] (1)因為f＝－2＝－，
所以f＝f＝＝.
(2)f(x)＝，若|x|≤1，則|x－1|－2＝，
得x＝或x＝－.
因為|x|≤1，所以x的值不存在；
若|x|>1，則＝，得x＝，符合|x|>1.
所以若f(x)＝，x的值為.
1．求分段函數(shù)的函數(shù)值的方法
(1)確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間．
(2)代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當出現(xiàn)f(f(x0))的形式時，應從內(nèi)到外依次求值．
2．求某條件下自變量的值的方法
先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后相應求出自變量的值，切記代入檢驗．
[活學活用]
2．已知f(x)＝則f(－5)的值等于________．
解析：f(－5)＝f(－5＋2)＝f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝21＝2.
答案：2
3．函數(shù)f(x)＝若f(x0)＝8，則x0＝________.
解析：當x0≤2時，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，
∴x0＝－或x0＝(舍去)；
當x0>2時，f(x0)＝x0，∴x0＝10.
綜上可知，x0＝－或x0＝10.
答案：－或10
分段函數(shù)的圖象及應用
題點一：分段函數(shù)的圖象的判定
1．函數(shù)f(x)＝|x－1|的圖象是( )
解析：選B 法一：函數(shù)的解析式可化為y＝畫出此分段函數(shù)的圖象，故選B.
法二：由f(－1)＝2，知圖象過點(－1,2)，排除A、C、D，故選B.
題點二：分段函數(shù)圖象的作法
2．已知f(x)＝畫出f(x)的圖象．
解：利用描點法，作出f(x)的圖象，如圖所示．
題點三：由函數(shù)的圖象確定其解析式
3．已知函數(shù)f(x)的圖象如右圖所示，則f(x)的解析式是________．
解析：由圖可知，圖象是由兩條線段組成，當－1≤x<0時，設(shè)f(x)＝ax＋b，將(－1,0)，(0,1)代入解析式，則∴
當0≤x≤1時，設(shè)f(x)＝kx，將(1，－1)代入，則k＝－1.
答案：f(x)＝
題點四：分段函數(shù)的圖象及應用
4．若定義運算a⊙b＝則函數(shù)f(x)＝x⊙(2－x)的值域為________．
解析：由題意得f(x)＝畫出函數(shù)f(x)的圖象得值域是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
分段函數(shù)圖象的畫法
(1)對含有絕對值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象．
(2)作分段函數(shù)的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏．
層級一 學業(yè)水平達標
1．下列對應關(guān)系f中，能構(gòu)成從集合A到集合B的映射的是( )
A．A＝{x|x>0}，B＝R，f：x→|y|＝x2
B．A＝{－2,0,2}，B＝{4}，f：x→y＝x2
C．A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝
D．A＝{0,2}，B＝{0,1}，f：x→y＝
解析：選D 對于A，集合A中元素1在集合B中有兩個元素與之對應；對于B，集合A中元素0在集合B中無元素與之對應；對于C，集合A中元素0在集合B中無元素與之對應．故A、B、C均不能構(gòu)成映射．
2．已知f(x)＝則f(f(－7))的值為( )
A．100 B．10
C．－10 D．－100
解析：選A ∵f(x)＝∴f(－7)＝10.
f(f(－7))＝f(10)＝1010＝100.
3．下列圖形是函數(shù)y＝x|x|的圖象的是( )
解析：選D 函數(shù)y＝x|x|＝故選D.
4．已知集合M＝{x|0≤x≤4}，N＝{0|0≤y≤2}，按對應關(guān)系f不能構(gòu)成從M到N的映射的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
解析：選C 因為當x＝4時，y＝4＝?N，所以C中的對應關(guān)系f不能構(gòu)成從M到N的映射．
5．函數(shù)f(x)＝的值域是( )
A．R B．[0,2]∪{3}
C．[0，＋∞) D．[0,3]
解析：選B 先求各段上的圖象，再求各段值域的并集，即為該函數(shù)的值域．
6．已知f(x)＝則f＝________.
解析：依題意，得f＝＝3，則f＝f(3)＝32－1＝8.
答案：8
7．函數(shù)f(x)＝若f(x)＝3，則x的值是________．
解析：當x≤－1時，x＋2＝3，得x＝1舍去，
當－12時，由2x0＝8，得x0＝4.
∴x0＝4.
10．已知函數(shù)f(x)＝1＋(－20時，令－2x＝5，得x＝－，不合題意，舍去．
3．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素在A中都能找到元素與之對應，且對任意的a∈A，在B中和它對應的元素是|a|，則集合B中元素的個數(shù)是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：選A 注意到對應法則是f：a→|a|，因此3和－3對應集合B中的元素3；2和－2對應集合B中的元素2；1和－1對應集合B中的元素1；4對應集合B中的元素4.所以B＝{1,2,3,4}，有4個元素．
4．某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了如下規(guī)定：每位職工每月用水量不超過10立方米的，按每立方米m元收費；用水量超過10立方米的，超過部分按每立方米2m元收費．某職工某月繳水費16m元，則該職工這個月實際用水量為( )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
解析：選A 該單位職工每月應繳水費y與實際用水量x滿足的關(guān)系式為
y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.
5．函數(shù)f(x)＝的值域是________．
解析：當x≥0時，f(x)≥1，
當－2≤x<0時，21，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：當a≥0時，f(a)＝a－1>1，
解得a>4，符合a≥0；
當a<0時，f(a)＝>1，無解．
答案：(4，＋∞)
7.如圖所示，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)．
(1)求f(f(0))的值；
(2)求函數(shù)f(x)的解析式．
解：(1)直接由圖中觀察，可得
f(f(0))＝f(4)＝2.
(2)設(shè)線段AB所對應的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，
將與代入，
解得得
∴y＝－2x＋4(0≤x≤2)．
同理，線段BC所對應的函數(shù)解析式為
y＝x－2(2
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浙江專版2017-2018學年高中數(shù)學
第一章
集合與函數(shù)概念
1.2
函數(shù)及其表示學案
新人教A版必修1
浙江
專版
2017
2018
學年
高中數(shù)學
集合
函數(shù)
概念
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