(江蘇專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第19練 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用試題 理.docx
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第19練 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 [明晰考情] 1.命題角度:函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點,常以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(方程的根)、比較大小、不等式證明、不等式恒成立與能成立問題. 2.題目難度:偏難題. 考點一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(方程的根) 方法技巧 求解函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)問題的基本思路:(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線y=k)在該區(qū)間上的交點問題;(2)利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì),進而畫出其圖象;(3)結(jié)合圖象求解. 1.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c. (1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程; (2)設(shè)a=b=4,若函數(shù)f(x)有三個不同零點,求c的取值范圍. 解 (1)由f(x)=x3+ax2+bx+c, 得f′(x)=3x2+2ax+b. ∵f(0)=c,f′(0)=b, ∴曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=bx+c. (2)當(dāng)a=b=4時,f(x)=x3+4x2+4x+c, ∴f′(x)=3x2+8x+4. 令f′(x)=0,得3x2+8x+4=0, 解得x=-2或x=-. 當(dāng)x變化時,f(x)與f′(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上的變化情況如下: x (-∞,-2) -2 - f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ c ↘ c- ↗ ∴當(dāng)c>0且c-<0時,f(-4)=c-16<0,f(0)=c>0,存在x1∈(-4,-2),x2∈,x3∈,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0. 由f(x)的單調(diào)性知,當(dāng)且僅當(dāng)c∈時,函數(shù)f(x)=x3+4x2+4x+c有三個不同零點. 2.已知函數(shù)f(x)=-2lnx(a∈R,a≠0). (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (2)若函數(shù)f(x)有最小值,記為g(a),關(guān)于a的方程g(a)+a--1=m有三個不同的實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍. 解 (1)f′(x)=-(x>0), 當(dāng)a<0時,f′(x)<0,則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減; 當(dāng)a>0時,f′(x)=,則f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增. (2)由(1)知,a>0,f(x)min=f()=1-ln a,即g(a)=1-ln a, 方程g(a)+a--1=m,即m=a-ln a-(a>0), 令F(a)=a-ln a-(a>0),則F′(a)=1-+=, 知F(a)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減, F(a)極大值=F=-+ln 3,F(xiàn)(a)極小值=F=-ln 2+ln 3. 依題意得實數(shù)m的取值范圍是. 3.已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex+ax2,a∈R. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍. 解 (1)f′(x)=ex+(x-1)ex+2ax=x(ex+2a). ①若a≥0,則當(dāng)x>0時,f′(x)>0;當(dāng)x<0時,f′(x)<0. 故函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增. ②當(dāng)a<0時,由f′(x)=0,解得x=0或x=ln(-2a). (ⅰ)若ln(-2a)=0,即a=-, 則?x∈R,f′(x)=x(ex-1)≥0, 故f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增; (ⅱ)若ln(-2a)<0,即-0;當(dāng)x∈(ln(-2a),0)時,f′(x)<0.故函數(shù)f(x)在(-∞,ln(-2a)),(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(ln(-2a),0)上單調(diào)遞減. (ⅲ)若ln(-2a)>0,即a<-,則當(dāng)x∈(-∞,0)∪(ln(-2a),+∞)時,f′(x)>0;當(dāng)x∈(0,ln(-2a))時,f′(x)<0.故函數(shù)f(x)在(-∞,0),(ln(-2a),+∞)上單調(diào)遞增,在(0,ln(-2a))上單調(diào)遞減. (2)①當(dāng)a>0時,由(1)知,函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增. 因為f(0)=-1<0,f(2)=e2+4a>0, 取實數(shù)b滿足b<-2且b- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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