2019屆高考數學二輪復習 專題七 選修 課后綜合提升練 選修4-4 坐標系與參數方程 文.doc

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選修4-4　坐標系與參數方程 (建議用時:30分鐘) 1.在直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為x=1+tcosαy=1+tsinα (t為參數,0≤α<π).在以O 為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標中,曲線C :ρ=4cos θ. (1)當α=π4 時,求C 與l 的交點的極坐標. (2)直線l 與曲線C交于A ,B 兩點,且兩點對應的參數t1 ,t2 互為相反數,求|AB| 的值. 【解析】(1)由ρ=4cos θ,可得ρ2=4ρcos θ, 所以x2+y2=4x,即x2+y2-4x=0, 當α=π4時,直線l的參數方程x=1+22t,y=1+22t,(t為參數),化為直角坐標方程為y=x, 聯立y=x,x2+y2-4x=0,解得交點為(0,0)或(2,2), 化為極坐標為(0,0),22,π4. (2)已知直線恒過定點P(1,1),又t1+t2=0,由參數方程的幾何意義知P是線段AB的中點,曲線C是以C(2,0)為圓心,半徑r=2的圓,且|PC|=2,由垂徑定理知:|AB|=2r2-|PC|2=24-2=22. 【一題多解】(1)依題意可知,直線l的極坐標方程為θ=π4(ρ∈R), 當ρ>0時,聯立θ=π4,ρ=4cosθ,解得交點22,π4, 當ρ=0時,經檢驗(0,0)滿足兩方程,當ρ<0時,無交點; 綜上,曲線C與直線l的交點極坐標為(0,0),22,π4. (2)把直線l的參數方程代入曲線C,得t2+2(sin α-cos α)t-2=0,可知t1+t2=0,t1t2=-2, 所以|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=22. 2.在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為x=-23+tcosα,y=-1+tsinα,(t為參數).以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ2(1+sin2 θ)=8. (1)若曲線C上一點Q的極坐標為ρ0,π2,且l過點Q,求l的普通方程和C的直角坐標方程. (2)設點P(-23,-1),l與C的交點為A,B,求1|PA|+1|PB|的最大值. 【解析】(1)把Qρ0,π2代入曲線C可得Q2,π2 化為直角坐標為Q(0,2), 又l過點P(-23,-1),得直線l的普通方程為y=32x+2; ρ2(1+sin2 θ)=8可化為ρ2+(ρsin θ)2=8. 由ρ2=x2+y2,ρsin θ=y可得(x2+y2)+y2=8, 即曲線C的直角坐標方程為x2+2y2=8. (2)把直線l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程得,(tcos α-23)2+ 2(tsin α-1)2=8, 化簡得(sin2 α+1)t2-4(sin α+3cos α)t+6=0,① Δ=[-4(sin α+3cos α)]2-24(sin2 α+1) 可得t1+t2=4(sinα+3cosα)sin2α+1,t1t2=6sin2α+1>0,故t1與t2同號 1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1||t2|=|t1+t2||t1||t2|=4|sinα+3cosα|6=43sinα+π3, 所以α=π6時,43sinα+π3有最大值43. 此時方程①的Δ=34>0,故1|PA|+1|PB|有最大值43. 3.已知曲線C1的參數方程為x=3cosαy=sinα(α為參數),以平面直角坐標系xOy的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρcosθ+π4=2. (1)求曲線C2的直角坐標方程及曲線C1上的動點P到坐標原點O的距離|OP|的最大值. (2)若曲線C2與曲線C1相交于A,B兩點,且與x軸相交于點E,求|EA|+|EB|的值. 【解析】(1)由ρcosθ+π4=2得ρ22cosθ-22sinθ =2,即曲線C2的直角坐標方程為x-y-2=0. 根據題意得|OP|=9cos2α+sin2α=8cos2α+1, 因此曲線C1上的動點P到原點O的距離|OP|的最大值為|OP|max=3. (2)由(1)知直線x-y-2=0與x軸交點E的坐標為(2,0),曲線C2的參數方程為:x=22t+2y=22t(t為參數),曲線C1的直角坐標方程為x29+y2=1, 聯立得5t2+22t-5=0. 又|EA|+|EB|=|t1|+|t2|, 所以|EA|+|EB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=635. 4.已知直線l的參數方程為x=-22ty=a+22t(t為參數,a∈R),曲線C的極坐標方程為ρsin2 θ=4cos θ. (1)分別將直線l的參數方程和曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程. (2)若直線l經過點(0,1),求直線l被曲線C截得線段的長. 【解析】(1)顯然y=-x+a?x+y-a=0, 由ρ=4cosθsin 2θ可得ρ2sin2 θ=4ρcos θ,即y2=4x. (2)因為直線lx=-22t,y=a+22t過(0,1),則a=1. 將直線l的參數方程代入y2=4x 得t2+62t+2=0,t1+t2=-62,t1t2=2 由直線參數方程的幾何意義可知, |AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=72-8=8. (建議用時:30分鐘) 1.在平面直角坐標系xOy中,圓O的方程為x2+y2=4,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是ρ2cos 2θ=1. (1)求圓O的參數方程和曲線C的直角坐標方程. (2)已知M,N是曲線C與x軸的兩個交點,點P為圓O上的任意一點,證明:|PM|2+|PN|2為定值. 【解析】(1)圓O的參數方程為x=2cosαy=2sinα,(α為參數), 由ρ2cos 2θ=1得:ρ2(cos2 θ-sin2 θ)=1,即ρ2cos2 θ-ρ2sin2 θ=1, 所以曲線C的直角坐標方程為x2-y2=1. (2)由(1)知可取M(-1,0),N(1,0),可設P(2cos α,2sin α),所以|PM|2+|PN|2=(2cos α+1)2+(2sin α)2+ (2cos α-1)2+(2sin α)2 =5+4cos α+5-4cos α=10, 所以|PM|2+|PN|2為定值10. 2.已知在極坐標系中,點A2,π6,B23,2π3,C是線段AB的中點,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸,并在兩坐標系中取相同的長度單位,建立平面直角坐標系,曲線Ω的參數方程是x=2cosθy=-2+2sinθ(θ為參數). (1)求點C的直角坐標,并求曲線Ω的普通方程. (2)設直線l過點C交曲線Ω于P,Q兩點,求的值. 【解析】(1)將點A,B的極坐標化為直角坐標,得 A(3,1)和B(-3,3).所以點C的直角坐標為(0,2). 將x=2cosθ,y=-2+2sinθ消去參數θ,得x2+(y+2)2=4,即為曲線Ω的普通方程. (2)方法一:直線l的參數方程為x=tcosα,y=2+tsinα,(t為參數,α為直線l的傾斜角) 代入x2+(y+2)2=4,整理得:t2+8tsin α+12=0. 設點P,Q對應的參數值分別為t1,t2.則t1t2=12, =||||=|t1t2|=12. 方法二:過點C作圓O1:x2+(y+2)2=4的切線,切點為T, 連接O1T,由平面幾何知識得: =|||| =|CT|2=|CO1|2-R2=16-4=12,所以=12. 3.在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為x=3cosθ,y=sinθ,以O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為θ=π3(ρ∈R). (1)寫出曲線C的普通方程及直線l的直角坐標方程. (2)過點M且平行于直線l的直線與曲線C交于A,B兩點,若|MA||MB|=2,證明點M在一個橢圓上. 【解析】(1)l:y=3x,C:x23+y2=1. (2)設過點M(x0,y0)且平行于直線l的直線的參數方程為x=x0+12ty=y0+32t(t為參數), 由x0+12t2+3y0+32t2=3,得:52t2+(x0+ 33y0)t+x02+3y02-3=0. 所以|MA||MB|=|t1t2|=2|x02+3y02-3|5=2,得x02+3y02=8.即點M落在橢圓x2+3y2=8上. 4.平面直角坐標系中,直線l的參數方程為x=t+1y=3t+1,(t為參數).以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ1-cos2θ. (1)寫出直線l的極坐標方程與曲線C的直角坐標方程. (2)已知與直線l平行的直線l′過點M(2,0),且與曲線C交于A,B兩點,試求|AB|. 【解析】(1)將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入直線方程得 3ρcos θ-ρsin θ-3+1=0, 由ρ=2cosθ1-cos2θ可得ρ2(1-cos2 θ)=2ρcos θ, 曲線C的直角坐標方程為y2=2x. (2)直線l的傾斜角為π3,所以直線l′的傾斜角也為π3,又直線l′過點M(2,0), 所以直線l′的參數方程為x=2+12ty=32t(t′為參數),將其代入曲線C的直角坐標方程可得 3t′2-4t′-16=0,設點A,B對應的參數分別為t′1,t′2. 由一元二次方程的根與系數的關系知t′1t′2=-163,t′1+t′2=43, 所以|AB|=|t′1-t′2|=(t1+t2)2-4t1t2= 432+1643=4133.