（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列 課時分層作業(yè) 三十二 5.4 數(shù)列求和 文.doc

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課時分層作業(yè) 三十二 數(shù) 列 求 和 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.數(shù)列{1+2n-1}的前n項(xiàng)和為 (　　) A.1+2n　　　　　　 B.2+2n C.n+2n-1 D.n+2+2n 【解析】選C.由題意得an=1+2n-1, 所以Sn=n+=n+2n-1. 2.1-4+9-16+…+(-1)n+1n2等于 (　　) A.　 B.- C.(-1)n+1　　 D.以上答案均不對 【解析】選C.當(dāng)n為偶數(shù)時,1-4+9-16+…+(-1)n+1n2=-3-7-…-(2n-1) =-=-; 當(dāng)n為奇數(shù)時,1-4+9-16+…+(-1)n+1n2=-3-7-…-[2(n-1)-1]+n2 =-+n2=, 綜上可得,原式=(-1)n+1. 3.設(shè)直線nx+y=與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為an,則a1+a2+…+a2 017= (　　) A. B. C. D. 【解析】選A.分別令x=0和y=0,得到直線nx+(n+1)y= (n∈N*)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn):,,則an===-, 然后分別代入1,2,…,2 017,則有a1+a2+…+a2 017=1-+-+…+-= 1-=. 【變式備選】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a4=4,S4=10,則數(shù)列的前2 018項(xiàng)和為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選C.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則a4=a1+3d=4,S4=4a1+6d=10,聯(lián)立解得a1=d=1,所以an=a1+(n-1)d=n,==-,所以數(shù)列的前 2 018項(xiàng)和為++…+=1-=. 4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,通項(xiàng)公式an=n(-1)n+1,則S17=(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 【解析】選B.S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17 =1+(-2+3)+(-4+5)+…+(-14+15)+(-16+17) =1+1+1+…+1=9. 【一題多解】解決本題還可以采用以下方法: 選B.S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=(1+3+…+17)-(2+4+…+16)=81-72=9. 【變式備選】在數(shù)列{an}中,a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,n∈N*,則S60的值為(　　) A.990 B.1 000 C.1 100 D.99 【解析】選A.n為奇數(shù)時,an+2-an=0,an=2;n為偶數(shù)時,an+2-an=2,an=n.故S60= 230+(2+4+…+60)=990. 5.定義為n個正數(shù)p1,p2,…,pn的“均倒數(shù)”.若已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為,又bn=,則++…+= (　　) A. B. C. D. 【解析】選C.依題意有=,即數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n(2n+1) =2n2+n,當(dāng)n=1時,a1=S1=3;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=4n-1,a1=3滿足該式.則an= 4n-1,bn==n.因?yàn)?=-,所以++…+= 1-+-+…+-=. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.已知數(shù)列2 017,2 018,1,-2 017,…若這個數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和,則這個數(shù)列的前2 018項(xiàng)之和S2 018=________. 【解析】由題意可知an+1=an+an+2,a1=2 017,a2=2 018,所以a3=1,a4=-2 017,a5= -2 018,a6=-1,a7=2 017,…,所以an+6=an,即數(shù)列{an}是以6為周期的數(shù)列,又a1+a2+a3+a4+a5+a6=0, 所以S2 018=336(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+(a1+a2)=4 035. 答案:4 035 7.對于數(shù)列{an},定義數(shù)列{an+1-an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”,若a1=2,{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為2n,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=________. 【解析】因?yàn)閍n+1-an=2n, 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n. 所以Sn==2n+1-2. 答案:2n+1-2 8.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=nan+an-c(c是常數(shù), n∈N*),a2=6,又bn=,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,若2Tn>m-2對n∈N*恒成立,則正整數(shù)m的最大值是________. 【解析】因?yàn)镾n=nan+an-c, 當(dāng)n=1時, S1=a1+a1-c,解得a1=2c, 當(dāng)n=2時,S2=a2+a2-c,即a1+a2=a2+a2-c, 解得a2=3c,所以3c=6,解得c=2. 則a1=4,數(shù)列{an}的公差d=a2-a1=2, 所以an=a1+(n-1)d=2n+2. 因?yàn)閎n===, 由錯位相減可得: Tn=2-, 則Tn+1-Tn=-=>0 所以數(shù)列{Tn}單調(diào)遞增,T1最小,最小值為, 所以2>m-2,所以m<3, 故正整數(shù)m的最大值為2. 答案:2 【題目溯源】本考題源于教材人教A版必修五P61習(xí)題A組T4“求和:1+2x+3x2+…+nxn-1”. 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.(2018武邑模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,a2=8,a3=24,{an+1-2an}為等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)求Sn. 【解析】(1)因?yàn)閍2-2a1=4,a3-2a2=8, 所以an+1-2an=42n-1=2n+1, 所以-=1,所以是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列. 所以=1+(n-1)=n, 所以an=n2n. (2)由(1)可得an=n2n, 所以Sn=12+222+323+…+n2n,① 2Sn=122+223+324+…+n2n+1,② 由①-②及整理得Sn=(n-1)2n+1+2. 10.已知函數(shù)g(x)=(a+1)x-2+1(a>0)的圖象恒過定點(diǎn)A,且點(diǎn)A又在函數(shù)f(x)=lo(x+a)的圖象上. (1)求實(shí)數(shù)a的值. (2)當(dāng)方程|g(x+2)-2|=2b有兩個不等實(shí)根時,求b的取值范圍. (3)設(shè)an=g(n+2),bn=,n∈N*,求證,b1+b2+b3+…+bn<,(n∈N*). 【解析】(1)函數(shù)g(x)的圖象恒過定點(diǎn)A,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2), 又因?yàn)锳點(diǎn)在f(x)上,則f(2)=(2+a)=2, 即2+a=3,所以a=1. (2)=2b,即 =2b, 所以=2b, 由圖象可知:0<2b<1, 故b的取值范圍為. (3)an=2n+1, bn==-, 所以b1+b2+b3+…+bn=-<,n∈N*. 1.(5分)(2018合肥模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=2,4a3=a6,是等差數(shù)列,則數(shù)列{(-1)nan}的前10項(xiàng)的和S10= (　　) A.220 B.110 C.99 D.55 【解析】選B.設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則=a1+5d,=+3d, 將已知值和等量關(guān)系代入,計(jì)算得d=2,所以 =a1+(n-1)d=2n,an=2n2,所以 S10=-a1+a2-a3+…+a10 =2(-12+22-32+…+102)=110. 2.(5分)已知在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a2a4=16,則|a1-12|+|a2-12|+…+|a8-12|= (　　) A.224 B.225 C.226 D.256 【解析】選B.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q且q>0, 因?yàn)閍1=1,a2a4=16, 所以q4=16,解得q=2. 所以an=12n-1=2n-1, 由2n-1≤12,解得n≤4. 所以|a1-12|+|a2-12|+…+|a8-12|=12-a1+12-a2+12-a3+12-a4+a5-12+…+a8-12 =-2(a1+a2+a3+a4)+(a1+a2+…+a8) =-2+ =-2(24-1)+28-1=225. 【變式備選】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(3n-2),則前100項(xiàng)和S100等于________. 【解析】因?yàn)閍1+a2=a3+a4=a5+a6=…=a99+a100=-3,所以S100=-350=-150. 答案:-150 3.(5分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an=sin ,n∈N*,則S2 018=________. 【解析】an=sin ,n∈N*,顯然每連續(xù)四項(xiàng)的和為0.S2 018=S4504+2=1+0=1. 答案:1 4.(12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n2-n(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)設(shè)bn=,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 【解析】(1) 當(dāng)n=1時, a1=S1=-=-2, 當(dāng)n≥2時, an=Sn-Sn-1=n2-n- [(n-1)2-(n-1)]=3n-5,將n=1代入上式驗(yàn)證顯然適合, 所以an=3n-5(n∈N*). (2)bn= =, 所以Tn=b1+b2+…+bn =++…+(-)==-. 5.(13分)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知Sn+1=Sn+an+2,a1,a2,a5成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式. (2)若數(shù)列{bn}滿足=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 【解析】(1)因?yàn)镾n+1=Sn+an+2, 所以an+1-an=2, 所以數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列, 因?yàn)閍1,a2,a5成等比數(shù)列, 所以=a1a5, 所以=a1 (a1+8),解得a1=1. 所以an=1+2(n-1)=2n-1. (2)因?yàn)閿?shù)列{bn}滿足=, 所以bn=(2n-1) =(2n-1)2n. 所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和 Tn=2+322+523+…+(2n-1)2n, 所以2Tn=22+323+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1, 所以Tn=6+(2n-3)2n+1.