2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元檢測十二 概率、隨機(jī)變量及其分布（提升卷）單元檢測 理（含解析） 新人教A版.docx

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單元檢測十二　概率、隨機(jī)變量及其分布(提升卷) 考生注意： 1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁． 2．答卷前，考生務(wù)必用藍(lán)、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學(xué)號填寫在相應(yīng)位置上． 3．本次考試時(shí)間100分鐘，滿分130分． 4．請?jiān)诿芊饩€內(nèi)作答，保持試卷清潔完整． 第Ⅰ卷(選擇題　共60分) 一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們六個(gè)面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的點(diǎn)數(shù)分別為X，Y，則log2XY＝1的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　由題意知X，Y應(yīng)滿足Y＝2X，所以滿足題意的有(1,2)，(2,4)，(3,6)三種，所以概率為＝. 2．一袋中裝有大小相同，編號分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個(gè)球，從中有放回地每次取一個(gè)球，共取2次，則取得兩個(gè)球的編號和不小于15的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　從中有放回地取2次，所取號碼的情況共有88＝64(種)，其中編號和不小于15的有3種，分別是(7,8)，(8,7)，(8,8)，共3種． 由古典概型概率公式可得所求概率為P＝. 3．已知ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點(diǎn)，在長方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為(　　) A.B．1－C.D．1－ 答案　B 解析　根據(jù)幾何概型得，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率P＝＝＝＝1－. 4．歐陽修《賣油翁》中寫道：“(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”．賣油翁的技藝讓人嘆為觀止．設(shè)銅錢是直徑為4cm的圓，它中間有邊長為1cm的正方形孔．若隨機(jī)向銅錢上滴一滴油，則油滴(不計(jì)油滴的大小)正好落入孔中的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　由題意得，所求的概率為＝，故選A. 5．一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可以從0～9中任選一個(gè)，某人在銀行自動提款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼最后一位數(shù)字，如果任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可以從0～9中任選一個(gè)，某人在銀行自動提款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼最后一位數(shù)字，任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率為： P＝＋＝. 6.如圖所示，在圓心角為90的扇形AOB中，以圓心O作為起點(diǎn)作射線OC，OD，則使∠AOC＋∠BOD＜45的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)∠AOC＝x，∠BOD＝y(tǒng)，把(x，y)看作坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，則試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣福絳(x，y)|0≤x≤90,0≤y≤90}，若事件A表示∠AOC＋∠BOD＜45，則其所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锳＝{(x，y)|x＋y<45,0≤x≤90,0≤y≤90}，即圖中的陰影部分，故S陰影＝4545.由幾何概型的概率公式，得所求概率P(A)＝＝. 7．有一種競猜游戲，游戲規(guī)則如下：在20個(gè)商標(biāo)牌中，有5個(gè)商標(biāo)牌的背面注明了一定的獎金金額，其余商標(biāo)牌的背面是一張笑臉，若翻到笑臉，則不得獎，參加這個(gè)游戲的人有三次翻牌的機(jī)會．某人前兩次翻牌均得若干獎金，如果翻過的牌不能再翻，那么此人第三次翻牌獲獎的概率是(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　因?yàn)?0個(gè)商標(biāo)有5個(gè)中獎，翻了兩個(gè)都中獎，所以還剩18個(gè)，其中還有3個(gè)會中獎，所以這位觀眾第三次翻牌獲獎的概率是＝.故選B. 8．(2018福建省廈門外國語學(xué)校模擬)我國成功申辦2022年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會，屆時(shí)冬奧會的高山速降運(yùn)動將給我們以速度與激情的完美展現(xiàn)，某選手的速度ξ服從正態(tài)分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)內(nèi)的概率為0.7，則其速度超過120的概率為(　　) A．0.05B．0.1C．0.15D．0.2 答案　C 解析　由題意可得，μ＝100，且P(80＜ξ＜120)＝0.7， 則P(ξ＜80或ξ＞120)＝1－P(80＜ξ＜120)＝1－0.7＝0.3. ∴P(ξ＞120)＝P(ξ＜80或ξ＞120)＝0.15. 則他速度超過120的概率為0.15. 9．某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(　　) A．0.4B．0.6C．0.75D．0.8 答案　D 解析　設(shè)“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”為事件A, “隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”為事件B， 則P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6， ∴P(B|A)＝＝＝0.8. 10．隨機(jī)變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)等于(　　) X 0 2 a P p A.2B．3C．4D．5 答案　C 解析　p＝1－－＝， E(X)＝0＋2＋a＝2，則a＝3， ∴D(X)＝(0－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2＝1， ∴D(2X－3)＝22D(X)＝4. 11．(2018黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)考試)甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　由題意，甲獲得冠軍的概率為＋＋＝， 其中比賽進(jìn)行了3局的概率為＋＝， ∴所求概率為＝. 12．口袋里放有大小相等的兩個(gè)紅球和一個(gè)白球，有放回地每次摸取一個(gè)球，數(shù)列滿足：an＝如果Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么S7＝3的概率為(　　) A．C25 B．C25 C．C25 D．C25 答案　B 解析　據(jù)題意可知7次中有5次摸到白球，2次摸到紅球，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)即可確定其概率，故選B. 第Ⅱ卷(非選擇題　共70分) 二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 13．若某人在打靶時(shí)連續(xù)射擊2次，則事件“至少有1次中靶”的對立事件是______________． 答案　兩次都未中靶 14．若連續(xù)擲兩次骰子，第一次擲得的點(diǎn)數(shù)為m，第二次擲得的點(diǎn)數(shù)為n，則點(diǎn)P(m，n)落在圓x2＋y2＝16內(nèi)的概率是________．(骰子為正方體，且六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2，…，6) 答案　 解析　由題意得，基本事件總數(shù)為36，點(diǎn)P落在圓內(nèi)包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8個(gè)， 由古典概型概率公式可得所求概率為＝. 15．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，c為常數(shù)，則P(0.5<ξ<2.5)＝________. 答案　 解析　隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3， ∴＋＋＝1， 即＝1，解得c＝， ∴P(0.5＜ξ＜2.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2) ＝＋＝＝. 16．某籃球運(yùn)動員投中籃球的概率為，則該運(yùn)動員“投籃3次至多投中1次”的概率是________．(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示) 答案　 解析　“投籃3次至多投中1次”包括只投中一次，和全部沒有投中， 故“投籃3次至多投中1次”的概率是C2＋C3＝. 三、解答題(本題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(12分)甲、乙、丙3人投籃，投進(jìn)的概率分別是，，. (1)現(xiàn)3人各投籃1次，求3人至少一人投進(jìn)的概率； (2)用ξ表示乙投籃4次的進(jìn)球數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列及均值E(ξ)和方差D(ξ)． 解　(1)記“甲投籃1次投進(jìn)”為事件A，“乙投籃1次投進(jìn)”為事件B，“丙投籃1次投進(jìn)”為事件C，“至少一人投進(jìn)”為事件D. P(D)＝1－P()P()P()＝. (2)隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4， 且ξ～B， 所以，P(ξ＝k)＝Ck4－k (k＝0,1,2,3,4)， 故隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P E(ξ)＝0＋1＋2＋3＋4＝， D(ξ)＝. 18．(12分)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名同學(xué)的投籃命中次數(shù)，乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中用x表示． (1)若乙組同學(xué)投籃命中次數(shù)的平均數(shù)比甲組同學(xué)的平均數(shù)少1，求x的值及乙組同學(xué)投籃命中次數(shù)的方差； (2)在(1)的條件下，分別從甲、乙兩組投籃命中次數(shù)低于10的同學(xué)中，各隨機(jī)選取1名，求這2名同學(xué)的投籃命中次數(shù)之和為16的概率． 解　(1)依題意得＝－1，解得x＝6，乙＝， s2＝ ＝1.76. (2)記甲組投籃命中次數(shù)低于10次的同學(xué)為A1，A2，A3，他們的命中次數(shù)分別為9,8,7. 乙組投籃命中次數(shù)低于10次的同學(xué)為B1，B2，B3，B4，他們的命中次數(shù)分別為6,8,8,9. 依題意，不同的選取方法有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，共12種． 設(shè)“這兩名同學(xué)的投籃命中次數(shù)之和為16”為事件C，其中恰含有(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B4)，共3種． ∴P(C)＝＝. 19．(13分)(2018武漢重點(diǎn)中學(xué)模擬)某校為了更好地管理學(xué)生用手機(jī)問題，根據(jù)學(xué)生每月用手機(jī)時(shí)間(每月用手機(jī)時(shí)間總和)的長短將學(xué)生分為三類：第一類的時(shí)間區(qū)間在[0,30)，第二類的時(shí)間區(qū)間在[30,60)，第三類的時(shí)間區(qū)間在[60,720](單位：小時(shí))，并規(guī)定屬于第三類的學(xué)生要進(jìn)入“思想政治學(xué)習(xí)班”進(jìn)行思想和心理的輔導(dǎo)．現(xiàn)對該校二年級1014名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，恰有14人屬于第三類，這14名學(xué)生被學(xué)校帶去政治學(xué)習(xí)．由剩下的1000名學(xué)生用手機(jī)時(shí)間情況，得到如圖所示頻率分布直方圖. (1)求這1000名學(xué)生每月用手機(jī)時(shí)間的平均數(shù)； (2)利用分層抽樣的方法從1000名選出10名學(xué)生代表，若從該10名學(xué)生代表中任選兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生用手機(jī)時(shí)間屬于不同類型的概率； (3)若二年級學(xué)生長期保持著這一用手機(jī)的現(xiàn)狀，學(xué)校為了鼓勵(lì)學(xué)生少用手機(jī)，連續(xù)10個(gè)月，每個(gè)月從這1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，若取到的是第一類學(xué)生，則發(fā)放獎品一份，設(shè)X為獲獎學(xué)生人數(shù)，求X的均值E(X)與方差D(X)． 解　(1)平均數(shù)為50.01010＋150.03010＋250.04010＋350.01010＋450.00610＋550.00410＝23.4(小時(shí))． (2)由頻率分布直方圖可知，采用分層抽樣抽取10名學(xué)生，其中8名為第一類學(xué)生，2名為第二類學(xué)生，則從該10名學(xué)生代表中抽取2名學(xué)生且這兩名學(xué)生不屬于同一類的概率為＝. (3)由題可知，這1000名學(xué)生中第一類學(xué)生占80%， 則每月從1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，是第一類學(xué)生的概率為0.8， 則連續(xù)10個(gè)月抽取，獲獎人數(shù)X～B(10,0.8)，其均值E(X)＝np＝100.8＝8，方差D(X)＝np(1－p)＝100.80.2＝1.6. 20．(13分)現(xiàn)對某市工薪階層關(guān)于“樓市限購令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽調(diào)了50人，他們月收入的頻數(shù)分布及對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表. 月收入(單位：百元) [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75] 頻數(shù) 5 10 15 10 5 5 贊成人數(shù) 4 8 12 5 2 1 (1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面22列聯(lián)表并問是否有99%的把握認(rèn)為月收入以5500為分界點(diǎn)對“樓市限購令”的態(tài)度有差異； 月收入不低于55百元的人數(shù) 月收入低于55百元的人數(shù) 合計(jì) 贊成 a＝__________ c＝__________ 不贊成 b＝__________ d＝__________ 合計(jì) (2)若對在[15,25)，[25,35)的被調(diào)查的人中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中不贊成“樓市限購令”的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及均值． 附：K2＝. P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解　(1)22列聯(lián)表如下： 月收入不低于55百元的人數(shù) 月收入低于55百元的人數(shù) 合計(jì) 贊成 a＝3 c＝29 32 不贊成 b＝7 d＝11 18 合計(jì) 10 40 50 因?yàn)镵2≈6.272<6.635，所以沒有99%的把握認(rèn)為月收入以5500為分界點(diǎn)對“樓市限購令”的態(tài)度有差異． (2)ξ的所有可能取值為0,1,2,3， P(ξ＝0)＝＝＝， P(ξ＝1)＝＋ ＝＋＝， P(ξ＝2)＝＋ ＝＋＝， P(ξ＝3)＝＝＝， 所以ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P 所以ξ的均值 E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝.