(江蘇專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第13練 空間中的平行與垂直試題 理.docx
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第13練 空間中的平行與垂直 [明晰考情] 1.命題角度:空間中的平行、垂直關(guān)系的證明.2.題目難度:低檔難度. 考點一 空間中的平行關(guān)系 方法技巧 (1)平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線平行,比較常見的是利用三角形中位線構(gòu)造平行關(guān)系,利用平行四邊形構(gòu)造平行關(guān)系. (2)證明過程中要嚴格遵循定理中的條件,注意推證的嚴謹性. 1.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點N在BD上,點M在B1C上,且CM=DN,求證:MN∥平面AA1B1B. 證明 如圖所示,作ME∥BC交BB1于點E,作NF∥AD交AB于點F,連結(jié)EF,則EF?平面AA1B1B. ∵ME∥BC,NF∥AD, ∴=,=. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中, ∵CM=DN,∴B1M=NB. 又B1C=BD, ∴==,又BC=AD,∴ME=NF. 又ME∥BC∥AD∥NF, ∴四邊形MEFN為平行四邊形,∴MN∥EF. 又EF?平面AA1B1B,MN?平面AA1B1B, ∴MN∥平面AA1B1B. 2.如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,且AB=2CD,在棱AB上是否存在一點F,使平面C1CF∥平面ADD1A1?若存在,求點F的位置;若不存在?請說明理由. 解 存在這樣的點F,使平面C1CF∥平面ADD1A1,此時點F為AB的中點,證明如下: ∵AB∥CD,AB=2CD, ∴AF∥CD且AF=CD, ∴四邊形AFCD是平行四邊形, ∴AD∥CF. 又AD?平面ADD1A1,CF?平面ADD1A1, ∴CF∥平面ADD1A1. 又CC1∥DD1,CC1?平面ADD1A1, DD1?平面ADD1A1, ∴CC1∥平面ADD1A1. 又CC1,CF?平面C1CF,CC1∩CF=C, ∴平面C1CF∥平面ADD1A1. 考點二 空間中的垂直關(guān)系 方法技巧 判定直線與平面垂直的常用方法 (1)利用線面垂直定義. (2)利用線面垂直的判定定理,一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直,則這條直線與平面垂直. (3)利用線面垂直的性質(zhì),兩平行線中的一條垂直于平面,則另一條也垂直于這個平面. (4)利用面面垂直的性質(zhì)定理,兩平面垂直,在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面. 3.如圖所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB,F(xiàn)為CD的中點. 求證:(1)AF∥平面BCE; (2)平面BCE⊥平面CDE. 證明 (1)如圖,取CE的中點G,連結(jié)FG,BG. ∵F為CD的中點,∴GF∥DE且GF=DE. ∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD, ∴AB∥DE,∴GF∥AB. 又AB=DE,∴GF=AB. ∴四邊形GFAB為平行四邊形, ∴AF∥BG. ∵AF?平面BCE,BG?平面BCE, ∴AF∥平面BCE. (2)∵△ACD為等邊三角形,F(xiàn)為CD的中點, ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD,AF?平面ACD,∴DE⊥AF. 又CD∩DE=D,CD,DE?平面CDE, 故AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF,∴BG⊥平面CDE. ∵BG?平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE. 4.如圖,在六面體ABCDE中,平面DBC⊥平面ABC,AE⊥平面ABC. (1)求證:AE∥平面DBC; (2)若AB⊥BC,BD⊥CD,求證:AD⊥DC. 證明 (1)過點D作DO⊥BC,垂足為O. ∵平面DBC⊥平面ABC,平面DBC∩平面ABC=BC,DO?平面DBC,∴DO⊥平面ABC. 又AE⊥平面ABC, 則AE∥DO. 又AE?平面DBC,DO?平面DBC,故AE∥平面DBC. (2)由(1)知,DO⊥平面ABC,AB?平面ABC, ∴DO⊥AB. 又AB⊥BC,且DO∩BC=O,DO,BC?平面DBC, ∴AB⊥平面DBC.∵DC?平面DBC,∴AB⊥DC. 又BD⊥CD,AB∩DB=B,AB,DB?平面ABD, 則DC⊥平面ABD. 又AD?平面ABD,故可得AD⊥DC. 考點三 平行和垂直的綜合應(yīng)用 方法技巧 空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化,即通過判定、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化. 5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60,E,F(xiàn)分別是AP,AD的中點. 求證:(1)直線EF∥平面PCD; (2)平面BEF⊥平面PAD. 證明 (1)在△PAD中,∵E,F(xiàn)分別為AP,AD的中點, ∴EF∥PD. 又∵EF?平面PCD,PD?平面PCD, ∴直線EF∥平面PCD. (2)如圖,連結(jié)BD. ∵AB=AD,∠BAD=60, ∴△ADB為正三角形. ∵F是AD的中點, ∴BF⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BF?平面ABCD,∴BF⊥平面PAD. 又∵BF?平面BEF,∴平面BEF⊥平面PAD. 6.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD的交點,E為AD的中點,A1E⊥平面ABCD. (1)證明:A1O∥平面B1CD1; (2)設(shè)M是OD的中點,證明:平面A1EM⊥平面B1CD1. 證明 (1)取B1D1的中點O1,連結(jié)CO1,A1O1, 由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱, 所以A1O1∥OC,A1O1=OC, 因此四邊形A1OCO1為平行四邊形,所以A1O∥O1C. 又O1C?平面B1CD1,A1O?平面B1CD1, 所以A1O∥平面B1CD1. (2)因為AC⊥BD,E,M分別為AD和OD的中點, 所以EM⊥BD, 又A1E⊥平面ABCD,BD?平面ABCD, 所以A1E⊥BD. 因為B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1. 又A1E,EM?平面A1EM,A1E∩EM=E, 所以B1D1⊥平面A1EM. 又B1D1?平面B1CD1, 所以平面A1EM⊥平面B1CD1. 典例 (14分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,點E,F(xiàn),H分別為AB,PC,BC的中點. (1)求證:EF∥平面PAD; (2)求證:平面PAH⊥平面DEF. 審題路線圖 (1)―→―→ (2)―→ ―→―→ 規(guī)范解答評分標準 證明 (1)取PD的中點M,連結(jié)FM,AM. ∵在△PCD中,F(xiàn),M分別為PC,PD的中點, ∴FM∥CD且FM=CD. ∵在正方形ABCD中,AE∥CD且AE=CD, ∴AE∥FM且AE=FM, 則四邊形AEFM為平行四邊形, ∴AM∥EF. 4分 又∵EF?平面PAD, AM?平面PAD, ∴EF∥平面PAD. 6分 (2)∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD, PA⊥AD, 側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD, ∴PA⊥底面ABCD.∵DE?底面ABCD,∴DE⊥PA. ∵E,H分別為正方形ABCD邊AB,BC的中點, ∴Rt△ABH≌Rt△DAE, 則∠BAH=∠ADE, ∴∠BAH+∠AED=90, 則DE⊥AH. 10分 ∵PA?平面PAH,AH?平面PAH,PA∩AH=A, ∴DE⊥平面PAH. 12分 ∵DE?平面DEF, ∴平面PAH⊥平面DEF. 14分 構(gòu)建答題模板 [第一步] 找線線:通過三角形或四邊形的中位線,平行四邊形,等腰三角形的中線或線面、面面關(guān)系的性質(zhì)尋找線線平行或線線垂直. [第二步] 找線面:通過線線垂直或平行,利用判定定理,找線面垂直或平行;也可由面面關(guān)系的性質(zhì)找線面垂直或平行. [第三步] 找面面:通過面面關(guān)系的判定定理,尋找面面垂直或平行. [第四步] 寫步驟:嚴格按照定理中的條件規(guī)范書寫解題步驟. 1.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,CA⊥AB,M為CB1的中點. (1)求證:AC∥平面MA1B; (2)求證:平面CAB1⊥平面MA1B. 證明 (1)如圖,設(shè)AB1與A1B的交點為O,連結(jié)OM. 因為在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形ABB1A1是平行四邊形, 所以O(shè)為AB1的中點. 因為M為CB1的中點, 所以O(shè)M是△ACB1的中位線, 所以O(shè)M∥AC. 因為OM?平面MA1B,AC?平面MA1B, 所以AC∥平面MA1B. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC, 因為CA?平面ABC,所以CA⊥AA1, 因為CA⊥AB,AB∩AA1=A,AB,AA1?平面ABB1A1, 所以CA⊥平面ABB1A1. 因為A1B?平面ABB1A, 所以CA⊥A1B. 因為在平行四邊形ABB1A1中,AA1⊥AB,AB=AA1, 所以四邊形ABB1A1是正方形, 所以A1B⊥AB1. 因為CA,AB1?平面CAB1,CA∩AB1=A, 所以A1B⊥平面CAB1. 因為A1B?平面MA1B, 所以平面CAB1⊥平面MA1B. 2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,E為側(cè)棱PA的中點,O為AC與BD的交點. (1)求證:OE∥平面PCD; (2)若DE⊥CD,PD=AD,求證:平面APD⊥平面PAB. 證明 (1)因為底面ABCD為平行四邊形,O為AC與BD的交點, 所以O(shè)為AC的中點, 又E為側(cè)棱PA的中點, 所以O(shè)E為△ACP的中位線,所以O(shè)E∥PC, 因為PC?平面PCD,OE?平面PCD, 所以O(shè)E∥平面PCD. (2)因為底面ABCD為平行四邊形, 所以CD∥AB, 又DE⊥CD,所以DE⊥AB. 因為PD=AD,E為側(cè)棱PA的中點, 所以DE⊥AP. 又AP?平面PAB,AB?平面PAB,AP∩AB=A, 所以DE⊥平面PAB, 又DE?平面APD, 所以平面APD⊥平面PAB. 3.(2018江蘇)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1. 求證:(1)AB∥平面A1B1C; (2)平面ABB1A1⊥平面A1BC. 證明 (1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1. 因為AB?平面A1B1C, A1B1?平面A1B1C, 所以AB∥平面A1B1C. (2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中, 四邊形ABB1A1為平行四邊形. 又因為AA1=AB, 所以四邊形ABB1A1為菱形, 因此AB1⊥A1B. 又因為AB1⊥B1C1,BC∥B1C1, 所以AB1⊥BC. 又因為A1B∩BC=B,A1B,BC?平面A1BC, 所以AB1⊥平面A1BC. 因為AB1?平面ABB1A1, 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC. 4.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F(xiàn)分別為AD,PB的中點.求證: (1)PE⊥BC; (2)平面PAB⊥平面PCD; (3)EF∥平面PCD. 證明 (1)因為PA=PD,E為AD的中點, 所以PE⊥AD. 因為底面ABCD為矩形,所以BC∥AD,所以PE⊥BC. (2)因為底面ABCD為矩形, 所以AB⊥AD. 又因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB?平面ABCD, 所以AB⊥平面PAD, 又PD?平面PAD, 所以AB⊥PD. 又因為PA⊥PD,PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB, 所以PD⊥平面PAB. 又PD?平面PCD, 所以平面PAB⊥平面PCD. (3)如圖,取PC的中點G,連結(jié)FG,DG. 因為F,G分別為PB,PC的中點, 所以FG∥BC,F(xiàn)G=BC, 因為四邊形ABCD為矩形, 且E為AD的中點, 所以DE∥BC,DE=BC. 所以DE∥FG,DE=FG. 所以四邊形DEFG為平行四邊形, 所以EF∥DG. 又因為EF?平面PCD,DG?平面PCD, 所以EF∥平面PCD.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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