2019年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題67 取球、比賽與闖關(guān)問題.doc

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專題67 取球、比賽與闖關(guān)問題 【熱點聚焦與擴展】 縱觀近幾年的高考概率統(tǒng)計問題，往往以實際問題為背景，圍繞比賽、娛樂“闖關(guān)”、取球等設(shè)計問題，考查概率、統(tǒng)計、離散型隨機變量及其數(shù)字特征在實際問題中的應用．考查數(shù)據(jù)處理能力以及分析問題解決問題的能力． 本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，舉例說明. （一）取球問題 在很多隨機變量的題目中，常以“取球”作為故事背景，通過對“取球”提出不同的要求，來考察不同的模型，常見的模型及處理方式如下： 1、獨立重復試驗模型：關(guān)鍵詞“可放回的抽取”，即下一次的取球試驗與上一次的相同. 2、超幾何分布模型：關(guān)鍵詞“不放回的抽取” 3、與條件概率相關(guān)：此類問題通常包含一個抽球的規(guī)則，并一次次的抽取，要注意前一次的結(jié)果對后一步抽球的影響 4、古典概型：要注意雖然題目中會說明“相同的”小球，但是為了能使用古典概型（保證基本事件為等可能事件），通常要將“相同的”小球視為“不同的”元素，在利用排列組合知識進行分子分母的計數(shù). 5、數(shù)字問題：在小球上標注數(shù)字，所涉及的問題與數(shù)字相關(guān)（奇，偶，最大，最小等），在解決此類問題時，要將數(shù)字模型轉(zhuǎn)化為“怎樣取球”的問題，從而轉(zhuǎn)化為前幾個類型進行求解. （二）比賽與闖關(guān)問題 1、常見的比賽規(guī)則 （1）局勝制：這種規(guī)則的特點為一旦某方獲得次勝利即終止比賽.所以若比賽提前結(jié)束，則一定在最后一次比賽中某方達到勝. 例如：甲，乙兩隊舉行排球比賽，比賽采取5局3勝制，已知甲獲勝的概率為，求甲以獲勝的概率： 解：本題不能認為“四局中甲贏得三局”，從而，因為如果前三局連勝，則結(jié)束比賽而不會開始第四局，所以若比分為，則第四局甲獲勝，前三局的比分為，所以 （2）連勝制：規(guī)定某方連勝場即終止比賽，所以若提前結(jié)束比賽，則最后場連勝且之前沒有達到場連勝. 例如：甲，乙兩隊舉行比賽，比賽共有7局，若有一方連勝3局，則比賽立即終止.已知甲獲勝的概率為，求甲在第5局終止比賽并獲勝的概率 解：若第5局比賽結(jié)束，根據(jù)連勝三局終止比賽的規(guī)則，可知甲在第3,4,5局獲勝，且第二局失敗（否則若第二局獲勝，則第四局就達到三連勝），第一局無論勝負不影響獲勝結(jié)果.所以 （3）比分差距制：規(guī)定某方比對方多分即終止比賽，此時首先根據(jù)比賽局數(shù)確定比分，在得分過程中要注意使兩方的分差小于 （4）“一票否決制”：在比賽的過程中，如果在某一階段失敗，則被淘汰.此類問題要注意若達到第階段，則意味著前個階段均能通關(guān) 2、解答此類題目的技巧： （1）善于引入變量表示事件：可用“字母+變量角標”的形式表示事件“第幾局勝利”.例如：表示“第局比賽勝利”，則表示“第局比賽失敗”. （2）善于使用對立事件求概率：若所求事件含情況較多，可以考慮求對立事件的概率，再用解出所求事件概率.在處理離散性隨機變量分布列時，也可利用概率和為1的特點，先求出包含情況較少的事件的概率，再間接求出包含情況較多的事件概率 【經(jīng)典例題】 例1.【2016高考北京文數(shù)】某學校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預賽和決賽兩個階段.下表為10名學生的預賽成績，其中有三個數(shù)據(jù)模糊. 學生序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳遠（單位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳繩（單位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a?1 b 65 在這10名學生中，進入立定跳遠決賽的有8人，同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則 A.2號學生進入30秒跳繩決賽 B.5號學生進入30秒跳繩決賽 C.8號學生進入30秒跳繩決賽 D.9號學生進入30秒跳繩決賽 【答案】B 【解析】 例2.【2016年高考北京理數(shù)】袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（） A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多 【答案】C 【解析】 試題分析：若乙盒中放入的是紅球，則須保證抽到的兩個均是紅球；若乙盒中放入的是黑球，則須保證抽到的兩個球是一紅一黑，且紅球放入甲盒；若丙盒中放入的是紅球，則須保證抽到的兩個球是一紅一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，則須保證抽到的兩個球都是黑球；A：由于抽到的兩個球是紅球和黑球的次數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)無法確定，故無法判定乙盒和丙盒中異色球的大小關(guān)系，而抽到兩個紅球的次數(shù)與抽到兩個黑球的次數(shù)應是相等的，故選C. 例3.【2018屆浙江省杭州市第二中學仿真考】已知甲盒子中有個紅球，個藍球，乙盒子中有個紅球，個藍球，同時從甲乙兩個盒子中取出個球進行交換，（a）交換后，從甲盒子中取1個球是紅球的概率記為.（b）交換后，乙盒子中含有紅球的個數(shù)記為.則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個數(shù)，對應的事件有哪些結(jié)果，從而得到對應的概率的大小，再者就是對隨機變量的值要分清，對應的概率要算對，利用公式求得其期望. 詳解：根據(jù)題意有，如果交換一個球， 有交換的都是紅球、交換的都是藍球、甲盒的紅球換的乙盒的藍球、甲盒的藍球交換的乙盒的紅球， 紅球的個數(shù)就會出現(xiàn)三種情況； 如果交換的是兩個球，有紅球換紅球、藍球換藍球、一藍一紅換一藍一紅、紅換藍、藍換紅、一藍一紅換兩紅、一藍一紅換亮藍， 對應的紅球的個數(shù)就是五種情況，所以分析可以求得，故選A. 點睛：該題考查的是有關(guān)隨機事件的概率以及對應的期望的問題，在解題的過程中，需要對其對應的事件弄明白，對應的概率會算，以及變量的可取值會分析是多少，利用期望公式求得結(jié)果. 例4．【浙江省金華市浦江縣2018年高考適應性考試】袋中裝有5個大小相同的球，其中有2個白球，2個黑球，1個紅球，現(xiàn)從袋中每次取出1球，去除后不放回，直到渠道有兩種不同顏色的球時即終止，用表示終止取球時所需的取球次數(shù)，則隨機變量的數(shù)字期望是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 例5.【2017江蘇，23】 已知一個口袋有個白球,個黑球(),這些球除顏色外全部相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為的抽屜內(nèi)，其中第次取出的球放入編號為的抽屜. 1 2 3 （1）試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率; （2）隨機變量表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù),是的數(shù)學期望,證明: 【答案】（1）（2）見解析 【解析】解:(1)編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為: . (2)隨機變量X的概率分布為: X … … P … … 隨機變量X的期望為： 例6. 甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立. （1）求甲在局以內(nèi)（含局）贏得比賽的概率； （2）記為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求的分布列和期望. 【答案】（1）；（2） 期望. （2）思路：首先依題意能確定可取的值為，若提前結(jié)束比賽，則按（1）的想法，除了最后兩場要連勝（或連?。?，其余各場應“勝負交替”.在每個事件中要分甲獲勝和乙獲勝兩種情況進行討論 解：可取的值為 的分布列為： 例7. 袋中裝有若干個質(zhì)地均勻大小相同的紅球和白球，白球數(shù)量是紅球數(shù)量的兩倍，每次從袋中摸出一個球，然后放回，若累計3次摸到紅球則停止摸球，否則繼續(xù)摸球直到第5次摸球后結(jié)束 （1）求摸球四次就停止的事件發(fā)生的概率 （2）記摸到紅球的次數(shù)為，求隨機變量的分布列及其期望 【答案】（1）；（2） 期望. （2）思路：可知可取的值為，當時，摸球是通過完成5次后停止，所以可利用獨立重復試驗模型計算概率；當時，按照規(guī)則有可能摸球提前結(jié)束，所以要按摸球的次數(shù)（3次，4次，5次）分類討論后再匯總 解：可取的值為 的分布列為： 例8. 已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的3個紅球和3個黑球，現(xiàn)從甲，乙兩個盒內(nèi)各任取2個球 （1）求取出的4個球中沒有紅球的概率 （2）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率 （3）設(shè)為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】思路：本題這三問的關(guān)鍵在于所取球中紅球的個數(shù)，考慮紅球個數(shù)來自于兩個盒內(nèi)拿出紅球個數(shù)的總和，所以可將紅球總數(shù)進行分配，從而得到每個盒中出紅球的情況，進而計算出概率 （1）設(shè)事件為“甲盒中取出個紅球”，事件為“乙盒中取出個紅球” （3）可取的值為 的分布列為： 例9.【2016高考山東文數(shù)】某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針所指區(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎勵規(guī)則如下： ①若，則獎勵玩具一個； ②若，則獎勵水杯一個； ③其余情況獎勵飲料一瓶. 假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻.小亮準備參加此項活動. （I）求小亮獲得玩具的概率； （II）請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由. 【答案】（）.（）小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率. 【解析】 試題分析：用數(shù)對表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，寫出基本事件空間與點集一一對應.得到基本事件總數(shù). （）利用列舉法，確定事件包含的基本事件，計算即得. （）記“”為事件，“”為事件. 確定事件包含的基本事件共有個， 事件包含的基本事件共有個，計算得到，比較即知. （）記“”為事件，“”為事件. 則事件包含的基本事件共有個，即 所以， 則事件包含的基本事件共有個，即 所以， 因為 所以，小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率. 例10.【2016高考山東理數(shù)】甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求： （I）“星隊”至少猜對3個成語的概率； （2）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學期望EX. 【答案】（1）（2）分布列見解析， 【解析】 記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”. 由題意， 由事件的獨立性與互斥性， , 所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為. (Ⅱ)由題意，隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6. 由事件的獨立性與互斥性，得 , , , , , . 可得隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 6 P 所以數(shù)學期望. 【精選精練】 1．一袋中有6個黑球，4個白球 （1）不放回地依次取出3個球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 （2）有放回地依次取出3個球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 （3）有放回的依次取出3個球，求取到白球個數(shù)的分布列，期望和方差 【答案】（1）（2）（3）分布列見解析， 【解析】 （2）思路：因為是有放回的取球，所以每次取球的結(jié)果互不影響，屬于獨立重復試驗模型，所以第三次取球時依然是6個黑球，3個白球，取得黑球的概率為 解：設(shè)事件為“有放回取球，第一次取出白球時，第三次取到黑球” 2.甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球個，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為、、，乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)均為，某人用左右手分別從甲、乙兩袋中取球． （1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率； （2）若左右手依次各取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記成功取法次數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望． 【答案】（1）（2）分布列見解析， 【解析】 解：（1）設(shè)事件為“兩只手中所取的球顏色不同”，則為“兩只手中所取的球顏色相同” （2）可取的值為 左手取球成功的概率 右手取球成功的概率 的分布列為 3.某商場在店慶日進行抽獎促銷活動，當日在該店消費的顧客可參加抽獎．抽獎箱中有大小完全相同的4個小球，分別標有字“生”“意”“興”“隆”．顧客從中任意取出1個球，記下上面的字后放回箱中，再從中任取1個球，重復以上操作，最多取4次，并規(guī)定若取出“隆”字球，則停止取球．獲獎規(guī)則如下：依次取到標有“生”“意”“興”“隆”字的球為一等獎；不分順序取到標有“生”“意”“興”“隆”字的球，為二等獎；取到的4個球中有標有“生”“意”“興”三個字的球為三等獎． （1）求分別獲得一、二、三等獎的概率； （2）設(shè)摸球次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望． 【答案】（1）（2）分布列見解析， 【解析】 （2）摸球次數(shù)可取的值為 的分布列為： 4.學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球，2個黑球；乙箱子里面裝有1個白球，2個黑球；這些球除了顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎（每次游戲后將球放回原箱） （1）求在一次游戲中 ① 摸出3個白球的概率 ② 獲獎的概率 （2）求在三次游戲中獲獎次數(shù)的分布列與期望 【答案】（1）（2）分布列見解析， 【解析】 ② 設(shè)事件為“獲獎”（即白球不少于2個） （2）思路：三次游戲可視為獨立重復試驗，所以獲獎次數(shù)服從二項分布，由（1）可得 ，從而可利用公式計算概率，列出分布列 解：可取的值為，依題意可得： 的分布列為： 5.一個袋子中裝有6個紅球和4個白球，假設(shè)袋子中的每一個球被摸到可能性是相等的. （1）從袋子中任意摸出3個球，求摸出的球均為白球的概率； （2）一次從袋子中任意摸出3個球，若其中紅球的個數(shù)多于白球的個數(shù)，則稱“摸球成功”（每次操作完成后將球放回），某人連續(xù)摸了3次，記“摸球成功”的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望. 【答案】（1）（2）分布列見解析， 【解析】 的取值為，依題意可得： 的分布列為： 6.袋中裝著標有數(shù)字1,2,3,4的小球各3個，從袋中任取3個小球，每個小球被取出的可能性都相等. （1）求取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率； （2）用X表示取出的3個小球上所標的最大數(shù)字，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望. 【答案】（1）（2）分布列見解析， 【解析】 （1）思路：本題的特點在于每個編號都有3個球，若將這12個球視為不同元素，則可利用古典概型進行計算，設(shè)為“12個球中任取3個”，則，事件為“三個球數(shù)字各不相同”，則計數(shù)時第一步要先選出不同的三個編號，即，然后每個編號中都有3個小球可供選擇，即，所以.進而可計算出 解：設(shè)事件為“三個球數(shù)字各不相同” 的分布列為： 7.一個盒子中裝有大小相同的小球個，在小球上分別標有的號碼，已知從盒子中隨機的取出兩個球，兩球的號碼最大值為的概率為， （1）盒子中裝有幾個小球？ （2）現(xiàn)從盒子中隨機的取出4個球，記所取4個球的號碼中，連續(xù)自然數(shù)的個數(shù)的最大值為隨機變量（如取2468時，；取1246時，，取1235時，） 【答案】（1）（2）分布列見解析， 【解析】 （1）思路：以兩球號碼最大值為的概率為入手點，則該敘述等價于“取出一個號球和一個其它號碼球的概率為，從而利用古典概型列出關(guān)于的方程并解出 解：設(shè)事件為 “兩球號碼最大值為” 即 解得： （2）思路：由（1）可得小球的編號為，結(jié)合所給的例子可知的取值為，其概率可用古典概 解：的取值為 的分布列為： 8.甲、乙兩人對弈棋局，甲勝、乙勝、和棋的概率都是，規(guī)定有一方累計2勝或者累計2和時，棋局結(jié)束.棋局結(jié)束時，若是累計兩和的情形，則宣布甲乙都獲得冠軍；若一方累計2勝，則宣布該方獲得冠軍，另一方獲得亞軍.設(shè)結(jié)束時對弈的總局數(shù)為X． （1）設(shè)事件：“且甲獲得冠軍”，求A的概率； （2）求X的分布列和數(shù)學期望. 【答案】（1）（2）分布列見解析， 【解析】 （1）思路：事件代表“對弈3局且甲獲勝”所以甲必須在第三場獲勝，且前兩場為一勝一和或一勝一負（勝負先后順序均可）.按照這幾種情況找到對應概率相乘即可 解：設(shè)事件為“甲在第局取勝”，事件為“第局和棋”， 事件為“乙在第局取勝” （2）思路：依題意可得只要有兩個相同的結(jié)果就結(jié)束比賽，所以最多進行4次比賽，最少進行2次比賽， 的分布列為 點睛：在隨機變量所取的值中，如果只有一個值的概率包含情況較多不易計算，那么可以考慮先計算出其他取值的概率，再用1減去其他概率即可 9．某項選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，回答問題正確者進入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為，，，且各輪問題能否正確回答互不影響． （1）求該選手被淘汰的概率； （2）記該選手在考核中回答問題的個數(shù)為，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望． 【答案】（1）（2）分布列見解析， 【解析】 （1）思路：依題可知，比賽規(guī)則為：只要打錯一個即被淘汰，如果從問題的正面考慮，則要考慮到是第幾輪被淘汰，情況較多.但此問題的反面為“答對所有問題”，概率易于表示，所以考慮利用對立事件進行求解 的分布列為 10.某區(qū)要進行中學生籃球?qū)官?，為爭奪最后一個小組賽名額，甲、乙、丙三支籃球隊要進行比賽，根據(jù)規(guī)則：每兩支隊伍之間都要比賽一場；每場比賽勝者得分，負者得分，沒有平局，獲得第一名的將奪得這個參賽名額．已知乙隊勝丙隊的概率為，甲隊獲得第一名的概率為，乙隊獲得第一名的概率為． （1）求甲隊分別戰(zhàn)勝乙隊和丙隊的概率； （2）設(shè)在該次比賽中，甲隊得分為，求的分布列及期望． 【答案】（1）（2）分布列見解析， 【解析】 （1）思路：解決要通過甲隊第一的概率與乙隊第一的概率兩個條件.若甲隊第一名，則甲戰(zhàn)勝乙且戰(zhàn) （2）思路：依題意可知可取的值為，即兩戰(zhàn)全負；即一勝一負，要分成“勝乙負丙”和“負乙勝丙”兩種情況討論；即兩戰(zhàn)全勝；分別求出概率即可. 可取的值為 的分布列為 11.甲、乙兩支籃球隊賽季總決賽采用7場4勝制，每場必須分出勝負，場與場之間互不影響，只要有一隊獲勝4場就結(jié)束比賽．現(xiàn)已比賽了4場，且甲籃球隊勝3場．已知甲球隊第5，6場獲勝的概率均為，但由于體力原因，第7場獲勝的概率為． （1）求甲隊分別以，獲勝的概率； （2）設(shè)X表示決出冠軍時比賽的場數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望． 【答案】（1）（2）分布列見解析， 【解析】 （2）思路：比賽的場數(shù)取決于甲是否取勝，所以可取的值為，若，則甲獲勝，即勝第五場；若則甲獲勝，即乙勝第五場，甲勝第六場；若，則只需前六場打成即可，所以只需乙連贏兩場.分別計算概率即可得到分布列和期望 比賽場數(shù)可取的值為 的分布列為 12.某電視臺舉辦的闖關(guān)節(jié)目共有五關(guān)，只有通過五關(guān)才能獲得獎金，規(guī)定前三關(guān)若有失敗即結(jié)束，后兩關(guān)若有失敗再給一次從失敗的關(guān)開始繼續(xù)向前闖的機會（后兩關(guān)總共只有一次機會），已知某人前三關(guān)每關(guān)通過的概率都是，后兩關(guān)每關(guān)通過的概率都是 （1）求該人獲得獎金的概率 （2）設(shè)該人通過的關(guān)數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望 【答案】（1）（2） 【解析】 （1）思路：若該人獲得獎金，則前三關(guān)必須通過，后兩關(guān)可以通過，或者只有一次未通過，借助機會再次為第四關(guān)通過且第五關(guān)失利兩次；為五關(guān)全部通過獲得獎金（即第一問的結(jié)果），其中由于情況較為復雜，所以考慮利用進行處理 的取值為 的分布列為：